青岛卫生学校分数线

1、梦想不会辜负每一个努力的人专题十三推理与证明第三十八讲推理与证明答案部分1. B【解析】解法一 因为 lnx< x 1 （x 0），所以 ai a2 a3In（ai a? a3）< a1若q <a? a3 1，所以a4 < 1，又印1，所以等比数列的公比q01，则印2a2a3a4 印(1 q)(1 q ) <:0而 aa2 a3 > a11，所以 In(a1 a2 a3) 0 ,与1门（印a2a3)q a2 a3 a4 < 0 矛盾，所以1q 0，所以 a1a3a,1q2)0 , a?a4a1q(1 q2)0,所以a1a3， a2a4，故选B.解法二因

2、为ex >x 1 , a a2a3 a4ln( aa2a3),所以eaia283 a 4a11a：a3 a aa：a3a41，则 a4 <1 ,又ai 1，所以等比数列的公比q 0 .若 q < 1，则 a1a2 a3 a4 a1(1 q)(1 q ) < 0 ,而 aa2 a3 > a11，所以 In(a1a2a3)0与|门（印a2a?)4a2 a3 a4 < 0 矛盾，所以1q0，所以：a1a3 印(1q2) 0 ,a2 a4 ag(1 q2) 0,所以a1a3 ,a2a4 ,故选B .2. D【解析】解法一-点（2,1）在直线x y1 上，axy 4表

3、示过定点(0,4),斜率为 a的直线，当a0时，xay2表示过疋点（2,0）1，斜率为1的直线，不等式x ay < 2a表示的区域包含原点，不等式 ax y 4表示的区域不包含原点直线 ax y 4与直线x ay 2互相垂直，显然当直线ax y 4的斜率 a 0时，不等式ax y 4表3示的区域不包含点灯），故排除A ;点（刊与点（0,4）连线的斜率为-，当a -，即a -时，ax y 4表示的区域包含点 （2,1），此时x ay 2表示的2 2区域也包含点（2,1），故排除 B ；当直线ax yax y 4表示的区域不包含点（2,1），故排除C,解法二若(2,1) A，贝U 2a 14

4、 ,解得a2 a < 2334的斜率 a -，即a -时,222，所以当且仅当(2,1) A .故选 D .3. D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好,4. B【解析】设0为三角形ABC中心，底面如图2,过 0作 OE RP ,OF PQ ,OG RQ，由题意可知tanDO , tanOEOD , tan,OFOG由图2所示，以P为原点建立直角坐标系，不妨设AB 2，则 A( 1,0) , B(1,0),c(。"),。吋)，-ap pb , QC CA2，«¥），R（彳吕，333 3看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的

5、结果则知道自己的结果，故选y 2、3x，直线RQ的方程为日,OF 运,OG 1 ,21393则直线RP的方程为y上3 x，直线PQ的方程为2y -x 5l3，根据点到直线的距离公式， 知OE3 9OF OG OE , tan tan tan ,因为，为锐角，所以选B5. B【解析】由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为18号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从18号里产生数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63, a , 60, 63, a l的5人中有3人进入30秒跳绳决赛.若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以I号，5号学生必进入

6、30秒跳绳决赛，故选 B.6. A【解析】当s 4时，p , q , r都是取0, 1, 2 , 3中的一个，有4 4 4 64种,当s 3时，p , q , r都是取0,1, 2中的一个，有3 3 3 27种，当s 2时，p , q , r都是取0 , 1中的一个，有2 2 2 8种，当s 1时，p , q , r都取0 ,有1 种，所以 card64 27 8 1 100，当 t 0时，u 取 1, 2 , 3, 4 中的一个，有4种，当t 1时，u取2 , 3, 4中的一个，有3种，当t 2时，u取3, 4中的一个，有2种，当t 3时，u取4，有1种，所以t、u的取值有1 2 3 4 1

7、0种， 同理，v、w的取值也有10种，所以card F 10 10100,所以 card card F 100 100 200，故选 D.7. B【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙，一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩， 则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好， 数学最差；另一个语文最差，数学最好； 第三个人成绩均为中等.故选B .& A【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A .9. D【解析】 55 3125,56 15 625 ,57 78125 ,58 390 625 , 59 1953

8、125 ,5D【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数9 765 625, 5n(n Z，且 n > 5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4,记5n( n Z , 且 n > 5)的末四位数字为 f(n),则f(2011) f (501 4 7)20117f (x)是偶函数，则它的导函数是f (7) , 5 与5的末位数字相同，均为 8 125,选D.奇函数，因为定义在 R上的函数f(x)满足f( x) f(x)，即函数f(x)是偶函数，所 以它的导函数是奇函数，即有g( x)= g(x)，故选D.11. 27【解析】所有的正奇数和2n ( n N* )按照从小到大的顺

9、序排列构成a.,在数列务556中，2前面有16个正奇数，即a2i 2 , a38 2 当n 1时，S 1 12a? 24 ,不符合题意；当f n 2时，S23 12a336 ,不符合题意；当n 3时，Ss 6 12a4 48，不符合题意；当n 4时，S4 10 12a§ 60，不符合题意;当 n 26 时，S2621 (1 41)2 (1 25)=441 +62= 503< 12a27516 ,不符合题2 1 2意；当n 27时，5c22(143)2 (12 )心入旳S27=484 +62=546> 12a28 =540，符合题2 1 2意故使得 & 12an 1

10、成立的n的最小值为27.12. Q1 P2【解析】设线段 AB的中点为G(Xi,y)，则Qi 2yi，其中i 1,2,3由题意只需比较线段A Bi中点的纵坐标的大小即可，作图可得A1B1中点纵坐标比A2B2, A3B3的中点纵坐标大，所以第一位选Q .由题意Pi 比，只需比较三条线段 OC1, OC2OC3斜率的大小，分别作 B1, B2,B3x关于原点的对称点 B, , b2 , b3，比较直线 a1b1,a2b2,a3b3斜率，可得 a2b2最大，所 以选p2.13. 1和3【解析】为方便说明，不妨将分别写有1和2, 1和3, 2和3的卡片记为A , B ,C从丙出发，由于丙的卡片上的数字

11、之和不是5,则丙只可能是卡片 A或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C,最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2,知甲所拿的卡片为 B,此时丙所拿的卡片为A.414. 解析】根据已知，归纳可得结果为一 n(n+1).31111111115. 1234 2n 1 2n n 1 n 2 2n12n【解析】观察等式知：第 n个等式的左边有2n个数相加减，奇数项为正，偶数项为负,且分子为1，分母是1到2n的连续正整数，等式的右边是16. 4n-1【解析】 具体证明过程可以是:1 (C0n 1C2n 1 C2n 12n 1C2n 14n1亠0亠12n

12、11 0-亠1亠2亠n 1C2n 1C2n1C2n 1LC2n 1(2C2n 122C2n 12C2n1 L2C2n1)1(C20n 1Cl；?)(C2nC 2n1C2n1 )(C2n 12n 3 C2n 1 丿L(C；nC2n 1)17. 1【解析】解法一 直接递推归纳；等腰直角三角形ABC中，斜边BC 2 2，所以4AB AC a1 2,AA a2a31 ,AsAsa7a1解法二求通项：等腰直角三角形ABC中，斜边 BC 2,2,所以 AB AC a1 2,AA a2 .2 ,an 1sin an42 an2 (>)n，故 372 2218. 6【解析】因为正确，也正确，所以只有正确

13、是不可能的；若只有正确，都不正确，则符合条件的有序数组为（2,3,1,4） , （3,2,1,4）;若只有正确，都不正确，则符合条件的有序数组为（3,1,2,4）;若只有正确，都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1,4,3) , (3,1,4,2) , (4,1,3,2) 综上符合条件的有序数组的个数是6.19. 42 解析】先由徒弟粗加一工原料B , 6天后，师傅开始精加工原料 B，徒弟同时开始粗加工原料 A ,再9天后（15天后），徒弟粗加工原料 A完成，此时师傅还在精加工原料B , 27天后，师傅精加工原料 B完成，然后接着精加工原料A，再15天后，师傅精加工原料 A完成，整个工作完成

14、，一共需要6 +21 + 15= 42个工作日.20.解析】由f/x)1 2014xxC，得 f2(x)f (产)1 xx1 2x可得f3（X）f( f2 (x)，故可归纳得1 3xf2014(x)X1 2014x21. F V E 2 解析】三棱柱中5 +6-9 =2 ;五棱锥中6+6 -10 =2 ;立方体中6+8 -12 =2 ,由此归纳可得F V E 2.22. 12 22+3242+ + (- 1) n+1 n2= (- 1) n+1 吃 1) (n N )2【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1,故第n个等式左边有n项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1, 2

15、, 3,n，指数都是2,符号成正负交替出现可以用(1)n 1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等 式的右边可以表示为(1)n _)，所以第n个式子可为12 22+32 42+2+ ( 1)n 1 n2= ( 1)n+1 卫(n n ).223. 1000【解析】观察n2和n前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等111111124.122324252626111边=12-2223(n1)A111111112232425262625.(1)6；(2)3 2n411【解析】(1)当 N =16 时,【解析】观察不等式的左边发现，第n个不等式的左差数列，故 N n,2411

16、n2 10n , N 10,2410002 n 1 1，右边=2丄 1 ,所以第五个不等式为n 1P0X2X3X4X5X6L 捲6，可设为(1,2,3,4,5,6, L ,16),R X1X3X5X7L X15X2X4X6L X16，即为(1,3,5,7,9, L 2,4,6,8, L ,16),P2X1X5X9X13X3X7X11X15X2X6L X16，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6, L ,16),为位于 P 中的第6个位置；(2 )在P中X173位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时在P2中为73位于四段中第一段的第44个位置上，再作变换得F3时，x,7

17、3位于八段中第二段的第22个位置上，再作变换时，X,73位于十六段中的第四段的第11个位置上.也就是位于P4中n 4的第3 211个位置上.26. n (n 1) L (3n2)(2n 1)2【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个梦想不会辜负每一个努力的人 等式的左边的式子的第一个数是行数 n，加数的个数是2n 1等式右边都是完全平方 数，27.所以 n (n 1) L n即 n (n 1) L (3n(2n 1)2)(2n0,当n为偶数时2 3，当n为奇数时【解析】11)2(2n1)2,根据合情推理,利用归纳和类比进行简单的推理,行数等号左边的项数1=1112+3+4=9233+4+5+

18、6+7=25354+5+6+7+8+9+10=49470,当n为偶数时可得Tn =11匚，当n为奇数时2n 3n28.962【解析】观察等式可知，COS的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故 m 128 4 512 .取 0，则 cos1, cos101，代入等式得1512 1280 1120 n p 1，即 n p 350取 【则cos1COS101，代入等式得123，22512（扩1280(1)81120/161 4(-)门(才pg)21即n4p200联立（得，n400, p50,所以m n p = 512(400)5096229.【解析】（1）因为(1,1,0)(

19、0,1,1），所以M(,)如1 |11|)(1 1|1 1|) (0 0)|00|) 2 ,M(,)如0 |10|)(1 1|1 1|) (0 1|01|) 1 .设(捲，X2X,X4) B，则 M( ,) X1X2X3X4.由题意知X1 , X2, X3 , X4 0 , 1,且M(,)为奇数, 所以Xi, X2, X3, X4中1的个数为1或3.所以 B (1 , 0, 0, 0), (0, 1 , 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 1, 1 , 1),1, 0).(1, 0 , 1 , 1) , (1, 1 , 0 , 1) , (1,将上述集

20、合中的元素分成如下四组:(1 , 0, 0, 0), (1, 1, 1, 0)； (0,0 , 0) , (1, 1 , 0, 1);(0, 0, 1, 0), (1 , 0,1, 1)； (0, 0, 0, 1), (0, 1, 1,1).经验证，对于每组中两个元素，均有 M ( ,)1 .所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以集合B中元素的个数不超过 4.又集合(1 , 0 , 0 , 0) , (0 , 1 , 0 ,0) , (0 , 0 , 1,0) , (0 , 0 ,0 , 1）满足条件,所以集合B中元素个数的最大值为4.设 Sk ( X1,X2, ,Xn)|(X!,

21、X2,Xn)代Xk1,X1X2Xk 10(k 1,2,n),Sn 1 (X1,X2, ,Xn)|X1X2Xn0,则 A S1 U S2 UU Sn 1 .对于 Sk ( k 1,2,中的不同元素,经验证,M( , ) > 1.所以 Sk ( k 1,2,n 1)中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以B中元素的个数不超过取 ek (X1, X2, ,Xn) Sk且 Xk 1Xn0 (k 1,2,n 1).令 B G©, ,enJUSnUSn1,则集合B的元素个数为n 1,且满足条件.故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.1 , 2 , 3的所有排列，有30.【解析】（1）记

22、（abc）为排列abc的逆序数，对(123)=0 ,(132)=1 ,(213)=1 ,(231)=2 , (312)=2 ,(321)=3 ,所以 f3(0)1, f3(1)f3(2)2 . 梦想不会辜负每一个努力的人对1, 2, 3, 4的排列，利用已有的 1, 2, 3的排列，将数字 4添加进去，4在新排列 中的位置只能是最后三个位置.因此，f4(2) f3(2) f3(1) f3(0)5 .对一般的n (n > 4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12 n ,所以fn (0) 1 .逆序数为1的排列只能是将排列12 n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以 fn(1) n

23、 1 .为计算fn 1(2)，当1, 2,，n的排列及其逆序数确定后，将n 1添加进原排列，n 1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此，fn 1(2)fn (2) fn(1) fn(0) fn(2) n 当n > 5时，fn (2) fn (2) fn 1fn 1(2)fn 2(2)f5(2)f4(2)f4(2)(n1) (n 2)4f4(2)2 on 22因此，n > 5时，2fn(2)002231.【解析】证明：(1)因为an是等差数列，设其公差为d，则an印(n 1)d ,从而，当 n > 4 时，an k a* k (n k 1)d (n k 1)d2a12(n

24、1)d 2an , k 1,2,3,所以 an 3 an 2+an 1 +a. 1 an 2+an 3 6an ,因此等差数列 an是“ P(3)数列”.(2)数列an既是“ P(2)数列”，又是“ P(3)数列”，因此，当 n3 时，an2a. 1a.1an24a.，当 n4 时，an3a. 2a.1a.1an 2 an36an.由知，a.3a.24an1(a.a.1)，an 2an 34an 1 (an 1 an)，将代入，得an i an i 2an，其中n 4,所以a3,a4,a5,L是等差数列，设其公差为d'.在中，取 n 4，则a2 a3a5比4a4，所以a2a3 d

25、9;，在中，取 n 3，则 ai a?a4a54a3，所以 aia? 2d'，所以数列an是等差数列.32.【解析】(I)易知 ai 1 , a?2,a33 且 bj 1, b?3, b35所以 ci bi ai 110,C2max02a-i,b22a2maxi2 1,32 2 i ,C3maxD3ai,b23a2,b33a3maxi3 1,33 2,53 32 .下面证明：对任意 n n*且n > 2，都有cn b a1 n .当k*N且2 < k <n时(bk ab n)(biain)(2 k1)nk1n(2 k2)n(k1)(k1)(2n) k i 0 且 2

26、n < 0 (bkak n)(b1 a)< 0(b!ai n) > (bk ak n).因此对任意nN* 且 n > 2 , Cnbia1 n1 n ,则 Cn 1 Cn1 .又 c2c11 ,故 Cn 1Cn1对n N*均成立,从而c 是等差数列Cn是等差数列(n)设数列an和bn的公差分别为da,db，下面我们考虑Cn的取值对 b a,b2a2 n , bnan n ,考虑其中任意项b a n (i N故必存在 m N，使得当n > m时，da n db 0则当n > m时，(bi ai n) (d a1 n) (i 1)( da n db) <

27、0 (i N ,1 < i < n)因此，当nm时，cn D a1 n .此时Cn 1 Cna1，故Cn从第m项开始为等差数列，命题成立.(3) da 0，则此时 da n db为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数.故必存在s N*，使得当n > s时，da n db 0则当n > s时，(bain)(bnan n) (i n)(dandb)< 0 (iN*,1< i < n)因此当n > s时，cn bn an n .且1 < i < n),b 3 nb (i 1)db(i 1)da n(bin) (i 1)(db da n)下

28、面分da 0，da 0， da 0三种情况进行讨论.(1)若 da 0，则 biai nQa1 n) (i1)db若db < 0，则(bai n)(b1a1 n) (i1)db < 0则对于给定的正整数n而言，Cnb1a1 n此时 Cn 1Cna1,故Cn是等差数列 db 0，则(bi a n) (bn an n) (in)db < 0则对于给定的正整数n而言，Cnbnan nbna-i n此时 Cn 1Cndba1，故Cn是等差数列此时取m 1,则c1 ,c2, C3,是等差数列，命题成立.(2) 若da 0，则此时 da n db为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数.

29、此时Cnbnan nbn.onn(d a d )bdbna11a1b丿nnnn令daA0 , daa1 db B, b1db C下面证明CnAnM，使得当n > m时,B对任意正数，存在正整数mnnCn Mn若C > 0,则取m 型 B1 1 (x表示不等于x的最大整数) A当n > m时，Cn > An B > Am B A(|M B1 1) B A - B M nAA此时命题成立.若 C 0，则取 m |M C B| 1A当n > m时Cn > An B C > Am B C A(|- C B| 1) B C nA> M C B B C

30、 M此时命题成立.因此，对任意正数 M，使得当n > m时，Cn M .n综合以上三种情况，命题得证.n 1*33.【解析】(1)由已知得an a1 3 ,n N .于是当 T 2,4时，Sr a2 a4 3ai 27a1 30a1.又 Sr 30，故 30a130 ,即 a11.n d*所以数列an的通项公式为an 3, nN._n 1*因为 T 1,2,L ,k , an 30,n N ,所以 Sr a1 a2 L ak 1 3 L 3k 1-(3k 1)3k.2因此，Srak 1.(3)下面分三种情况证明.若D是C的子集，则Sc Sci d Sc Sd SdSd2Sd .若C是D的

31、子集，则SC SCI D SC SC 2SC 2sd.若D不是C的子集，且C不是D的子集令 E CI CUD，F D I CUC 则 E ，F ，EI F于是 ScSeSci d， SdSfSc i d，进而由ScSd，得 SeSf .由(2)知，SEak 1，于.曰3| 1是aaiSfSekak 13 ,所以l1 k ,即 1 k又k l，故1 k1 ,从而SFa?l a1 3L31 1所以 f(X)< 3.221 233由(1)得 f (x) > 1 X X (X )- > -, 411933又因为f(2)龙-，所以f x -,13k 1 1ak1Se12222故SE2S

32、f 1 ,所以ScSCI D2(SD4443 3综上，3f(x) <-.4 235.解析】 f(x)的定义域为(，)，f (x) 1 ex .当f (x)0,即x 0时，f (x)单调递增;CI D )1，即 ScSCI D2Sd1.设k是E中的最大数,l为F中的最大数，则k 1,l1,k l .综合得,2Sd.ScSCI D34.【解析】因为1 XX2由于X 0,1 ，1，即1 X所以f(x) > 12x 11故 f(X) X3W X1 X当f (x)0,即x 0时，f(x)单调递减.故f (x)的单调递增区间为(,0),当x0 时，f(x)f(0) 0，即1令x-，得 111e

33、n，即(1 -)nnnn小、b11 1b1b21 (1 ；) 11 2;a11a1 a2bib2b3b®b3“、2 1、3xbib23ai a2 83ai82单调递减区间为(0,e. (*)2(122(2 1)3 ;331)4 .由此推测：MS (n1)n. (*)aL an83下面用数学归纳法证明. 当n 1时，左边右边 2, (*)成立. 假设当n k时，(*)成立，即blb2L bk (k 1)k .a1a2 L ak当n k 1时，bk1 (k1)(1由归纳假设可得bL bkbk 1bL bka1a2L akak 1a1a2L akbk 1ak 1(kk1) (k 1)(1C

34、L 化 2)k1所以当n k1时,(*)也成立.根据，可知(*)对一切正整数n都成立.由Cn的定义,(*)，算术-几何平均不等式,bn的定义及(*)得TnC1C2C31Cn(a1)1"2(a£2)1(a1a2a3)3L(a£2L1an)*1(b1)121(bb2)21bn)"n 1b11 2bib22 3b b2 b33 4b b2n(nL bn1)n(n 1丿L爲)D(11)b2(1bn(丄nbn(11 22) a2(11 .-)anea1ea2eaneSn，即 TneSn .36.【解析】(1) f 613 .n 2- - , n 6t23当n 6时，f nnn2n2,n6t223（tn1nn2,n6t323nn1n2,n6t423n1n 2n2,n6t 523n 23n 6t 1）下面用数学归纳法证明：当n 6时，f 66 2-13，结论成立;23假设n k（ k 6 ）时结论成立，那么n k 1时，Sk 1在Sk的基础上新增加的元素在1,k 1 ，2,k 1，3,k 1中产生，分以下情形讨论