2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(重庆卷)文 (2)

1、1 / 7 12 重庆重庆(文文) 1.(2012 重庆,文 1)命题“若 p 则 q”的逆命题是( ). a.若 q则 p b.若p则q c.若q则p d.若 p则q a 根据逆命题的定义,命题“若 p则 q”的逆命题为“若 q则 p”,故选 a. 2.(2012 重庆,文 2)不等式12xx+0 的解集为( ). a.(1,+) b.(-,-2) c.(-2,1) d.(-,-2)(1,+) c 不等式12xx+0 可化为(x-1)(x+2)0,解不等式得其解集为(-2,1),故选 c. 3.(2012 重庆,文 3)设 a,b 为直线 y=x与圆 x2+y2=1 的两个交点,则|ab|=

2、( ). a.1 b.2 c.3 d.2 d 由已知条件可知直线 y=x过圆 x2+y2=1的圆心,所以 ab为圆 x2+y2=1的直径,|ab|=2,故选 d. 4.(2012 重庆,文 4)(1-3x)5的展开式中 x3的系数为( ). a.-270 b.-90 c.90 d.270 a (1-3x)5的展开式的通项为 tr+1=5cr(-3)rxr,令 r=3,则 x3的系数为35c(-3)3=-270,故选 a. 5.(2012 重庆,文 5)sin47sin17 cos30cos17=( ). a.-32 b.-12 c.12 d.32 c 因为 sin 47=sin(30+17)=

3、sin 30cos 17+sin 17cos 30,所以原式=sin30 cos17sin17 cos30sin17 cos30cos17+=sin 30=12,故选 c. 6.(2012 重庆,文 6)设 xr,向量 a=(x,1),b=(1,-2),且 ab,则|a+b|=( ). a.5 b.10 c.25 d.10 b 因为 ab,所以 a b=x-2=0,解得 x=2,a=(2,1),a+b=(3,-1),|a+b|=10,故选 b. 7.(2012 重庆,文 7)已知 a=log23+log23,b=log29-log23,c=log32,则 a,b,c的大小关系是( ). a.a

4、=bc c.abbc b a=log23+log23=log233,b=log29-log23=log233,因此 a=b,而 log233log22=1,log32c,故选 b. 8.(2012 重庆,文 8)设函数 f(x)在 r 上可导,其导函数为 f(x),且函数 f(x)在 x=-2处取得极小值,则函数y=xf(x)的图象可能是( ). 2 / 7 c 由题意可得 f(-2)=0,而且当 x(-,-2)时,f(x)0;当 x(-2,+)时,f(x)0,此时若 x(-2,0),xf(x)0,所以函数 y=xf(x)的图象可能是 c. 9.(2012 重庆,文 9)设四面体的六条棱的长分

5、别为 1,1,1,1,2和 a,且长为 a的棱与长为2的棱异面,则a 的取值范围是( ). a.(0,2) b.(0,3) c.(1,2) d.(1,3) a 四面体如图 1所示. 设 ab=ac=bd=cd=1,ad=2,bc=a,则 a0,当 a,b,c,d 四点共面时,bc=2(如图 2所示). 而此时 a,b,c,d 不能构成四面体,所以 bc0,n=xr|g(x)0得 x3或 x0 可化为 g(x)3或 g(x)3或 3x-2log35 或 xlog35或 x1,n=xr|3x-22=xr|xlog34,所以 mn=xr|x0,b0)左支的交点,f1是左焦点,pf1垂直于 x 轴,则

6、双曲线的离心率 e= . 3 24 因为 f1为左焦点,pf1垂直于 x 轴,所以 p点坐标为bcc,-3a.又因为 p点为直线与双曲线的交点,所以22ca-2222b c9ab=1,即89e2=1,所以 e=3 24. 15.(2012 重庆,文 15)某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 1节,则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术课的概率为 (用数字作答). 15 基本事件总数为66a=720,事件“相邻两节文化课之间至少间隔 1节艺术课”所包含的基本事件分两类,一类是相邻两节文化课之间恰好间隔 1节艺术课有 23333a a=72,

7、一类是相邻两节文化课之间间隔1 节或 2 节艺术课有32223322a c a a=72,由古典概型概率公式得 p=15. 16.(2012 重庆,文 16)已知an为等差数列,且 a1+a3=8,a2+a4=12. (1)求an的通项公式; (2)记an的前 n项和为 sn,若 a1,ak,sk+2成等比数列,求正整数 k的值. 解:(1)设数列an的公差为 d,由题意知 112a2d8,2a4d12.+=+=解得 a1=2,d=2. 所以 an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. (2)由(1)可得 sn=1nn(aa )2+=n(22n)2+=n(n+1). 因 a1,ak,s

8、k+2成等比数列,所以2ka=a1sk+2. 从而(2k)2=2(k+2)(k+3),即 k2-5k-6=0. 解得 k=6 或 k=-1(舍去).因此 k=6. 17.(2012 重庆,文 17)已知函数 f(x)=ax3+bx+c 在点 x=2处取得极值 c-16. (1)求 a,b 的值; (2)若 f(x)有极大值 28,求 f(x)在-3,3上的最小值. 解:(1)因 f(x)=ax3+bx+c,故 f(x)=3ax2+b, 由于 f(x)在点 x=2 处取得极值 c-16, 故有f(2)0,f(2)c 16,= 即12ab0,8a2bcc 16,+=+=化简得12ab0,4ab8,

9、+=+= 解得 a=1,b=-12. 4 / 7 (2)由(1)知 f(x)=x3-12x+c; f(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2). 令 f(x)=0,得 x1=-2,x2=2. 当 x(-,-2)时,f(x)0,故 f(x)在(-,-2)上为增函数; 当 x(-2,2)时,f(x)0,故 f(x)在(2,+)上为增函数. 由此可知 f(x)在 x1=-2 处取得极大值 f(-2)=16+c,f(x)在 x2=2处取得极小值 f(2)=c-16. 由题设条件知 16+c=28得 c=12. 此时 f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4, 因此

10、 f(x)在-3,3上的最小值为 f(2)=-4. 18.(2012 重庆,文 18)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球 3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响. (1)求乙获胜的概率; (2)求投篮结束时乙只投了 2 个球的概率. 解:设 ak,bk分别表示甲、乙在第 k次投篮投中,则 p(ak)=13,p(bk)=12(k=1,2,3). (1)记“乙获胜”为事件 c,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知 p(c)=p(1ab1)+p(112a b ab

11、2)+p(11223a b a b ab3) =p(1a)p(b1)+p(1a)p(1b)p(2a)p(b2)+p(1a)p(1b)p(2a)p(2b)p(3a)p(b3) =2312+222132 +332132 =1327. (2)记“投篮结束时乙只投了 2个球”为事件 d,则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知p(d)=p(112a b ab2)+p(1122a b a ba3)=p(1a)p(1b)p(2a)p(b2)+p(1a)p(1b)p(2a)p(2b)p(a3)=222132 +22211323 =427. 19.(2012 重庆,文 19)设函数

12、f(x)=asin(x+)(其中 a0,0,-)在 x=6处取得最大值 2,其图象与 x轴的相邻两个交点的距离为2. (1)求 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)=426xx1f x6cossin+的值域. 5 / 7 解:(1)由题设条件知 f(x)的周期 t=,即2=,解得 =2. 因 f(x)在 x=6处取得最大值 2,所以 a=2. 从而 sin26+=1,所以3+=2+2k,kz. 又由-得 =6. 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin2x6+. (2)g(x)=426xx122x2cossinsin+ =426xx222xcoscoscos+ =222(2x 1)(3

13、x2)2(2x 1)coscoscos+ =32cos2x+121x2cos. 因 cos2x0,1,且 cos2x12,故 g(x)的值域为77 51,44 2. 20.(2012 重庆,文 20)如图,在直三棱柱 abc-a1b1c1中,ab=4,ac=bc=3,d 为 ab的中点. (1)求异面直线 cc1和 ab的距离; (2)若 ab1a1c,求二面角 a1-cd-b1的平面角的余弦值. 解:(1)如图所示,因 ac=bc,d 为 ab 的中点,故 cdab. 又直三棱柱中,cc1面 abc,故 cc1cd,所以异面直线 cc1和 ab的距离为cd=22bcbd=5. (2)解法一:

14、由 cdab,cdbb1,故 cd面 a1abb1,从而 cdda1,cddb1,故a1db1为所求的二面角 a1-cd-b1的平面角. 6 / 7 因 a1d是 a1c 在面 a1abb1上的射影,又已知 ab1a1c,由三垂线定理的逆定理得 ab1a1d,从而a1ab1,a1da都与b1ab互余,因此a1ab1=a1da,所以 rta1adrtb1a1a.因此1aaad=111a baa,得 a21a=ad a1b1=8. 从而 a1d=221aaad+=23,b1d=a1d=23, 所以在a1db1中,由余弦定理得 cosa1db1=222111111a ddba b2?a d?db+=

15、13. (2)解法二:如图,过 d 作 dd1aa1交 a1b1于 d1,在直三棱柱中,由(1)知 db,dc,dd1两两垂直.以d为原点,射线 db,dc,dd1分别为 x轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 d-xyz. 设直三棱柱的高为 h,则 a(-2,0,0),a1(-2,0,h),b1(2,0,h),c(0,5,0),从而1ab=(4,0,h),1a c=(2,5,-h). 由11aba c得1ab1a c=0,即 8-h2=0,因此 h=22. 故1da=(-2,0,22),1db=(2,0,22),dc=(0,5,0). 设平面 a1cd 的法向量为 m=(x1,y1,

16、z1),则 mdc,m1da,即1115y0,2x2 2z0,=+= 取 z1=1,得 m=(2,0,1). 设平面 b1cd 的法向量为 n=(x2,y2,z2),则 ndc,n1db,即2225y0,2x2 2z0,=+= 取 z2=-1,得 n=(2,0,-1). 所以 cos=m?n|m|?|n |=2 12 1? 2 1+=13. 所以二面角 a1-cd-b1的平面角的余弦值为13. 21.(2012 重庆,文 21)如图,设椭圆的中心为原点 o,长轴在 x轴上,上顶点为 a,左、右焦点分别为 f1,f2,线段 of1,of2的中点分别为 b1,b2,且ab1b2是面积为 4的直角三

17、角形. (1)求该椭圆的离心率和标准方程; (2)过 b1作直线交椭圆于 p,q两点,使 pb2qb2,求pb2q 的面积. 解:(1)设所求椭圆的标准方程为22xa+22yb=1(ab0),右焦点为 f2(c,0). 7 / 7 因ab1b2是直角三角形且|ab1|=|ab2|,故b1ab2为直角,从而|oa|=|ob2|,即 b=c2. 结合 c2=a2-b2得 4b2=a2-b2,故 a2=5b2,c2=4b2,所以离心率 e=ca=255. 在 rtab1b2中,oab1b2,故12ab bs=12 |b1b2| |oa|=|ob2| |oa|=c2 b=b2, 由题设条件12ab bs=4 得 b2=4,从而 a2=5b2=20. 因此所求椭圆的标准方程为 2x20+2y4=1. (2)由(1)知 b1(-2,0),b2(2,0).由题意,直线 pq的倾斜角不为 0,故可设直线 pq的方程为 x=my-2.代入椭圆方程得 (m2+5)y2-4my-16=0.(*) 设 p(x1,y1),q(x2,y2),则 y1,y2是上面方程的两根,因此 y1+y2=24mm5+,y1 y2=216m5+. 又2b p=(x1-2,y1),2b q=(x2-2,y2), 所以2b p2b q=(x1-2)(x2-2)+y1y2 =(m