2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(江西卷)理 (2)

1、1 / 11 江西理科江西理科 1.(2012 江西,理 1)若集合 a=-1,1,b=0,2,则集合z|z=x+y,xa,yb中的元素的个数为( ). a.5 b.4 c.3 d.2 c 由已知,得z|z=x+y,xa,yb=-1,1,3, 所以集合z|z=x+y,xa,yb中的元素的个数为 3. 2.(2012 江西,理 2)下列函数中,与函数 y=31x定义域相同的函数为( ). a.y=1sinx b.y=lnxx c.y=xex d.y=sinxx d 因为 y=31x的定义域为x|x0, 而 y=1sinx的定义域为x|xk,kz,y=xxln的定义域为x|x0,y=xex的定义域

2、为 r,y=xxsin的定义域为x|x0,故 d项正确. 3.(2012 江西,理 3)若函数 f(x)=21,x1,x,x1,xlg+则 f(f(10)=( ). a.lg 101 b.2 c.1 d.0 b f(10)=lg 10=1, f(f(10)=f(1)=12+1=2. 4.(2012 江西,理 4)若 tan +1tan=4,则 sin 2=( ). a.15 b.14 c.13 d.12 d tan +1tan=4, sincos+cossin=4. 22sincoscos sin+=4,即22sin=4. sin 2=12. 5.(2012 江西,理 5)下列命题中,假命题为

3、( ). a.存在四边相等的四边形不是正方形 b.z1,z2c,z1+z2为实数的充分必要条件是 z1,z2互为共轭复数 c.若 x,yr,且 x+y2,则 x,y 至少有一个大于 1 d.对于任意 nn+,0nc+1nc+nnc都是偶数 2 / 11 b 选项 a中,四边相等的空间四边形显然不是正方形,故选项 a为真命题;选项 b 中,z1,z2c,“z1+z2为实数”“z1,z2互为共轭复数”,但“z1+z2为实数”“z1,z2互为共轭复数”,故选项 b 为假命题;选项 c 中,假设 x,y均小于等于 1,则 x+y2,这与 x+y2相矛盾,故选项 c 为真命题;选项 d中,0nc+1nc

4、+2nc+nnc=2n,显然 2n是偶数,故选项 d为真命题. 6.(2012 江西,理 6)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,则 a10+b10=( ). a.28 b.76 c.123 d.199 c 利用归纳法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123. 规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和. 7.(2012 江西

5、,理 7)在直角三角形 abc 中,点 d是斜边 ab 的中点,点 p 为线段 cd的中点,则222|pa|pb|pc|+=( ). a.2 b.4 c.5 d.10 d (用向量法)将abc 的各边均赋予向量, 则222|pa|pb|pc|+=222papbpc+ =222(pcca)(pccb)pc+ =22222pc2pc? ca2pc? cbcacbpc+ =2222|pc|2pc?(cacb) |ab|pc|+ =22222|pc|8|pc|ab|pc|+ =22|ab|pc|-6=42-6=10. 8.(2012 江西,理 8)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50亩,投入

6、资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4 吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为( ). a.50,0 b.30,20 c.20,30 d.0,50 b 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x 亩、y亩,总利润为 z 万元, 3 / 11 则 z关于 x,y的关系式为 z=4x 0.55-1.2x+6y 0.3-0.9y=x+0.9y,且 x,y满足约束条件为x0,y0,xy50,1.2x

7、0.9y54.+ 画可行域,如图所示: 设 l0:y=-109x,将 l0上下平移可知, 当直线 z=x+0.9y 过点 a(30,20)(注:可联立方程组xy500,1.2x0.9y540,+=+=解得点 a 的坐标)时,z取最大值,因此当总利润 z 最大时,x=30,y=20,即黄瓜的种植面积为 30亩,韭菜的种植面积为 20亩. 9.(2012 江西,理 9)样本(x1,x2,xn)的平均数为x,样本(y1,y2,ym)的平均数为y(xy).若样本(x1,x2,xn,y1,y2,ym)的平均数z=x+(1-)y,其中 012,则 n,m的大小关系为( ). a.nm c.n=m d.不能

8、确定 a 由已知,得 x1+x2+xn=nx,y1+y2+ym=my, z=12n12m(xxx )(yyy )mn+=nxmymn+=x+(1-)y, 整理,得(x-y)m+(-1)n=0, xy, m+(-1)n=0,即nm=1 . 又 012,01 1,0nm1. 又 n,mn+,nm. 10.(2012 江西,理 10)如右图,已知正四棱锥 s -abcd 所有棱长都为 1,点 e 是侧棱 sc上一动点,过点e垂直于 sc的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记 se=x(0 x1),截面下面部分的体积为 v(x),则函数 y=v(x)的图像大致为( ). 4 / 11 a 设截面与 sb

9、,sd,ad,ab 分别交于点 m,n,p,f,取 sc的中点 q,连结 bq,dq, 如图,过 m作 mtab,vs-abcd=26, 由相似性知,vs-emn=23x3, vs-tnm=2 23x3, v棱柱tnm-apf=2x2-22x3. (1)当 0 x12时,vx=26-23x3-2 23x3-2x2+22x3=26+2x3-2x2. vx=2x(3x-2),图象如图. 由 vx的图象可知,当 0 x12时,vx减小的速度先慢,再快,后慢. (2)当12x1 时,vx=23(1-x)3,vx=-2(1-x)2,图象如图. 由 vx的图象可知,当12xb0)的左、右顶点分别是 a,b

10、,左、右焦点分别是 f1,f2.若|af1|,|f1f2|,|f1b|成等比数列,则此椭圆的离心率为 . 55 因为 a,b 为左、右顶点,f1,f2为左、右焦点, 所以|af1|=a-c,|f1f2|=2c,|bf1|=a+c. 又因为|af1|,|f1f2|,|bf1|成等比数列, 所以(a-c)(a+c)=4c2,即 a2=5c2, 所以离心率 e=ca=55. 14.(2012 江西,理 14)下图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 . 3 当 t=0,k=1 时,sink2sin(k1)2,所以 a=1,t=1,k=2; 当 t=1,k=2 时,sink2sin(k1)2,

11、所以 a=0,t=1,k=3; 当 t=1,k=3 时,sink2sin(k1)2,所以 a=1,t=2,k=5; 当 t=2,k=5 时,sink2sin(k1)2,所以 a=1,t=3,k=6. 此时 k6,所以输出 t=3. 15.(2012 江西,理 15)(1)(坐标系与参数方程选做题)曲线 c 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 c的极坐标方程为 . (2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|6的解集为 . (1)=2cos (2)33x|x22 16.(2012 江西,理 16)已知数列an的前

12、n项和 sn=-12n2+kn(其中 kn+),且 sn的最大值为 8. 6 / 11 (1)确定常数 k,并求 an; (2)求数列nn92a2的前 n项和 tn. 解:(1)当 n=kn+时,sn=-12n2+kn 取最大值,即 8=sk=-12k2+k2=12k2, 故 k2=16,因此 k=4, 从而 an=sn-sn-1=92-n(n2). 又 a1=s1=72,所以 an=92-n. (2)因为 bn=nn92a2=n 1n2, tn=b1+b2+bn=1+22+232+n 2n12+n 1n2, 所以 tn=2tn-tn=2+1+12+n 212-n 1n2=4-n 212-n

13、1n2=4-n 1n22+. 17.(2012 江西,理 17)在abc 中,角 a,b,c 的对边分别为 a,b,c.已知 a=4,bsinc4+-csinb4+=a. (1)求证:b-c=2; (2)若 a=2,求abc的面积. (1)证明:由 bsinc4+-csinb4+=a, 应用正弦定理,得 sin bsinc4+-sin csinb4+=sin a, sin b22cc22sincos+- sin c22bb22sincos+=22, 整理得 sin bcos c-cos bsin c=1, 即 sin(b-c)=1, 由于 0b,c34,从而 b-c=2. (2)解:b+c=-

14、a=34,因此 b=58,c=8, 由 a=2,a=4,得 b=abasinsin=2sin58,c=acasinsin=2sin8, 7 / 11 所以abc的面积 s=12bcsin a=2sin58sin8=2cos8sin8=12. 18.(2012 江西,理 18)如图,从 a1(1,0,0),a2(2,0,0),b1(0,1,0),b2(0,2,0),c1(0,0,1),c2(0,0,2)这 6 个点中随机选取 3 个点,将这 3 个点及原点 o两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量 v(如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积 v=0). (1

15、)求 v=0 的概率; (2)求 v 的分布列及数学期望 ev. 解:(1)从 6个点中随机选取 3 个点总共有36c=20 种取法,选取的 3个点与原点在同一个平面内的取法有1334c c=12种,因此 v=0 的概率为 p(v=0)=1220=35. (2)v的所有可能取值为 0,16,13,23,43,因此 v的分布列为 v 0 16 13 23 43 p 35 120 320 320 120 由 v 的分布列可得 ev=035+16120+13320+23320+43120=940. 19.(2012 江西,理 19)在三棱柱 abc - a1b1c1中,已知 ab=ac=aa1=5,

16、bc=4,点 a1在底面 abc的投影是线段 bc 的中点 o. (1)证明在侧棱 aa1上存在一点 e,使得 oe平面 bb1c1c,并求出 ae 的长; (2)求平面 a1b1c 与平面 bb1c1c夹角的余弦值. (1)证明:连接 ao,在aoa1中,作 oeaa1于点 e, 因为 aa1bb1,得 oebb1, 因为 a1o平面 abc,所以 a1obc. 因为 ab=ac,ob=oc,得 aobc, 所以 bc平面 aa1o,所以 bcoe, 8 / 11 所以 oe平面 bb1c1c. 又 ao=22abbo=1,aa1=5,得 ae=21aoaa=55. (2)解:如图,分别以

17、oa,ob,oa1所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 则 a(1,0,0),b(0,2,0),c(0,-2,0),a1(0,0,2), 由ae=11aa5得点 e的坐标是42,0,55, 由(1)得平面 bb1c1c 的法向量是oe=42,0,55, 设平面 a1b1c的法向量 n=(x,y,z), 由1n?0,n? c0,aba=得x2y0,yz0, +=+= 令 y=1,得 x=2,z=-1,即 n=(2,1,-1), 所以 cos= n|?|n|oeoe=3010, 即平面 bb1c1c与平面 a1b1c 的夹角的余弦值是3010. 20.(2012 江西,理 20)已知三

18、点 o(0,0),a(-2,1),b(2,1),曲线 c 上任意一点 m(x,y)满足|ma+mb|=om (oa+ob)+2. (1)求曲线 c 的方程; (2)动点 q(x0,y0)(-2x02)在曲线 c上,曲线 c在点 q处的切线为 l,问:是否存在定点 p(0,t)(t0),使得 l与 pa,pb都相交,交点分别为 d,e,且qab 与pde的面积之比是常数?若存在,求 t的值;若不存在,说明理由. 解:(1)由ma=(-2-x,1-y),mb=(2-x,1-y), |ma+mb|=22(-2x)(22y)+, om (oa+ob)=(x,y) (0,2)=2y, 由已知得22(-2

19、x)(22y)+=2y+2, 化简得曲线 c 的方程:x2=4y. (2)假设存在点 p(0,t)(t0)满足条件, 则直线 pa的方程是 y=t12x+t,pb的方程是 y=1t2x+t. 9 / 11 曲线 c在 q处的切线 l的方程是 y=0 x2x-20 x4,它与 y 轴的交点为 f20 x0,-4. 由于-2x02,因此-10 x21. 当-1t0 时,-1t12-12,存在 x0(-2,2),使得0 x2=t12,即 l与直线 pa 平行,故当-1t0时不符合题意. 当 t-1 时,t12-10 x2, 所以 l与直线 pa,pb 一定相交. 分别联立方程组220000t11ty

20、xt,yxt,22xxxxyx, yx,2424=+=+= 解得 d,e的横坐标分别是 xd=200 x4t2(x1 t)+ ,xe=200 x4t2(xt 1)+ , 则 xe-xd=(1-t)20220 x4tx -(t1)+, 又|fp|=-20 x4-t,有 spde=12 |fp| |xe-xd|=1t8220220(x4t)(t1)x+, 又 sqab=12 420 x14=204x2, 于是qabpdess=41t22200220(x4)x -(t1) (x4t)+ =41t42220042200 x -4(t1) x4(t1)x8tx16t+. 对任意 x0(-2,2),要使qabpdess为常数,即只须 t满足2224-(t 1)8t,4(t 1)16t ,= 解得 t=-1.此时qabpdess=2, 故存在 t=-1,使得qab与pde 的面积之比是常数 2. 21.(2012 江西,理 21)若函数 h(x)满足 h