2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(辽宁卷)文 (2)

1、1 / 12 辽宁文科辽宁文科 1.(2012 辽宁,文 1)已知向量 a=(1,-1),b=(2,x).若 a b=1,则 x=( ). a.-1 b.-12 c.12 d.1 d 由 a b=1,得 1 2-1 x=1,解得 x=1,故选 d. 2.(2012 辽宁,文 2)已知全集 u=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,集合 a=0,1,3,5,8,集合 b=2,4,5,6,8,则(ua)(ub)=( ). a.5,8 b.7,9 c.0,1,3 d.2,4,6 b 由已知可得,ua=2,4,6,7,9,ub=0,1,3,7,9, 于是(ua)(ub)=7,9,故选 b. 3.(2

2、012 辽宁,文 3)复数11 i+=( ). a.12-12i b.12+12i c.1-i d.1+i a 11 i+=1(1)(1)iii+=12i=12-12i,故选 a. 4.(2012 辽宁,文 4)在等差数列an中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10=( ). a.12 b.16 c.20 d.24 b 由等差数列的性质知,a2+a10=a4+a8=16,故选 b. 5.(2012 辽宁,文 5)已知命题 p:x1,x2r,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0,则p是( ). a.x1,x2r,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0 b.x1,x2r,(f(x2)-f

3、(x1)(x2-x1)0 c.x1,x2r,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0 d.x1,x2r,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0), 令2x10,xx0,解得 x(0,1.因此函数 y=12x2-ln x 的单调递减区间为(0,1.故选 b. 9.(2012 辽宁,文 9)设变量 x,y 满足xy10,0 xy20,0y15,+则 2x+3y的最大值为( ). a.20 b.35 c.45 d.55 d 作出可行域如图所示. 令 z=2x+3y,则 y=-23x+13z,要使 z取得最大值, 则需求直线 y=-23x+13z 在 y轴上的截距的最大值,移动直线 l0:y=-23

4、x,可知当 l0过点 c(5,15)时,z取最大值,且 zmax=2 5+3 15=55,于是 2x+3y 的最大值为 55.故选 d. 3 / 12 10.(2012 辽宁,文 10)执行如图所示的程序框图,则输出的 s值是( ). a.4 b.32 c.23 d.-1 d 初始:s=4,i=1, 第一次循环:16,s=224=-1,i=2; 第二次循环:26,s=22 1+=23,i=3; 第三次循环:36,s=2223=32,i=4; 第四次循环:46,s=2322=4,i=5; 第五次循环:56,s=224=-1,i=6. 60,且 2(an+an+2)=5an+1,则数列an的公比q

5、= . 5 / 12 2 等比数列an为递增数列,且 a10, 公比 q1. 又2(an+an+2)=5an+1, 2an+2anq2=5anq. an0,2q2-5q+2=0. q=2或 q=12(舍去). 公比 q为 2. 15.(2012 辽宁,文 15)已知双曲线 x2-y2=1,点 f1,f2为其两个焦点,点 p 为双曲线上一点.若 pf1pf2,则|pf1|+|pf2|的值为 . 23 设|pf1|=m,|pf2|=n,根据双曲线的定义及已知条件可得|m-n|=2a=2,m2+n2=4c2=8, 故 mn=2,(|pf1|+|pf2|)2=(m+n)2=(m-n)2+4mn=4+4

6、 2=12,于是|pf1|+|pf2|=23. 16.(2012 辽宁,文 16)已知点 p,a,b,c,d 是球 o表面上的点,pa平面 abcd,四边形 abcd 是边长为23的正方形.若 pa=26,则oab 的面积为 . 33 如图所示,pa平面 abcd,paac. 故可知 pc为球 o直径,则 pc的中点为 o,取 ac 的中点为 o, 则 oo=12pa=6, 又ac=22(2 3)(2 3)+=26,pa=26, pc=22(2 6)(2 6)+=43, 球半径 r=23,故 oc=oa=ob=23,又ab=23, oab为等边三角形. soab=12 23 23 sin 60

7、=33. 17.(2012 辽宁,文 17)在abc 中,角 a,b,c 的对边分别为 a,b,c.角 a,b,c成等差数列. (1)求 cos b的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin asin c的值. 解:(1)由已知 2b=a+c,a+b+c=180,解得 b=60,所以 cos b=12. (2)方法一: 由已知 b2=ac,及 cos b=12, 6 / 12 根据正弦定理得 sin2b=sin asin c,所以 sin asin c=1-cos2b=34. 方法二: 由已知 b2=ac,及 cos b=12, 根据余弦定理得 cos b=22acac2ac+,解得

8、 a=c,所以 b=a=c=60,故 sin asin c=34. 18.(2012 辽宁,文 18) 如图,直三棱柱 abc-abc,bac=90,ab=ac=2,aa=1,点 m,n分别为 ab和 bc的中点. (1)证明:mn平面 aacc; (2)求三棱锥 a-mnc的体积. (锥体体积公式 v=13sh,其中 s 为底面面积,h为高) (1)证法一: 连结 ab,ac,由已知bac=90, ab=ac,三棱柱 abc-abc为直三棱柱, 所以 m 为 ab中点.又因为 n为 bc的中点, 所以 mnac. 又 mn平面 aacc,ac平面 aacc,因此 mn平面 aacc. 证法二

9、:取 ab中点 p,连结 mp,np. 而 m,n分别为 ab与 bc的中点,所以 mpaa,pnac, 所以 mp平面 aacc,pn平面 aacc.又 mpnp=p, 因此平面 mpn平面 aacc.而 mn平面 mpn, 因此 mn平面 aacc. (2)解法一:连结 bn,由题意 anbc,平面 abc平面 bbcc=bc,所以 an平面 nbc. 又 an=12bc=1,故 va-mnc=vn-amc=12vn-abc=12va-nbc=16. 7 / 12 解法二:va-mnc=va-nbc-vm-nbc=12va-nbc=16. 19.(2012 辽宁,文 19)电视传媒公司为了

10、解某地区观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100名观众进行调查,其中女性有 55 名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图: 将日均收看该体育节目时间不低于 40分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有 10名女性. (1)根据已知条件完成下面的 2 2列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关? 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 (2)将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有 2 名女性.若从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1名女性观众的概率. 附:2=2112212211212n(

11、n nn n )n n n n+. p(2k) 0.05 0.01 k 3.841 6.635 解:(1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”为 25 人,从而完成 2 2 列联表如下: 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 将 2 2列联表中的数据代入公式计算,得 8 / 12 2=2112212211212n(n nn n )n n n n+=2100 (30 1045 15)75 25 45 55=100333.030. 因为 3.0303.841,所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关. (2)由频率分布直方

12、图可知,“超级体育迷”为 5人,从而一切可能结果所组成的基本事件空间为 =(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2). 其中 ai表示男性,i=1,2,3.bj表示女性,j=1,2. 由 10个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的. 用 a 表示“任选 2 人中,至少有 1 人是女性”这一事件,则 a=(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2), 事件 a由 7 个基本事件组成,因而 p(a)=710.

13、 20. (2012辽宁,文 20)如图,动圆 c1:x2+y2=t2,1t3,与椭圆 c2:2x9+y2=1 相交于 a,b,c,d 四点,点 a1,a2分别为 c2的左,右顶点. (1)当 t为何值时,矩形 abcd 的面积取得最大值?并求出其最大面积; (2)求直线 aa1与直线 a2b交点 m 的轨迹方程. 解:(1)设 a(x0,y0),则矩形 abcd 的面积 s=4|x0|y0|. 由20 x9+20y=1得20y=1-20 x9,从而 2200 x y=2200 xx19=-22019x92+94. 当20 x=92,20y=12时,smax=6.从而 t=5时,矩形 abcd

14、 的面积最大,最大面积为 6. (2)由 a(x0,y0),b(x0,-y0),a1(-3,0),a2(3,0)知 直线 aa1的方程为 y=00yx3+(x+3), 直线 a2b 的方程为 y=00yx3(x-3), 由得 9 / 12 y2=2020yx9(x2-9). 又点 a(x0,y0)在椭圆 c 上,故 20y=1-20 x9. 将代入得2x9-y2=1(x-3,y0). 因此点 m的轨迹方程为 2x9-y2=1(x-3,y1时,f(x)32(x-1); (2)当 1x3时,f(x)1时, g(x)=1x+12 x-320. 又 g(1)=0,有 g(x)0,即 f(x)1时,2x

15、x+1,故 xx2+12. 令 k(x)=ln x-x+1,则 k(1)=0,k(x)=1x-10. 故 k(x)0,即 ln x1时,f(x)32(x-1). (2)证法一:记 h(x)=f(x)-9(x1)x5+. 由(1)得 h(x)=1x+12 x-254(x5)+ =2x2x+-254(x5)+x54x+-254(x5)+ 10 / 12 =32(x5)216x4x(x5)+. 令 g(x)=(x+5)3-216x. 则当 1x3 时,g(x)=3(x+5)2-2160, 因此 g(x)在(1,3)内是递减函数. 又由 g(1)=0,得 g(x)0, 所以 h(x)0, 因此 h(x)在(1,3)内是递减函数. 又 h(1)=0,得 h(x)0. 于是当 1x3时,f(x)9(x1)x5+. 证法二:记 h(x)=(x+5)f(x)-9(x-1), 则当 1x3 时,由(1)得 h(x)=f(x)