2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(四川卷)理 (2)

1、四川卷(理科数学)1.(2012四川,理1)(1+x)7的展开式中x2的系数是(). a.42b.35c.28d.21d含x2的项是展开式中的第三项t3=x2=21x2,所以x2的系数是21.2.(2012四川,理2)复数=().a.1b.-1c.id.-ib=-1.3.(2012四川,理3)函数f(x)=在x=3处的极限().a.不存在b.等于6c.等于3d.等于0a当x<3时,f(x)=(x+3)=6;当x>3时,f(x)=ln(x-2)=0.由于f(x)在x=3处的左极限不等于右极限,所以函数f(x)在x=3处的极限不存在.4.(2012四川,理4)如图,正方形abcd的边长

2、为1,延长ba至e,使ae=1,连结ec,ed,则sinced=().a.b.c.d.b因为四边形abcd是正方形,且ae=ad=1,所以aed=.在rtebc中,eb=2,bc=1,所以sinbec=,cosbec=.sinced=sin=cosbec-sinbec=.5.(2012四川,理5)函数y=ax-(a>0,且a1)的图象可能是().d当a>1时,函数y=ax单调递增,-1<-<0,所以y=ax-的图象与y轴的交点的纵坐标在0至1之间,所以选项a,b都不正确;当0<a<1时,函数y=ax单调递减,而此时-<-1,所以函数y=ax-与y轴的交

3、点在x轴的下方,选项d符合条件.6.(2012四川,理6)下列命题正确的是().a.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行b.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行c.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行d.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行c若两条直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线可平行、可异面、可相交.选项a错;如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧,则经过这三个点的平面与这个平面相交,选项b不正确;如图,平面=b,a,a,过直线a作平面=c,过直线a作平面=d,a,ac,a,ad,dc

4、,c,d,d,又d,db,ab,选项c正确;若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可平行、可相交,选项d不正确.7.(2012四川,理7)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件是().a.a=-bb.abc.a=2bd.ab且|a|=|b|c因为=,则向量与是方向相同的单位向量,所以a与b共线同向,即使=成立的充分条件为选项c.8.(2012四川,理8)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点o,并且经过点m(2,y0).若点m到该抛物线焦点的距离为3,则|om|=().a.2b.2c.4d.2b由抛物线定义,知+2=3,所以p=2,抛物线方程为y2=4x.因为点m(2

5、,y0)在抛物线上,所以y0=±2,故|om|=2.9.(2012四川,理9)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗a原料1千克、b原料2千克;生产乙产品1桶需耗a原料2千克、b原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗a,b原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是().a.1 800元b.2 400元c.2 800元d.3 100元c设某公司生产甲产品x桶,生产乙产品y桶,获利为z元,则x,y满足的线性约束条件为目标函数z=300x+400y.

6、作出可行域,如图中四边形oabc的边界及其内部整点.作直线l0:3x+4y=0,平移直线l0经可行域内点b时,z取最大值,由得b(4,4),满足题意,所以zmax=4×300+4×400=2 800.10.(2012四川,理10)如图,半径为r的半球o的底面圆o在平面内,过点o作平面的垂线交半球面于点a,过圆o的直径cd作与平面成45°角的平面与半球面相交,所得交线上到平面的距离最大的点为b,该交线上的一点p满足bop=60°,则a,p两点间的球面距离为().a.rarccosb.c.rarccosd.a过点a作ah平面bcd,平面bcd与底面所成的角为

7、45°,ao平面,且点b为交线上与平面的距离最大的点,点h在ob上,且aob=45°.过点h作hmop,垂足为m,连接am,在等腰直角三角形aoh中,ah=oh=r.在rthom中,hop=60°,hm=oh·=r.在rtahm中,am=r,则在rtamo中,sinaop=,cosaop=,aop=arccos,a,p两点的球面距离为rarccos.11.(2012四川,理11)方程ay=b2x2+c中的a,b,c-3,-2,0,1,2,3,且a,b,c互不相同.在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有().a.60条b.62条c.71条d.80条

8、b因为a,b不能为0,先确定a,b的值有种,则c有种,即所形成的抛物线有=80条.当b=±2时,b2的值相同,重复的抛物线有=9条;当b=±3时,b2的值相同,重复的抛物线有=9条,所以不同的抛物线共有-2=62条.12.(2012四川,理12)设函数f(x)=2x-cos x,an是公差为的等差数列,f(a1)+f(a2)+f(a5)=5,则f(a3)2-a1a5=().a.0b.2c.2d.2d因为an是以为公差的等差数列,所以a1=a3-,a2=a3-,a4=a3+,a5=a3+,则f(a1)=2a3-cos,f(a2)=2a3-cos,f(a3)=2a3-cos a

9、3,f(a4)=2a3+-cos,f(a5)=2a3+-cos.所以f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)=10a3-+cos+cos a3+cos+=10a3-=10a3-cos a3=5.则a3=.于是a1=a3-=,a5=a3+=,f(a3)=2×-cos=.故f(a3)2-a1a5=2-·=2.13.(2012四川,理13)设全集u=a,b,c,d,集合a=a,b,b=b,c,d,则(ua)(ub)=. a,c,dua=c,d,ub=a,所以(ua)(ub)=a,c,d.14.(2012四川,理14)如图,在正方体abcd-a1b1c1

10、d1中,m,n分别是棱cd,cc1的中点,则异面直线a1m与dn所成的角的大小是. 90°如图,以点d为原点,以da,dc,dd1为x轴、y轴、z轴建立坐标系d-xyz.设正方体的棱长为2,则=(2,-1,2),=(0,2,1),·=0,故异面直线a1m与nd所成角为90°.15.(2012四川,理15)椭圆+=1的左焦点为f,直线x=m与椭圆相交于点a,b.当fab的周长最大时,fab的面积是. 3设椭圆的右焦点为f1,则|af|=2a-|af1|=4-|af1|,afb的周长为2|af|+2|ah|=2(4-|af1|+|ah|).af1h

11、为直角三角形,|af1|>|ah|,仅当f1与h重合时,|af1|=|ah|,当m=1时,afb的周长最大,此时sfab=×2×|ab|=3.16.(2012四川,理16)记x为不超过实数x的最大整数.例如,2=2,1.5=1,-0.3=-1.设a为正整数,数列xn满足x1=a,xn+1=(nn*).现有下列命题:当a=5时,数列xn的前3项依次为5,3,2;对数列xn都存在正整数k,当nk时总有xn=xk;当n1时,xn>-1;对某个正整数k,若xk+1xk,则xk=.其中的真命题有.(写出所有真命题的编号) 当a=5时,x1=5,x2=3,x3=2

12、,正确.当a=1时,x1=1,x2=1,x3=1,xk恒等于=1;当a=2时,x1=2,x2=1,x3=1,所以当k2时,恒有xk=1;当a=3时,x1=3,x2=2,x3=1=,x4=2,x5=1,x6=2,所以当k为偶数时,xk=2,当k为大于1的奇数时,xk=1,不正确.在xn+中,当为正整数时,xn+=xn+2,xn+1=;当不是正整数时,令=-t,t为的小数部分,0<t<1,xn+1=>=,xn+1,xn,即xn>-1,正确.由以上论证知,存在某个正整数k,若xk+1xk,则xk=,正确.17.(2012四川,理17)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简

13、称系统)a和b,系统a和系统b在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求p的值;(2)设系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求的概率分布列及数学期望e.解:(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件c,那么1-p()=1-·p=.解得p=.(2)由题意,p(=0)=,p(=1)=·=,p(=2)=·=,p(=3)=.所以,随机变量的概率分布列为0123p故随机变量的数学期望:e=0×+1×+2×+3×=.18.(2012四川,理18)函数f(x)=6cos2

14、+sin x-3(>0)在一个周期内的图象如图所示,a为图象的最高点,b,c为图象与x轴的交点,且abc为正三角形.(1)求的值及函数f(x)的值域;(2)若f(x0)=,且x0,求f(x0+1)的值.解:(1)由已知可得,f(x)=3cos x+sin x=2sin.又正三角形abc的高为2,从而bc=4.所以函数f(x)的周期t=4×2=8,即=8,=.函数f(x)的值域为-2,2.(2)因为f(x0)=,由(1)有f(x0)=2sin=,即sin=.由x0,知+,所以cos=.故f(x0+1)=2sin=2sin=2+cos+=2=.19.(2012四川,理19)如图,在

15、三棱锥p-abc中,apb=90°,pab=60°,ab=bc=ca,平面pab平面abc.(1)求直线pc与平面abc所成的角的大小;(2)求二面角b -ap -c的大小.解法一:(1)设ab的中点为d,ad的中点为o,连结po,co,cd.由已知,pad为等边三角形.所以poad.又平面pab平面abc,平面pab平面abc=ad,所以po平面abc.所以ocp为直线pc与平面abc所成的角.不妨设ab=4,则pd=2,cd=2,od=1,po=.在rtocd中,co=.所以,在rtpoc中,tanocp=.故直线pc与平面abc所成的角的大小为arctan.(2)过d

16、作deap于e,连结ce.由已知可得,cd平面pab.根据三垂线定理知,cepa.所以ced为二面角b -ap -c的平面角.由(1)知,de=.在rtcde中,tanced=2.故二面角b -ap -c的大小为arctan 2.解法二:(1)设ab的中点为d,作poab于点o,连结cd.因为平面pab平面abc,平面pab平面abc=ad,所以po平面abc.所以pocd.由ab=bc=ca,知cdab.设e为ac中点,则eocd,从而oepo,oeab.如图,以o为坐标原点,ob,oe,op所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系o -xyz.不妨设pa=2,由已知可得,ab=4,oa

17、=od=1,op=,cd=2.所以o(0,0,0),a(-1,0,0),c(1,2,0),p(0,0,).所以=(-1,-2,),而=(0,0,)为平面abc的一个法向量.设为直线pc与平面abc所成的角,则sin =.故直线pc与平面abc所成的角的大小为arcsin.(2)由(1)有,=(1,0,),=(2,2,0).设平面apc的一个法向量为n=(x1,y1,z1),则从而取x1=-,则y1=1,z1=1,所以n=(-,1,1).设二面角b -ap -c的平面角为,易知为锐角.而面abp的一个法向量为m=(0,1,0),则cos =.故二面角b -ap -c的大小为arccos.20.(

18、2012四川,理20)已知数列an的前n项和为sn,且a2an=s2+sn对一切正整数n都成立.(1)求a1,a2的值;(2)设a1>0,数列的前n项和为tn.当n为何值时,tn最大?并求出tn的最大值.解:(1)取n=1,得a2a1=s2+s1=2a1+a2,取n=2,得=2a1+2a2,由-,得a2(a2-a1)=a2.若a2=0,由知a1=0;若a20,由知a2-a1=1.由,解得,a1=+1,a2=2+;或a1=1-,a2=2-.综上可得,a1=0,a2=0;或a1=+1,a2=+2;或a1=1-,a2=2-.(2)当a1>0时,由(1)知a1=+1,a2=+2.当n2时,

19、有(2+)an=s2+sn,(2+)an-1=s2+sn-1,所以(1+)an=(2+)an-1,即an=an-1(n2),所以an=a1()n-1=(+1)·()n-1.令bn=lg,则bn=1-lg()n-1=1-(n-1)lg 2=lg.所以数列bn是单调递减的等差数列,从而b1>b2>>b7=lg>lg 1=0,当n8时,bnb8=lg<lg 1=0,故n=7时,tn取得最大值,且tn的最大值为t7=7-lg 2.21.(2012四川,理21)如图,动点m与两定点a(-1,0),b(2,0)构成mab,且mba=2mab.设动点m的轨迹为c.(1

20、)求轨迹c的方程;(2)设直线y=-2x+m与y轴相交于点p,与轨迹c相交于点q,r,且|pq|<|pr|,求的取值范围.解:(1)设m的坐标为(x,y),显然有x>0,且y0.当mba=90°时,点m的坐标为(2,±3).当mba90°时,x2,由mba=2mab,有tanmba=,即-=.化简可得,3x2-y2-3=0.而点(2,±3)在曲线3x2-y2-3=0上,综上可知,轨迹c的方程为3x2-y2-3=0(x>1).(2)由消去y,可得x2-4mx+m2+3=0.(*)由题意,方程(*)有两根且均在(1,+)内.设f(x)=x2-4mx+m2+3,所以解得,m>1,且m2.设q,r的坐标分别为(xq,yq),(xr,yr),由|pq|<|pr|有xr=2m+,xq=2m-.所以=-1+.由m>1,且m2,有1<-1+<7+4,且-1+7.所以的取值范围是(1,7)(7,7+4).22.(2012四川,理22)已知a为正实数,n为自然数,抛物线y=-x2+与x轴正半轴