选择题下列每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要

1、> 1、选择题 下列每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求.则 fff(x)等于1° *1戈C. Va|工I:> 1lim7i +4设函数f(x)=和7 乂则 f(x)在(-8, +8)内处处可导 B恰有个不可导点A 0 B 12.AC .恰有两个不可导点D 至少有三个不可导点3设A li> l2> 1 B 1> 丨1> I2 C l2> ll > 1 D 1> l2> li4 设 an=rc J 1 + t'! d.r * ini7?u贝U极限浹n等于启.(1 +小方亠jC. (.1令 + 15设A为n阶非零矩

2、阵，E为n阶单位矩阵若 A3=0，则A E-A不可逆，E+A也不可逆 B E-A不可逆，E+A可逆C E-A可逆，E+A也可逆 D. E-A可逆，E+A不可逆6设区域D=(x , y)|x +y <4 x >0 y > 0 f(x)为D上的正值连续函数,y yjcy 十 vWA ab na, b为常数，则C (a+b) n(a b)丄7T7 微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为 * 2A y =ax +bx+x+x(Asinx+Bcosx)*2B y =x(ax +bx+x+Asinx+Bcosx)* 2C. y =ax +bx+c+Asinx* 2

3、D. y =ax +bx+c+Acosx&函数y=Ciex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是A.C.xy"-y'-2y=3xe B.xy"+y'-2y=3xe D.y"-y'-2y=3ey"+y'-2y=3e20.已知矩阵、填空题9.| JT = f(f)兀.10设其中f可导，且f(0)dy11.dr213. 微分方程ydx+(x -4x)dy=0的通解为14. 微分方程y"+y=-2x的通解为.三、解答题15.求极限11D116. 设y=sinf(x 2)，其中f具有二阶导数，求3 2 217.

4、 设函数y=y(x)由方程2y -2y +2xy-x =1所确定，试求y=y(x)的驻点，并判别它是否为极 值点.18.证明：当x > 0时，有不等式 arctanx+19.设 f(x)=100 01 1A =11010 1_ 11_ I1 0-其中 x>0, 求 f(x)+，且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E ，其中E是3阶单位阵，求 X .2 463 E k21.已知3阶矩阵A的第一行是(a, b, c). a, b, c不全为零.矩阵 B=(k为常数)，且AB=0 ,求线性方程组 Ax=0的通解。22设3阶对称矩阵 A的特征值 乃=1 , ?2=2 ,冶-2，又a

5、=(1 , -1 , 1)T是A的属于 入i的一 个特征向量.记 B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵.(1)验证a是矩阵B的特征向量，并求 B的全部特征值与特征向量；求矩阵B.23.从船上向海中沉放某种探测仪器按探测要求，需要定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为m,体积为B，海水比重为 p仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k >0) 试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v).参考答案与解析一、选择题1. 考点提示分段函数复合.

6、解题分析由题设,> 1 则1/()!> L由于f(x)只能取0, 1两个值，即|f(x) W1X (4, +8),所以 ff(x)=1 , x (-8,因而 fff(x)=f(1)=1.选B .2. 考点提示不可导点的求法.解题分析此题可先求f(x)的表达式，再结合f(x)的函数图形求得.因为J.lim( 1 + | x< 1),litn /+ |干n 3lim (1 4- I ) * =2L),im， + 严所以/(jc)=根据y=f(x)的表达式以及其函数图形 点)所以选C.(见图示)，可以得知f(x)在x=±1处不可导(图形是尖3. 考点提示定积分的性质.TV

7、解题分析由题设，当Ov x v时,芒 ” t tanj'俎g '、工，因此nT J-1I an j即l2<v li 因此可排除C和D.7Tsin（ 2.1-）2 2令 f（x）=，贝y f（x）=? j - ?'又令 g(x)=x-sin2x，贝U g'(x)=1-cos2x，显然当 Ovxv ' 时，g'(x) > 0,因此 g(x)严格单调TV递增，即g(x) >g(0)=0 ,从而f(x) >0,即f(x)在(0,)上严格单调递增所以即liV 1.综上有I2V 11 v 1,所以选B .4. 考点提示定积分、数列极限

8、.解题分析由题设，由于lie (甘 7?-=him1 1lim所以limns” = (1 十丄Hi e5. 考点提示矩阵的可逆性.解题分析由 A3=o,可得 E-A3=(E-A)(E+A+A 2)=E 和 E+A3=(E+A)(E-A+A 2)=E .显然 |E-A| MQ E+AM0,所以E-A和E+A均可逆.故应选 C .6. 考点提示二重积分.解题分析由题意可知，D关于直线y=x对称，于、+ /j G)p v；777T + y 7'Cy)从而2i斗,可十右広迈山心十俨、/"了&了吐舟 厶 y/（+ *3占 /（盂）十 v7（w=皿万丨疔审）血也+（如M刀

9、4;止心. 也/©）十 t7（弭电 v/<x> + vTGTa * 4 -r A * i 一 仃亠右）乩44Ca 6）可得I=所以选D .7. 考点提示二阶线性常系数非齐次方程的特解.解题分析由题设，原方程相应齐次方程的特征方程为则特征值为 入=±i又原方程非齐次项有两部分：x2+i和sinx,与x2+1对应的特解形式为2ax +bx+x，而与sinx对应的特解形式(其特征值为±)为x(Asinx+Bcosx)，所以原方程特解形 式为*y =ax +bx+c+x(As in x+Bcosx)选A i& 考点提示二阶常系数线性非齐次微分方程求解.

10、解题分析依题意，y=Ciex+C2e-2x+xex是某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解.相应的齐次方程的特征根是入=1 , ?2=-2，特征方程应是(-<1)(入 +2)=0所以相应的齐次方程为y"+y'-2y=0 i在D中，方程y"+y'-2y=3e x有形如y*=Axex的特解(eax中a=1是单特征根).通过验证知，y*=xex 是y"+y'-2y=3e x的特解.所以选 D.、填空题9. 考点提示本题为型未定式，可转化为型，再用洛必达法则求解.解题分析linirlimcos hiCl 一 f)评注1对于xis的情形，可以先作

11、变换'=t再计算，这样往往要简单得多.评注2对于型未定式，也可考虑将无穷小量部分用等价代换，一般地，若 aa',则 limf(a)=limf(a')因此，本题也可如下进行计算:limj sin 1 n (1 + ) sin hi L5 J flimjr »imj 1 31 2.-*:x10. 考点提示含有参数的方程求导数.解题分析由于虫 Y 一 . L<l.f d.rdi11. 考点提示不定积分.解题分析由题设,原式一 f厂扛亠心J yx i/4 j-2tircsirL + C=3.ft或者，原式=12. 考点提示隐函数的求导.解题分析已知z=电 a.I

12、F,z arcsin - + C,limsin In l 十 1一 lirn.rsin In 1. + 丄13. 考点提示微分方程求通解.2解题分析ydx+(x -4x)dy=0 .利用分离变量法,14. 考点提示微分方程的通解.2解题分析方程y"+y=-2x对应的齐次方程的特征方程为入+1=0，特征根为 入i,2±，故对应的齐次方程通解为 C1COSX+C2Sinx因为a=0不是特征根，因此原方程的特解可设为y =Ax+B，代入原方程，得 A=-2， B=0 .所以原方程的通解为ynScosx+Czsinx-2x .三、解答题15. 考点提示极限.解题分析一 / j.JL

13、. i 1 -L _L4 卜 1- V 疋T _ - 2 I 1 _ 1原贰二 11H1L 一J'11.11 + fsiTur% X或者,(-1)(- 2 1)16. 考点提示复合函数的二阶导数.dy解题分析=cosf(x 2)f(x 2) 2x=2xf(x 2)cosf(x 2),2 2 2 2 2 2 2 2 2=2f(x 2)cosf(x 2)+4x 2f"(x 2)cosf(x 2)-4x 2f(x 2)2sinf(x 2).17. 考点提示本题是隐函数求极值问题按隐函数求导法，得y(x)的驻点，并求二阶导 数进行判断.解题分析原方程两边对x求导，得 3y2y'

14、;-2yy'+xy'+y-x=0 .令y'=o,得y=x，代入原方程，有 2x3-x2-1=0.从而解得唯一的驻点x=1 在式两边再对x求导，得(3y2-2y+x)y"+2(3y-1)y' 2+2y'-1=0 ,1因此y"l(i,i)= ' >0.故驻点x=1是y=y(x)的极小值点.18. 考点提示利用单调性证明不等式.L扛 解题分析设 f(x)=arctanx+(x > 0),于是有/'(工)=-飞-t < O(jr > 0) 1 + .产 JC所以f(x)在(0 , +8)上单调减少.li

15、m / ( jt)又=0,所以当x>0时，arctan. r +1>f L/ (,r) = arctariT -工7T 、2 »> 0,即评注利用单调性证明不等式是一种非常重要的方法，其他证明不等式的方法有中值定理、 极值和最值，以及凹凸性等.f ()19.考点提示为了便于合并，可对-血d/先作倒代换t=.也可先求的导数，再积分.解题分析详解1令t= ，贝U dt=-当t=1时，y=1，当t= 时,y=x，于是/GA +In丄y1+丄vI v( y -|-因此从而(A-B)X(A-B)=E./(北T f生山T-冶币山=IrUt( - t)d/ In/ d(hw)f详

16、解 2令 F(x)=f(x)+，则FfU) - f'3 4- fInjr1+InIn.r所以F(工)=哇血=flnd(ln)又由题设知F(1)=0,得C=0，从而f(X)+ /&)=寺打耳评注本题综合考查了换元积分法、分部积分法、变限积分求导公式以及复合函数的求导 方法.20. 考点提示矩阵方程.解题分析由题设 AXA+BXB=AXB+BXA+E ，知,i 12r i i"1250 110 1012-o o0 0J00LAX(A-B)=BX(A-B)+E , 即(AX-BX)(A-B)=E ,又由已知001r110及”一101_ 11I不难求得A-B=则|A-B|=1

17、，所以A-B可逆，且(A ；=则由式,-l 12125_0 1 10 1 1=D 12_ 0 0 1_MO 1_ 0 0 L21. 考点提示求线性方程组的通解.解题分析根据题意，由AB=0 ,得r(A)+r(B)手又AM0,BM0,所以1 < r(A)解题分析(1)容易验证Anai=，'：，(n=1, 2,)，于是(1)若 r(A)=2，有 r(B)=1，则 k=9 .方程组Ax=0的通解是t(1, 2, 3)t,其中t为任意常数.(2)若 r(A)=1，则 Ax=0的同解方程组是 ax什bx2+cx3=0且满足若CMQ方程组的通解是若c=0,方程组的通解是ti(c, 0, -a

18、)T+t2(0, c, -b)T,其中 h, t?为任意常数.ti(1, 2, 0)T+t2(0, 0, 1)T，其中 t1 , t2 为任意常数.22. 考点提示矩阵的特征向量与特征值.ffcti = (A -4AJ +E)ffi :(Ai- '4A? +1)42a .于是-2是矩阵B的特征值，ki ai是B属于特征值-2的全部特征向量（匕 R，非零）同理可 求得矩阵B的另外两个特征值 1和1.因A为实对称矩阵，则B也为实对称矩阵，于是矩阵B属于不同特征值的特征向量是正交的设B的属于1的特征向量为（Xi, X2, 乂詁，则有方程X1-X2+X3=O .于是求得B的属于1的全部特征向量为3 =ka+k3«3,其中a=(-1 , 0, 1)T a=(1, 1, 0)T, k?,k3 R,不全为零.-i ro 1令矩阵P=( a, a2, a)= Q-11 I01 i diagl J 小1 0.则 P B