2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(课标全国卷)理 (2)

1、1 / 12 课标全国课标全国(理理) 1.(2012 课标全国,理 1)已知集合 a=1,2,3,4,5,b=(x,y)|xa,ya,x-ya,则 b中所含元素的个数为( ). a.3 b.6 c.8 d.10 d 由 xa,ya 得 x-ya,得(x,y)可取如下:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),故集合 b 中所含元素的个数为 10. 2.(2012 课标全国,理 2)将 2名教师,4名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1名教师和 2名学生组成,不同的安排方案共有(

2、 ). a.12 种 b.10 种 c.9种 d.8 种 a 将 4 名学生均分为 2个小组共有224222c ca=3种分法, 将 2个小组的同学分给两名教师带有22a=2 种分法, 最后将 2个小组的人员分配到甲、乙两地有22a=2种分法, 故不同的安排方案共有 3 2 2=12 种. 3.(2012 课标全国,理 3)下面是关于复数 z=21 i +的四个命题: p1:|z|=2, p2:z2=2i, p3:z 的共轭复数为 1+i, p4:z 的虚部为-1, 其中的真命题为( ). a.p2,p3 b.p1,p2 c.p2,p4 d.p3,p4 c z=2(-1 i)(-1 i)(-1

3、 i)+=-1-i,故|z|=2,p1错误;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2正确;z的共轭复数为-1+i,p3错误;p4正确. 4.(2012 课标全国,理 4)设 f1,f2是椭圆 e:22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦点,p为直线 x=32a上一点,f2pf1是底角为 30的等腰三角形,则 e 的离心率为( ). a.12 b.23 c.34 d.45 c 设直线 x=32a与 x 轴交于点 m,则pf2m=60,在 rtpf2m中,pf2=f1f2=2c,f2m=32a-c, 故 cos 60=22mfpf=3ac22c=12, 解得ca=34,故离心率 e=34.

4、 2 / 12 5.(2012 课标全国,理 5)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=( ). a.7 b.5 c.-5 d.-7 d an为等比数列, a5a6=a4a7=-8, 联立47472,8aaa a+= 可解得474,2aa= 或472,4,aa= = 当474,2aa= 时,q3=-12,故 a1+a10=43aq+a7q3=-7; 当472,4aa= =时,q3=-2,同理,有 a1+a10=-7. 6.(2012 课标全国,理 6)如果执行下边的程序框图,输入正整数 n(n2)和实数 a1,a2,an,输出 a,b,则( ). a.a+b为

5、a1,a2,an的和 b.2ab+为 a1,a2,an的算术平均数 c.a 和 b分别是 a1,a2,an中最大的数和最小的数 d.a和 b分别是 a1,a2,an中最小的数和最大的数 c 随着 k 的取值不同,x 可以取遍实数 a1,a2,an,依次与 a,b 比较,a 始终取较大的那个数,b 始终取较小的那个数,直到比较完为止,故最终输出的 a,b 分别是这 n 个数中的最大数与最小数. 7.(2012 课标全国,理 7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( ). 3 / 12 a.6 b.9 c.12 d.18 b 由三视图可推知,几何体

6、的直观图如下图所示,可知 ab=6,cd=3,pc=3,cd垂直平分 ab,且 pc平面 acb,故所求几何体的体积为1316 32 3=9. 8.(2012 课标全国,理 8)等轴双曲线 c 的中心在原点,焦点在 x 轴上,c 与抛物线 y2=16x的准线交于 a,b两点,|ab|=43,则 c 的实轴长为( ). a.2 b.22 c.4 d.8 c 设双曲线的方程为22xa-22ya=1,抛物线的准线为 x=-4,且|ab|=43,故可得 a(-4,23),b(-4,-23),将点 a 坐标代入双曲线方程得 a2=4,故 a=2,故实轴长为 4. 9.(2012 课标全国,理 9)已知

7、0,函数 f(x)=sin4x+在,2单调递减,则 的取值范围是( ). a.1 5,2 4 b.1 3,2 4 c.10,2 d.(0,2 a 结合 y=sin x的图像可知 y=sin x 在3,22单调递减,而 y=sin4x+=sin4x+,可知y=sin x 的图像向左平移4个单位之后可得 y=sin4x+的图像,故 y=sin4x+在5,44单调递减,故应有,25,44,解得1254. 10.(2012 课标全国,理 10)已知函数 f(x)=1ln(1)-xx+,则 y=f(x)的图像大致为( ). 4 / 12 b 当 x=1时,y=1ln2 1-1,故-1x0时,f(x)0,

8、故 y=f(x)在(-1,0)上单调递减,故选 b. 11.(2012 课标全国,理 11)已知三棱锥 s-abc的所有顶点都在球 o的球面上,abc是边长为 1 的正三角形,sc 为球 o的直径,且 sc=2,则此棱锥的体积为( ). a.26 b.36 c.23 d.22 a sc是球 o的直径, cas=cbs=90. ba=bc=ac=1,sc=2,as=bs=3. 取 ab的中点 d,显然 abcd,absd, ab平面 scd. 在cds中,cd=32,ds=112,sc=2,利用余弦定理可得 coscds=222ss2?cddccdsd+=-133, 故 sincds=4 233

9、, scds=12321124 233=22, v=vb-cds+va-cds=13 scds bd+13scds ad=13scds ba=1322 1=26. 12.(2012 课标全国,理 12)设点 p 在曲线 y=12ex上,点 q 在曲线 y=ln(2x)上,则|pq|的最小值为( ). a.1-ln 2 b.2(1-ln 2) c.1+ln 2 d.2(1+ln 2) 5 / 12 b 由题意知函数 y=12ex与 y=ln(2x)互为反函数,其图像关于直线 y=x对称,两曲线上点之间的最小距离就是 y=x与 y=12ex最小距离的 2 倍,设 y=12ex上点(x0,y0)处的

10、切线与 y=x 平行,有01e2x=1,x0=ln 2,y0=1,y=x与 y=12ex的最小距离是22(1-ln 2), |pq|的最小值为22(1-ln 2) 2=2(1-ln 2). 13.(2012 课标全国,理 13)已知向量 a,b 夹角为 45,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|= . 32 a,b的夹角为 45,|a|=1, a b=|a| |b|cos 45=22|b|, |2a-b|2=4-422|b|+|b|2=10, |b|=32. 14.(2012 课标全国,理 14)设 x,y满足约束条件1,3,0,0,xyxyxy +则 z=x-2y 的取值范围为 . -

11、3,3 作出不等式组的可行域,如图阴影部分,作直线 l0:x-2y=0,在可行域内平移知过点 a时,z=x-2y取得最大值,过点 b 时,z=x-2y 取最小值. 由10,30,xyxy+ =+=得 b点坐标为(1,2), 由0,30,yxy=+=得 a点坐标为(3,0). zmax=3-2 0=3,zmin=1-2 2=-3. z-3,3. 15.(2012 课标全国,理 15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件 1或元件 2正常工作,且元件 3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布 n(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立

12、,那么该部件的使用寿命超过 1 000小时的概率为 . 6 / 12 38 设元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件分别记为 a,b,c,显然 p(a)=p(b)=p(c)=12, 该部件的使用寿命超过 1 000 的事件为(ab+ab+ab)c. 该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为 p=1212+1212+121212=38. 16.(2012 课标全国,理 16)数列an满足 an+1+(-1)nan=2n-1,则an的前 60 项和为 . 1 830 an+1+(-1)nan=2n-1, a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+

13、a1,a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,a57=a1,a58=113+a1,a59=2-a1,a60=119-a1, a1+a2+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+(a57+a58+a59+a60) =10+26+42+234=15 (10234)2+=1 830. 17.(2012 课标全国,理 17)已知 a,b,c 分别为abc三个内角 a,b,c的对边,acos c+3asin c-b-c=0. (1)求 a; (2)若 a=2,abc 的面积为3,求 b,c. 解:(1)由 acos

14、c+3asin c-b-c=0及正弦定理得 sin acos c+3sin asin c-sin b-sin c=0. 因为 b=-a-c, 所以3sin asin c-cos asin c-sin c=0. 由于 sin c0,所以 sin6a=12. 又 0a,故 a=3. (2)abc 的面积 s=12bcsin a=3,故 bc=4. 而 a2=b2+c2-2bccos a,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2. 18.(2012 课标全国,理 18)某花店每天以每枝 5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花

15、店一天购进 16枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,nn)的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. 7 / 12 若花店一天购进 16枝玫瑰花,x表示当天的利润(单位:元),求 x的分布列、数学期望及方差; 若花店计划一天购进 16枝或 17枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17枝?请说明理由. 解:(1)当日需求量 n16时,利润 y=80. 当日需

16、求量 n16时,利润 y=10n-80. 所以 y 关于 n的函数解析式为 y=1080,16,80,16nnn(nn). (2)x可能的取值为 60,70,80,并且 p(x=60)=0.1,p(x=70)=0.2,p(x=80)=0.7. x 的分布列为 x 60 70 80 p 0.1 0.2 0.7 x 的数学期望为 ex=60 0.1+70 0.2+80 0.7=76. x 的方差为 dx=(60-76)2 0.1+(70-76)2 0.2+(80-76)2 0.7=44. 答案一: 花店一天应购进 16 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,y表示当天的利润(单位:

17、元),那么 y的分布列为 y 55 65 75 85 p 0.1 0.2 0.16 0.54 y 的数学期望为 ey=55 0.1+65 0.2+75 0.16+85 0.54=76.4. y 的方差为 dy=(55-76.4)2 0.1+(65-76.4)2 0.2+(75-76.4)2 0.16+(85-76.4)2 0.54=112.04. 由以上的计算结果可以看出,dxdy,即购进 16枝玫瑰花时利润波动相对较小. 另外,虽然 exey,但两者相差不大. 故花店一天应购进 16枝玫瑰花. 答案二: 花店一天应购进 17 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,y表示当天的

18、利润(单位:元),那么 y的分布列为 y 55 65 75 85 p 0.1 0.2 0.16 0.54 y 的数学期望为 ey=55 0.1+65 0.2+75 0.16+85 0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出,exey,即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的平均利润.故花店一天应购进 17 枝玫瑰花. 19.(2012 课标全国,理 19)如图,直三棱柱 abc-a1b1c1中,ac=bc=12aa1,d是棱 aa1的中点,dc1bd. 8 / 12 (1)证明:dc1bc; (2)求二面角 a1-bd-c1的大小. 解:(1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为

19、矩形. 由于 d为 aa1的中点,故 dc=dc1. 又 ac=12aa1,可得 d21c+dc2=c21c, 所以 dc1dc. 而 dc1bd,dcbd=d,所以 dc1平面 bcd. bc平面 bcd,故 dc1bc. (2)由(1)知 bcdc1,且 bccc1, 则 bc平面 acc1, 所以 ca,cb,cc1两两相互垂直. 以 c 为坐标原点,ca的方向为 x 轴的正方向,|ca|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 c-xyz. 由题意知 a1(1,0,2),b(0,1,0),d(1,0,1),c1(0,0,2). 则1da=(0,0,-1),bd=(1,-1,1),1dc=

20、(-1,0,1). 设 n=(x,y,z)是平面 a1b1bd的法向量, 则1 bd0, a d0,nn=即0,0.xyzz+= 可取 n=(1,1,0). 同理,设 m 是平面 c1bd 的法向量, 则1 bd0, dc0.mm=可取 m=(1,2,1). 从而 cos=| |nmn m=32. 故二面角 a1-bd-c1的大小为 30. 9 / 12 20.(2012 课标全国,理 20)设抛物线 c:x2=2py(p0)的焦点为 f,准线为 l,a为 c 上一点,已知以 f 为圆心,fa为半径的圆 f 交 l于 b,d两点. (1)若bfd=90,abd 的面积为 42,求 p 的值及圆

21、 f 的方程; (2)若 a,b,f 三点在同一直线 m 上,直线 n与 m平行,且 n与 c 只有一个公共点,求坐标原点到 m,n 距离的比值. 解:(1)由已知可得bfd为等腰直角三角形,|bd|=2p,圆 f 的半径|fa|=2p. 由抛物线定义可知 a到 l的距离 d=|fa|=2p. 因为abd 的面积为 42, 所以12|bd| d=42, 即12 2p2p=42, 解得 p=-2(舍去),p=2. 所以 f(0,1),圆 f 的方程为 x2+(y-1)2=8. (2)因为 a,b,f三点在同一直线 m上, 所以 ab 为圆 f 的直径,adb=90. 由抛物线定义知|ad|=|f

22、a|=12|ab|, 所以abd=30,m的斜率为33或-33. 当 m 的斜率为33时,由已知可设 n:y=33x+b,代入 x2=2py得 x2-2 33px-2pb=0. 由于 n 与 c只有一个公共点,故 =43p2+8pb=0. 解得 b=-6p. 因为 m的截距 b1=2p,1|bb=3,所以坐标原点到 m,n距离的比值为 3. 当 m 的斜率为-33时,由图形对称性可知,坐标原点到 m,n 距离的比值为 3. 21.(2012 课标全国,理 21)已知函数 f(x)满足 f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+12x2. (1)求 f(x)的解析式及单调区间; (2)若 f(x)

23、12x2+ax+b,求(a+1)b 的最大值. 解:(1)由已知得 f(x)=f(1)ex-1-f(0)+x. 所以 f(1)=f(1)-f(0)+1,即 f(0)=1. 又 f(0)=f(1)e-1,所以 f(1)=e. 10 / 12 从而 f(x)=ex-x+12x2. 由于 f(x)=ex-1+x, 故当 x(-,0)时,f(x)0. 从而,f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增. (2)由已知条件得 ex-(a+1)xb. ()若 a+10,则对任意常数 b,当 x0,且 x11ba+时,可得 ex-(a+1)x0,设 g(x)=ex-(a+1)x, 则 g(x)=ex-

24、(a+1). 当 x(-,ln(a+1)时,g(x)0. 从而 g(x)在(-,ln(a+1)单调递减,在(ln(a+1),+)单调递增. 故 g(x)有最小值 g(ln(a+1)=a+1-(a+1)ln(a+1). 所以 f(x)12x2+ax+b 等价于 ba+1-(a+1)ln(a+1). 因此(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1). 设 h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1), 则 h(a)=(a+1)(1-2ln(a+1). 所以 h(a)在(-1,12e-1)单调递增, 在(12e-1,+)单调递减, 故 h(a)在 a=12e-1 处取得最大值. 从而

25、h(a)e2,即(a+1)be2. 当 a=12e-1,b=12e2时,式成立, 故 f(x)12x2+ax+b. 综合得,(a+1)b的最大值为e2. 22.(2012 课标全国,理 22)选修 41:几何证明选讲 如图,d,e 分别为abc边 ab,ac 的中点,直线 de交abc 的外接圆于 f,g两点.若 cfab,证明: 11 / 12 (1)cd=bc; (2)bcdgbd. 证明:(1)因为 d,e 分别为 ab,ac的中点,所以 debc. 又已知 cfab,故四边形 bcfd 是平行四边形, 所以 cf=bd=ad. 而 cfad,连结 af, 所以 adcf是平行四边形,故 cd=af. 因为 cfab,所以 bc=af,故 cd=bc. (2)因为 fgbc,故 gb=cf. 由(1)可知 bd=cf,所以 gb=bd. 而dgb=ef