绝对值不等式例题解析

1、高中数学辅导网 典型例题一例1解不等式x+1 >|2x3 2分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念&=产(*30)，将不等式中-a(acO)的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组)，再去求解去绝对值符号的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点)，将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论.3 解：令 x 1 = 0 ,. x - -1，令 2x -3 = 0 , x，如图所示.2(1) 当x匕1时原不等式化为-(x T) _(2x - 3) - 2 x 2与条件矛盾，无解.3(2) 当-1：x 时，原不等式化为 xT-(2x-3)-2 .23 x 0

2、 ,故 0 ： x _23(3) 当x 时，原不等式化为23x 1 - 2x -3-2 . x 6，故x 6 .2综上，原不等式的解为 、xO ： x 6.说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这 样做条理分明、不重不漏.典型例题二例2求使不等式X-4 + x-3a有解的a的取值范围.分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简 便.解法一：将数轴分为 -：,3!3,4,(4, ：)三个区间-7 a7 a当x : 3时，原不等式变为(4 - x) (3 - x) ： a, x 有解的条件为 ？：: 3，即a 1 ；当 3 _ x

3、 _ 4时，得(4 一 x) (x - 3) ： a，即 a 1 ；当 x .4时，得（x 一4） （x 一3） ： a，即 x ： a 7 ,有解的条件为 a 74 /. a 1 .2 2以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a . 1 .P A B1”解法二：设数x，3，4在数轴上对应的点分别为 P, A，B,如图，由绝对值的几何定 义，原不等式 PA+|PB ca的意义是P到A、B的距离之和小于 a .因为AB =1，故数轴上任一点到 A、B距离之和大于（等于 1）,即x-4 +|x 3启1，故当 a >1 时，x4+x3<a 有解.典型例题三例3已知2

4、<丽,0巾4萌,疗（0皿，求证K分析：根据条件凑x-a,y-b .证明：xy_ab =xyya ya-ab+ a 2M2忖y(x a) +a(y b)勻 y| x a +|a y b < M说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法.典型例题四2 .2a b例4求证一K a b la分析：使用分析法证明/ a >0 ,只需证明a2 b2 A a2 a|b，两边同除|b2，即只需证明a2，即(a)2 -1>(a)2abbba> _ 2ba>1时，a 2()2-1bb当a 2()2-1工a 2()2bba a r ra ；当r1时,a - b cO，原不

5、等式显然成立.原不等式成立.说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法本例也可以一开始就用定理:a2京翰教育中心 a(1)如果>1，则a - b兰0，原不等式显然成立.-<1，则1丨h-b，利用不等式的传递性知alal(2)如果原不等式也成立.典型例题五例5求证a +b1-|a b1bb分析：本题的证法很多， 下面给出一种证法： 比较要证明的不等式左右两边的形式完全 相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明.X 1 X -11证明：设f (X)1 -1+x1+x 1 +x定义域为 XXR，且X式一1 , f (X)分别在区间(亠0,-1)，区间(_1,+=0)上是 增函数.

6、又0科a +b兰|a + b , f (a +b)兰 f (a + b)即la+b|兰同+忖 _ 同_ 土 _忖 兰同.忖1+|a+b| 1+|a|+|b| 1+忖+|b| 1+|a|+|b| 1+|a| 1 +|b原不等式成立.说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误:a +b 兰 a + b , 1 + a +b =0 ,a +b兰同：jb| _ |同一也兰且+ JbL1+a+b 1+|a+b| 1+|a+b| 1+|a+b| 1+|a| 1+|b|错误在不能保证1+|a+b畠1+|a , 1+|a+b兰1+|b .绝对值不等式a±b £a+|b在运用放缩法证明不等式时有

7、非常重要的作用，其形式转化比较灵活. 放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构.典型例题六2 2例 6 关于实数 x 的不等式 x®")一)与 x时，要满足 _3(a+1)x+2(3a+1)兰0 (aR)2 2的解集依次为 A与B，求使Am B的a的取值范围. 分析：分别求出集合 A、B，然后再分类讨论.2 2解：解不等式X (a+1)1),2 22 2 2(a-1) . x (a 1) (a -1)2 - 2 _ 2 ， A = "x 2a_x_a2 1,a R 二解不等式 x23(a 1)x 2(3a 1) < 0 , x(3a 1)(x2)

8、乞 0 .1时(即3a 12时)，得B3=J x 2兰xE3a+1,a>?.3'1_丄时(即3a 1 _2时)，得B3=* x 3a+1 兰 x 兰 2 , a 兰 2 ?.1时，要满足3必须丿2严2, 故1兰a兰3 ；a +1 兰 3a+1,必须丿2a _3a 1,22 _a2 1;<-1,1Wa 兰1,说明：在求满足条件 致误解.所以a的取值范围是A B的a时，要注意关于a的不等式组中有没有等号，否则会导典型例题七例6已知数列通项公式a*二目罗si；ja *；黑对于正整数 m、n,当m - n时，求证:分析：已知数列的通项公式是数列的前n项和，它的任意两项差还是某个数列

9、的和，再利用不等式 ai +a2 +an乞ai十a?十+ an，问题便可解决.证明：t m . nsin(n +1)a sin(n +2)a sin ma am -an =21*22*+-sin(n 1)asin(n +2)a+221 (1 1 )1 (1 _ )二 1121 12m_n) "： 2?(° ”：1 _2云：:：1)-说明：11 11 1+ 1占+ m是以1寺为首项，以1为公比，共有mn项的等比数列 2n 12口 22m2n 12的和，误认为共有 m n 一1项是常见错误.正余弦函数的值域，即sin q <1, cosQ <1，是解本题的关键本题把

10、不等式、三角函数、数列、n个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目如果将本题中 的正弦改为余弦，不等式同样成立.典型例题八例 8 已知 f(x)=x2 x+13 , xa c1，求证：|f(x) f(a) c2(a +1)分析：本题中给定函数 f(x)和条件|x-a<1，注意到要证的式子右边不含x，因此对条件x-a <1的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用a-1cx<a+1，替出x ； (3)用绝对值的性质 xaExav1=xca+1进行替换.证明：t f (x) = x2 - x 13f (a) = a2 -a 13 ,t x a c1，二

11、 x a 兰|x a <1 . x < a +1,/. f (x) _ f (a) = x2 _a2 +a _x二(x -a)(x a) _(x _a)=(x _a)(x a _1)=x _a，x +a -1<x+a1 ex +a +1 ca +1 + a +1=2(a +1),即 f (x) f(a) <2(a +1) 说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等 综合知识的运用.分析中对条件 xa <1使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求 证，灵活选用.典型例题九的解集是)x>0例9不等式组<3_x3 + xA

12、 . x 0 <x <2C. 'x 0 £X < J6 >分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法,B .x0<x<2.5D.x0 ex c3>由3-X2-x，知 3-x>0,3 + x 2+x3 + x3 x 2 x3+x 2+xI2 -6 <0卩 vx £30 ： x - . 6 .选 C.-3 : x <3，又x 00 ：: x ：:3，解原不等式组实为解不等式解法一：不等式两边平方得：(3x)2(2 x)2 (3 x)2(2x)2 .(x2 _x _6)2 - (x2x -6)2，即(x2 _x _6

13、 x2 x -6)(x2 _x_6_x2_x 6) 0 ,.x(6 -x2)0，又 0 ： x ： 3 .解法二：/ x 0 ,.可分成两种情况讨论：3 x 2 x(1)当0：x乞2时，不等式组化为( 0：x乞2 ).3+x 2+x解得 0 ：:x _2 .3 x x 2当x 2时，不等式组可化为 乂丄二(x 2 ),3+x 2+x解得 2 : x <、6 .综合(1)、得，原不等式组的解为 0 ：x ：飞，选C.说明：本题是在x 0的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方.另种方法则是分区间讨论，

14、从而去掉绝对值符号当然本题还可用特殊值排除法求解.典型例题十例 10 设二次函数f (x) =ax2 +bx +c( a = 0 ,且 b 式0 )，已知 b Ea , f (0)兰1 ,5f(1) <1, I f (1) <1，当 x <1 时，证明 |f(x)兰卫.4分析：从a>0知，二次函数的图像是开口向上的抛物线； 从x <1且f(-1)兰1 , f(1) <1 知，要求证的是f(x)冬5，所以抛物线的顶点一定在 x轴下方，取绝对值后，图像翻到x轴 上方因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在.2a<1：1.证明：/ 2b = (a +b +c) (a b +c)兰 a +b +c + a b +c=f + f (1)兰