2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(大纲全国卷)文 (2)

1、1 / 11 大纲全国文科大纲全国文科 1.(2012 大纲全国,文 1)已知集合 a=x|x 是平行四边形,b=x|x 是矩形,c=x|x 是正方形,d=x|x是菱形,则( ). a.ab b.cb c.dc d.ad b 正方形组成的集合是矩形组成集合的子集, cb. 2.(2012 大纲全国,文 2)函数 y=1x+(x-1)的反函数为( ). a.y=x2-1(x0) b.y=x2-1(x1) c.y=x2+1(x0) d.y=x2+1(x1) a y=1x+,y2=x+1,x=y2-1,x,y互换可得:y=x2-1. 又y=1x+中 x-1,y0. 反函数中 x0,故选 a. 3.(

2、2012 大纲全国,文 3)若函数 f(x)=sin3x+(0,2)是偶函数,则 =( ). a.2 b.23 c.32 d.53 c f(x)=sin3x+是偶函数,f(0)=1. sin3=1. 3=k+2(kz). =3k+32(kz). 又0,2,当 k=0 时,=32.故选 c. 4.(2012 大纲全国,文 4)已知 为第二象限角,sin =35,则 sin 2=( ). a.-2425 b.-1225 c.1225 d.2425 a sin =35,且 为第二象限角, cos =-21sin=-45. 2 / 11 sin 2=2sin cos =23545=-2425.故选 a

3、. 5.(2012 大纲全国,文 5)椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x=-4,则该椭圆的方程为( ). a.2x16+2y12=1 b.2x12+2y8=1 c.2x8+2y4=1 d.2x12+2y4=1 c 焦距为 4,即 2c=4,c=2. 又准线 x=-4,-2ac=-4. a2=8.b2=a2-c2=8-4=4. 椭圆的方程为:2x8+2y4=1.故选 c. 6.(2012 大纲全国,文 6)已知数列an的前 n 项和为 sn,a1=1,sn=2an+1,则 sn=( ). a.2n-1 b.n 132 c.n 123 d.n 112 b sn=2an+1,sn-1=2a

4、n(n2), 两式相减得:an=2an+1-2an, n 1naa+=32. 数列an从第 2项起为等比数列.又 n=1 时,s1=2a2,a2=12. sn=a1+n 113122312=1-n 1312=n 132. 7.(2012 大纲全国,文 7)6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有( ). a.240 种 b.360 种 c.480 种 d.720种 c 由题意可采用分步乘法计数原理,甲的排法种数为14a,剩余 5 人进行全排列:55a,总的情况有:14a55a=480 种.故选 c. 8.(2012 大纲全国,文 8)已知正四棱柱 abcd

5、-a1b1c1d1中,ab=2,cc1=22,e为 cc1的中点,则直线ac1与平面 bed 的距离为( ). a.2 b.3 c.2 d.1 3 / 11 d 连结 ac交 bd 于点 o,连结 oe. ab=2,ac=22. 又 cc1=22,则 ac=cc1. 作 chac1于点 h,交 oe于点 m. 由 oe为acc1的中位线知,cmoe,m为 ch的中点. 由 bdac,ecbd 知,bd面 eoc, cmbd. cm面 bde. hm 为直线 ac1到平面 bde的距离. 又acc1为等腰直角三角形,ch=2.hm=1. 9.(2012 大纲全国,文 9)abc 中,ab 边的高

6、为 cd,若cb=a,ca=b,a b=0,|a|=1,|b|=2,则ad=( ). a.13a-13b b.23a-23b c.35a-35b d.45a-45b d a b=0,ab. 又|a|=1,|b|=2, |ab|=5, |cd|=1 25=2 55. |ad|=222 525=4 55. ad=4 55ab5=4ab5=45(a-b)=45a-45b. 10.(2012 大纲全国,文 10)已知 f1,f2为双曲线 c:x2-y2=2 的左、右焦点,点 p在 c上,|pf1|=2|pf2|,则 cosf1pf2=( ). a.14 b.35 c.34 d.45 4 / 11 c

7、设|pf2|=m,则|pf1|=2m, 由双曲线定义:|pf1|-|pf2|=2a,得 2m-m=22, m=22. 又 2c=222ab+=2 2=4, 由余弦定理可得:cosf1pf2=2221212|pf |pf |4c2|pf|pf |+=34. 11.(2012 大纲全国,文 11)已知 x=ln ,y=log52,z=12e,则( ). a.xyz b.zxy c.zyx d.yz1,y=log5214=12,且12ee0=1, yzx. 12.(2012 大纲全国,文 12)正方形 abcd的边长为 1,点 e在边 ab上,点 f在边 bc上,ae=bf=13.动点p 从 e出发

8、沿直线向 f运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点 p第一次碰到 e 时,p与正方形的边碰撞的次数为( ). a.8 b.6 c.4 d.3 b 如图,由题意:tanbef=12, 2kx1=12,x2为 hd 中点, 23x dx d=12,x3d=13, 43x cx c=12,x4c=13, 54x hx h=12,x5h=12, 56x ax a=12,x6a=13,x6与 e 重合,故选 b. 5 / 11 13.(2012 大纲全国,文 13)81x2x+的展开式中 x2的系数为 . 7 81x2x+展开式的通项为 tr+1=r8cx8-rr12x=r8c2-

9、rx8-2r, 当 8-2r=2时,r=3. x2的系数为38c2-3=7. 14.(2012 大纲全国,文 14)若 x,y 满足约束条件xy 10,xy30,x3y30,+ +则 z=3x-y 的最小值为 . -1 由题意画出可行域,由 z=3x-y 得 y=3x-z,要使 z 取最小值,只需截距最大即可,故直线过 a(0,1)时,z最小. zmin=3 0-1=-1. 15.(2012 大纲全国,文 15)当函数 y=sin x-3cos x(0 x2)取得最大值时,x= . 56 y=sin x-3cos x=213xx22sincos=2sinx3. 当 y取最大值时,x-3=2k+

10、2, x=2k+56. 又0 x1时有 an=sn-sn-1=n23+an-n13+an-1, 整理得 an=n1n1+an-1. 于是 a1=1, a2=31a1, a3=42a2, an-1=nn2an-2, an=n1n1+an-1. 7 / 11 将以上 n个等式两端分别相乘,整理得 an=n(n1)2+. 综上,an的通项公式 an=n(n1)2+. 19.(2012 大纲全国,文 19)如图,四棱锥 p-abcd中,底面 abcd 为菱形,pa底面abcd,ac=22,pa=2,e 是 pc上的一点,pe=2ec. (1)证明:pc平面 bed; (2)设二面角 a-pb-c 为

11、90,求 pd 与平面 pbc所成角的大小. 解法一:(1)证明:因为底面 abcd为菱形,所以 bdac. 又 pa底面 abcd, 所以 pcbd. 设 acbd=f,连结 ef. 因为 ac=22,pa=2,pe=2ec, 故 pc=23,ec=2 33,fc=2, 从而pcfc=6,acec=6, 因为pcfc=acec,fce=pca, 所以fcepca,fec=pac=90, 由此知 pcef. pc与平面 bed 内两条相交直线 bd,ef 都垂直, 所以 pc平面 bed. (2)在平面 pab 内过点 a作 agpb,g为垂足. 因为二面角 a-pb-c为 90,所以平面 p

12、ab平面 pbc. 又平面 pab平面 pbc=pb,故 ag平面 pbc,agbc. bc 与平面 pab内两条相交直线 pa,ag 都垂直, 故 bc平面 pab,于是 bcab, 8 / 11 所以底面 abcd为正方形,ad=2,pd=22paad+=22. 设 d 到平面 pbc的距离为 d. 因为 adbc,且 ad平面 pbc,bc平面 pbc,故 ad平面 pbc,a,d 两点到平面 pbc 的距离相等,即 d=ag=2. 设 pd与平面 pbc 所成的角为 ,则 sin =dpd=12. 所以 pd与平面 pbc所成的角为 30. 解法二:(1)证明:以 a为坐标原点,射线

13、ac 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 a-xyz. 设 c(22,0,0),d(2,b,0),其中 b0, 则 p(0,0,2),e4 22,0,33,b(2,-b,0). 于是pc=(22,0,-2),be=22,b,33,de=22,-b,33, 从而pcbe=0,pcde=0, 故 pcbe,pcde. 又 bede=e,所以 pc平面 bde. (2)ap=(0,0,2),ab=(2,-b,0). 设 m=(x,y,z)为平面 pab 的法向量, 则 map=0,mab=0, 即 2z=0且2x-by=0, 令 x=b,则 m=(b,2,0). 设 n=(p,q,r)

14、为平面 pbc 的法向量, 则 npc=0,nbe=0, 即 22p-2r=0且2p3+bq+23r=0, 令 p=1,则 r=2,q=-2b,n=21,-, 2b. 因为面 pab面 pbc,故 m n=0,即 b-2b=0,故 b=2, 于是 n=(1,-1,2),dp=(-2,-2,2), cos=n?|n|dp|dp=12,=60. 因为 pd与平面 pbc所成角和互余,故 pd 与平面 pbc 所成的角为 30. 9 / 11 20.(2012 大纲全国,文 20)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10平前,一方连续发球 2次后,对方再连续发球 2次,依次轮换,每次发球,胜方

15、得 1 分,负方得 0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得 1分的概率为 0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球. (1)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2的概率; (2)求开始第 5 次发球时,甲得分领先的概率. 解:记 ai表示事件:第 1 次和第 2 次这两次发球,甲共得 i分,i=0,1,2; bi表示事件:第 3 次和第 4次这两次发球,甲共得 i 分,i=0,1,2; a表示事件:第 3次发球,甲得 1分; b表示事件:开始第 4次发球时,甲、乙的比分为 1比 2; c表示事件:开始第 5次发球时,甲得分领先. (1)b=a0 a+a

16、1a, p(a)=0.4,p(a0)=0.42=0.16,p(a1)=2 0.6 0.4=0.48, p(b)=p(a0 a+a1a) =p(a0 a)+p(a1a) =p(a0)p(a)+p(a1)p(a) =0.16 0.4+0.48 (1-0.4)=0.352. (2)p(b0)=0.62=0.36,p(b1)=2 0.4 0.6=0.48,p(b2)=0.42=0.16, p(a2)=0.62=0.36. c=a1 b2+a2 b1+a2 b2 p(c)=p(a1 b2+a2 b1+a2 b2) =p(a1 b2)+p(a2 b1)+p(a2 b2) =p(a1)p(b2)+p(a2)

17、p(b1)+p(a2)p(b2) =0.48 0.16+0.36 0.48+0.36 0.16=0.307 2. 21.(2012 大纲全国,文 21)已知函数 f(x)=13x3+x2+ax. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设 f(x)有两个极值点 x1,x2,若过两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)的直线 l与 x 轴的交点在曲线 y=f(x)上,求 a的值. 解:(1)f(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1. 当 a1 时,f(x)0,且仅当 a=1,x=-1时,f(x)=0,所以 f(x)是 r上的增函数; 当 a0,f(x)是增函数; 当 x(-1-1 a,-1

18、+1 a)时,f(x)0,f(x)是增函数. (2)由题设知,x1,x2为方程 f(x)=0的两个根, 故有 a0)有一个公共点 a,且在a处两曲线的切线为同一直线 l. (1)求 r; (2)设 m,n是异于 l且与 c及 m都相切的两条直线,m,n 的交点为 d,求 d到 l的距离. 解:(1)设 a(x0,(x0+1)2).对 y=(x+1)2求导得 y=2(x+1), 故 l的斜率 k=2(x0+1). 当 x0=1时,不合题意,所以 x01. 圆心为 m11,2,ma的斜率 k=2001(x1)2x1+. 由 lma知 k k=-1, 即 2(x0+1)2001(x1)2x1+=-1, 解得 x0=0,故 a(0,1), r=|ma|=221(1 0)12+=52,即 r=52. (2)设(t,(t+1)2)为 c 上一点,则在该点处的切线方程为 y-(t+1)2=2(t+1)(x-t), 即 y=2(t+1)x-t2