2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(山东卷)理 (2)

1、山东卷(理科数学)1.(2012山东,理1)若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z为().a.3+5ib.3-5ic.-3+5id.-3-5ia设z=a+bi,a,br,则z(2-i)=(a+bi)(2-i)=(2a+b)+(2b-a)i,所以解得所以z=3+5i,故选a.2.(2012山东,理2)已知全集u=0,1,2,3,4,集合a=1,2,3,b=2,4,则(ua)b为().a.1,2,4b.2,3,4c.0,2,4d.0,2,3,4c易知ua=0,4,所以(ua)b=0,2,4,故选c.3.(2012山东,理3)设a>0,且a1,则“函数f(x)=ax在r上是

2、减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在r上是增函数”的().a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件a由函数f(x)=ax在r上是减函数可得0<a<1,由函数g(x)=(2-a)x3在r上是增函数可得a<2,因为0<a<1a<2,a<20<a<1,所以题干中前者为后者的充分不必要条件,故选a.4.(2012山东,理4)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查.为此将他们随机编号为1,2,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间1,450的人做问卷

3、a,编号落入区间451,750的人做问卷b,其余的人做问卷c.则抽到的人中,做问卷b的人数为().a.7b.9c.10d.15c由题意可得,抽样间隔为30,区间451,750恰好为10个完整的组,所以做问卷b的有10人,故选c.5.(2012山东,理5)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-y的取值范围是().a.b.c.-1,6d.a作出可行区域如图所示.目标函数z=3x-y可变为y=3x-z,作l0:3x-y=0,在可行域内平移l0,可知在a点处z取最小值为-,在b点处z取最大值为6,故选a.6.(2012山东,理6)执行右面的程序框图,如果输入a=4,那么输出的n的值为().a.2

4、b.3c.4d.5b由程序框图知,当n=0时,p=1,q=3;当n=1时,p=5,q=7;当n=2时,p=21,q=15,此时n增加1变为3,满足p>q,循环结束,输出n=3,故选b.7.(2012山东,理7)若,sin 2=,则sin =().a.b.c.d.d由,得2.又sin 2=,故cos 2=-.故sin =.8.(2012山东,理8)定义在r上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当-3x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 012)=().a.335b.338c.1 678d.2 012b由

5、f(x+6)=f(x)得f(x)的周期为6,所以f(1)+f(2)+f(2 012)=335f(1)+f(2)+f(6)+f(1)+f(2),而f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(6)=1,所以f(1)+f(2)+f(2 012)=338,故选b.9.(2012山东,理9)函数y=的图象大致为().d令f(x)=,则f(x)的定义域为(-,0)(0,+),而f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.又因为当x时,cos 6x>0,2x-2-x>0,

6、即f(x)>0,而f(x)=0有无数个根,所以d正确.10.(2012山东,理10)已知椭圆c:+=1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆c有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆c的方程为().a.+=1b.+=1c.+=1d.+=1d双曲线x2-y2=1的渐近线为y=±x,与椭圆c有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形面积为16,可得四边形为正方形,其边长为4,双曲线的渐近线与椭圆c的一个交点为(2,2),所以有+=1,又因为e=,a2=b2+c2,联立解方程组得a2=20,b2=5,故选d.11.(2012山东,理11

7、)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为().a.232b.252c.472d.484c完成这件事可分为两类,第一类3张卡片颜色各不相同共有=256种;第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有=216种,由分类加法计数原理得共有472种,故选c.12.(2012山东,理12)设函数f(x)=,g(x)=ax2+bx(a,br,a0).若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点a(x1,y1),b(x2,y2),则下列判断正确的是().a.当a<0时,x1+x2&

8、lt;0,y1+y2>0b.当a<0时,x1+x2>0,y1+y2<0c.当a>0时,x1+x2<0,y1+y2<0d.当a>0时,x1+x2>0,y1+y2>0b解析:由题意知函数f(x)=,g(x)=ax2+bx(a,br,a0)的图象有且仅有两个公共点a(x1,y1),b(x2,y2),等价于方程=ax2+bx(a,br,a0)有两个不同的根x1,x2,即方程ax3+bx2-1=0有两个不同实根x1,x2,因而可设ax3+bx2-1=a(x-x1)2(x-x2),即ax3+bx2-1=a(x3-2x1x2+x-x2x2+2x1x

9、2x-x2),b=a(-2x1-x2),+2x1x2=0,-ax2=-1,x1+2x2=0,ax2>0,当a>0时,x2>0,x1+x2=-x2<0,x1<0,y1+y2=+=>0.当a<0时,x2<0,x1+x2=-x2>0,x1>0,y1+y2=+=<0.13.(2012山东,理13)若不等式|kx-4|2的解集为x|1x3,则实数k=. 2不等式|kx-4|2可化为-2kx-42,即2kx6,而不等式的解集为x|1x3,所以k=2.14.(2012山东,理14)如图,正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1,e

10、,f分别为线段aa1,b1c上的点,则三棱锥d1-edf的体积为. 三棱锥d1-edf的体积即为三棱锥f-dd1e的体积.因为e,f分别为aa1,b1c上的点,所以在正方体abcd-a1b1c1d1中edd1的面积为定值,f到平面aa1d1d的距离为定值1,所以=××1=.15.(2012山东,理15)设a>0.若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=. 由题意可得曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积s=dx=a2,解得a=.16.(2012山东,理16)如图,在平面直角坐标系xoy中,一单位圆的圆心的初始位置在

11、(0,1),此时圆上一点p的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为. (2-sin 2,1-cos 2)因为圆心由(0,1)平移到了(2,1),所以在此过程中p点所经过的弧长为2,其所对圆心角为2.如图所示,过p点作x轴的垂线,垂足为a,圆心为c,与x轴相切于点b,过c作pa的垂线,垂足为d,则pcd=2-,|pd|=sin=-cos 2,|cd|=cos=sin 2,所以p点坐标为(2-sin 2,1-cos 2),即的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).17.(2012山东,理17)已知向量m=(sin x,1),n=(a>0

12、),函数f(x)=m·n的最大值为6.(1)求a;(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的值域.解:(1)f(x)=m·n=asin xcos x+cos 2x=a=asin.因为a>0,由题意知a=6.(2)由(1)f(x)=6sin.将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后得到y=6sin=6sin的图象;再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到y=6sin的图象.因此g(x)=6sin.因为x,所以4x+.故g(x)在上的值域为-3,6.18.

13、(2012山东,理18)在如图所示的几何体中,四边形abcd是等腰梯形,abcd,dab=60°,fc平面abcd,aebd,cb=cd=cf.(1)求证:bd平面aed;(2)求二面角f-bd-c的余弦值.(1)证明:因为四边形abcd是等腰梯形,abcd,dab=60°,所以adc=bcd=120°.又cb=cd,所以cdb=30°.因此adb=90°,adbd.又aebd,且aead=a,ae,ad平面aed,所以bd平面aed.(2)解法一:由(1)知adbd,所以acbc.又fc平面abcd,因此ca,cb,cf两两垂直,以c为坐标原

14、点,分别以ca,cb,cf所在的直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设cb=1,则c(0,0,0),b(0,1,0),d,f(0,0,1),因此=,=(0,-1,1).设平面bdf的一个法向量为m=(x,y,z),则m·=0,m·=0,所以x=y=z,取z=1,则m=(,1,1).由于=(0,0,1)是平面bdc的一个法向量,则cos<m,>=,所以二面角f-bd-c的余弦值为.解法二:取bd的中点g,连接cg,fg,由于cb=cd,因此cgbd.又fc平面abcd,bd平面abcd,所以fcbd.由于fccg=c,fc,cg平面fcg,所

15、以bd平面fcg.故bdfg.所以fgc为二面角f-bd-c的平面角.在等腰三角形bcd中,由于bcd=120°,因此cg=cb.又cb=cf,所以gf=cg,故cosfgc=,因此二面角f-bd-c的余弦值为.19.(2012山东,理19)现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分,该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(1)求该射手恰好命中一次的概率;(2)求该射手的总得分x的分布列及数学期望ex.解:(1)记:“该射手恰好命中一次”为事件a,“该射手射击

16、甲靶命中”为事件b,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件c,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件d,由题意知p(b)=,p(c)=p(d)=,由于a=b+d,根据事件的独立性和互斥性得p(a)=p(b+d)=p(b)+p()+p(d)=p(b)p()p()+p()p(c)p()+p()p()p(d)=××+××+××=.(2)根据题意,x的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,根据事件的独立性和互斥性得p(x=0)=p()=1-p(b)1-p(c)1-p(d)=××=,p(x=1)=p(b)=p(b)p()p()=&#

17、215;×=,p(x=2)=p(+d)=p()+p(d)=××+××=,p(x=3)=p(bc+bd)=p(bc)+p(bd)=××+××=,p(x=4)=p(cd)=××=,p(x=5)=p(bcd)=××=.故x的分布列为x012345p所以ex=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.20.(2012山东,理20)在等差数列an中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求数列an的通项公式;(2)对

18、任意mn*,将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm,求数列bm的前m项和sm.解:(1)因为an是一个等差数列,所以a3+a4+a5=3a4=84,a4=28.设数列an的公差为d,则5d=a9-a4=73-28=45,故d=9.由a4=a1+3d得28=a1+3×9,即a1=1.所以an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8(nn*).(2)对mn*,若9m<an<92m,则9m+8<9n<92m+8.因此9m-1+1n92m-1.故得bm=92m-1-9m-1.于是sm=b1+b2+b3+bm=(9+93+92m-1)-(1+9

19、+9m-1)=-=.21.(2012山东,理21)在平面直角坐标系xoy中,f是抛物线c:x2=2py(p>0)的焦点,m是抛物线c上位于第一象限内的任意一点,过m,f,o三点的圆的圆心为q,点q到抛物线c的准线的距离为.(1)求抛物线c的方程;(2)是否存在点m,使得直线mq与抛物线c相切于点m?若存在,求出点m的坐标;若不存在,说明理由;(3)若点m的横坐标为,直线l:y=kx+与抛物线c有两个不同的交点a,b,l与圆q有两个不同的交点d,e,求当k2时,|ab|2+|de|2的最小值.解:(1)依题意知f,圆心q在线段of的垂直平分线y=上,因为抛物线c的准线方程为y=-,所以=,

20、即p=1,因此抛物线c的方程为x2=2y.(2)假设存在点m(x0>0)满足条件,抛物线c在点m处的切线斜率为y'='=x0.所以直线mq的方程为y-=x0(x-x0),令y=得xq=+,所以q.又|qm|=|oq|,故+=+,因此=,又x0>0,所以x0=,此时m(,1).故存在点m(,1),使得直线mq与抛物线c相切于点m.(3)当x0=时,由(2)得q.q的半径为r=,所以q的方程为+=.由整理得2x2-4kx-1=0.设a,b两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由于1=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=-,所以|ab|2=(1+

21、k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+k2)(4k2+2).由整理得(1+k2)x2-x-=0.设d,e两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4).由于2=+>0,x3+x4=,x3x4=-,所以|de|2=(1+k2)(x3+x4)2-4x3x4=+.因此|ab|2+|de|2=(1+k2)(4k2+2)+.令1+k2=t,由于k2,则t5.所以|ab|2+|de|2=t(4t-2)+=4t2-2t+,设g(t)=4t2-2t+,t,因为g'(t)=8t-2-,所以当t,g'(t)g'=6,即函数g(t)在t是增函数,所以当t=时g(t)取到最小值,因此当k=时,|ab|2+|de|2取到最小值.22.(2012山东,理22)已知函数f(x)=(k为常数,e=2.718 28是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行.(1)求k的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)设g(x)=(x2+x)f'(x),其中f'(x)为f(x)的导函数,证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.(1)解:由f