2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)文

1、1 / 12 浙江文科浙江文科 选择题部分(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10小题,每小题 5分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013 浙江,文 1)设集合 s=x|x-2,t=x|-4x1,则 st=( ). a.-4,+) b.(-2,+) c.-4,1 d.(-2,1 答案:d 解析:集合 s与集合 t 都表示连续的实数集,此类集合的运算可通过数轴直观表示出来.,故 st=x|-2x1,故选 d. 2.(2013 浙江,文 2)已知 i是虚数单位,则(2+i)(3+i)=( ). a.5-5i b.7-5i c.5+5i d.7+5i

2、 答案:c 解析:(2+i)(3+i)=6+5i+i2,因为 i2=-1,所以(2+i)(3+i)=5+5i,故选 c. 3.(2013 浙江,文 3)若 r,则“=0”是 sin cos ”的( ). a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件 答案:a 解析:当 =0 时,sin cos 成立;若 sin cos ,可取6等值,所以“=0”是“sin f(1),则( ). a.a0,4a+b=0 b.a0,2a+b=0 d.af(1)且 f(0),f(1)在对称轴同侧,故函数 f(x)在(-,2上单调递减,则抛物线开口方向朝上,知 a0,故选 a.

3、8.(2013 浙江,文 8)已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数 y=f(x)的图象如右图所示,则该函数的图象是( ). 答案:b 解析:由导函数图象知,函数 f(x)在-1,1上为增函数.当 x(-1,0)时 f(x)由小到大,则 f(x)图象的增长趋势由缓到快,当 x(0,1)时 f(x)由大到小,则 f(x)的图象增长趋势由快到缓,故选 b. 9.(2013 浙江,文 9)如图,f1,f2是椭圆 c1:x24+y2=1 与双曲线 c2的公共焦点,a,b 分别是 c1,c2在第二、四象限的公共点.若四边形 af1bf2为矩形,则 c2的离心率是( ). 4 / 12

4、 a.2 b.3 c.32 d.62 答案:d 解析:椭圆 c1中,|af1|+|af2|=2a=4,|f1f2|=2c=23.又四边形 af1bf2为矩形,f1af2=90 ,|af1|2+|af2|2=|f1f2|2,|af1|=2-2,|af2|=2+2,双曲线 c2中,2c=23,2a=|af2|-|af1|=22,故 e=32=62,故选 d. 10.(2013 浙江,文 10)设 a,br,定义运算“”和“”如下: ab=a,a b,b,a b,ab=b,a b,a,a b. 若正数 a,b,c,d满足 ab4,c+d4,则( ). a.ab2,cd2 b.ab2,cd2 c.ab

5、2,cd2 d.ab2,cd2 答案:c 解析:由题意知,运算“”为两数中取小,运算“”为两数中取大,由 ab4知,正数 a,b 中至少有一个大于等于 2.由 c+d4 知,c,d中至少有一个小于等于 2,故选 c. 非选择题部分(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7小题,每小题 4分,共 28 分. 11.(2013 浙江,文 11)已知函数 f(x)=x-1.若 f(a)=3,则实数 a= . 答案:10 解析:由 f(a)=a-1=3,得 a-1=9,故 a=10. 12.(2013 浙江,文 12)从 3男 3女共 6名同学中任选 2 名(每名同学被选中的机会均等),这 2 名都

6、是女同学的概率等于 . 5 / 12 答案:15 解析:从 3 男,3女中任选两名,共有 15 种基本情况,而从 3女中任选 2名女同学,则有 3 种基本情况,故所求事件的概率为315=15. 13.(2013 浙江,文 13)直线 y=2x+3被圆 x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于 . 答案:45 解析:圆的圆心为(3,4),半径是 5,圆心到直线的距离 d=|23-4+3|22+12= 5,可知弦长 l=252-(5)2=45. 14.(2013 浙江,文 14)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于 . 答案:95 解析:该程序框图为循环结构. 当 k=1时,s=1+

7、112=32; 当 k=2时,s=32+123=53; 当 k=3时,s=53+134=74; 当 k=4时,s=74+145=95,循环结束,输出 s=95. 6 / 12 15.(2013 浙江,文 15)设 z=kx+y,其中实数 x,y满足x 2,x-2y + 4 0,2x-y-4 0.若 z的最大值为 12,则实数k= . 答案:2 解析:满足条件x 2,x-2y + 4 0,2x-y-4 0的区域 d如图阴影部分所示,且 a(2,3),b(4,4),c(2,0).作直线 l0:y=-kx,当k0 时,y=-kx 为减函数,在 b处 z最大,此时 k=2;当 k12时,在 a处取得最

8、大值,k=92(舍去),故 k=2. 16.(2013 浙江,文 16)设 a,br,若 x0时恒有 0 x4-x3+ax+b(x2-1)2,则 ab= . 答案:-1 解析:令 x=1,得 01-1+a+b0, 整理,得 a+b=0, 令 x=-1,得 01-(-1)-a+b0, 整理,得 a-b=2, 解组成的方程组,得a = 1,b = -1. ab=-1. 17.(2013 浙江,文 17)设 e1,e2为单位向量,非零向量 b=xe1+ye2,x,yr.若 e1,e2的夹角为6,则|x|b|的最大值等于 . 答案:2 解析:因为 b0,所以 b=xe1+ye2,x0,y0. 7 /

9、12 又|b|2=(xe1+ye2)2=x2+y2+3xy,|x|2|b|2=x22+2+3xy=122+3+1,不妨设yx=t,则|x|2|b|2=12+3t+1,当 t=-32时,t2+3t+1 取得最小值14,此时|x|2|b|2取得最大值,所以|x|b|的最大值为 2. 三、解答题:本大题共 5小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(2013 浙江,文 18)(本题满分 14分)在锐角abc中,内角 a,b,c的对边分别为 a,b,c,且 2asin b=3b. (1)求角 a的大小; (2)若 a=6,b+c=8,求abc 的面积. 解:(1)由 2as

10、in b=3b及正弦定理aa=bb,得 sin a=32. 因为 a是锐角,所以 a=3. (2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos a,得 b2+c2-bc=36. 又 b+c=8,所以 bc=283. 由三角形面积公式 s=12bcsin a,得abc的面积为733. 19.(2013 浙江,文 19)(本题满分 14分)在公差为 d的等差数列an中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3成等比数列. (1)求 d,an; (2)若 d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|. 解:(1)由题意得 5a3a1=(2a2+2)2, 即 d2-3d-4=0. 故 d=-1或

11、 d=4. 所以 an=-n+11,nn*或 an=4n+6,nn*. (2)设数列an的前 n项和为 sn,因为 d1,求 f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值. 解:(1)当 a=1时,f(x)=6x2-12x+6, 所以 f(2)=6. 又因为 f(2)=4,所以切线方程为 y=6x-8. (2)记 g(a)为 f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值. 10 / 12 f(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a). 令 f(x)=0,得到 x1=1,x2=a. 当 a1时, x 0 (0,1) 1 (1,a) a (a,2a) 2a f(x) + 0 - 0 + f(

12、x) 0 单调 递增 极大值 3a-1 单调 递减 极小值 a2(3-a) 单调 递增 4a3 比较 f(0)=0和 f(a)=a2(3-a)的大小可得 g(a)=0,1 3. 当 a-1 时, x 0 (0,1) 1 (1,-2a) -2a f(x) - 0 + f(x) 0 单调递减 极小值 3a-1 单调递增 -28a3-24a2 得 g(a)=3a-1. 综上所述,f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值为 g(a)=3a-1,a -1,0,1 3. 22.(2013 浙江,文 22)(本题满分 14分) 已知抛物线 c 的顶点为 o(0,0),焦点为 f(0,1). (1)求抛物线 c

13、的方程; 11 / 12 (2)过点 f 作直线交抛物线 c于 a,b 两点.若直线 ao,bo 分别交直线 l:y=x-2 于 m,n 两点,求|mn|的最小值. 解:(1)由题意可设抛物线 c的方程为 x2=2py(p0),则p2=1, 所以抛物线 c 的方程为 x2=4y. (2)设 a(x1,y1),b(x2,y2),直线 ab的方程为 y=kx+1. 由y = kx + 1,x2= 4y消去 y,整理得 x2-4kx-4=0, 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4. 从而|x1-x2|=4k2+ 1. 由y =y1x1x,y = x-2, 解得点 m的横坐标 xm=2x1x1-y1=2x1x1-x124=84-x1. 同理点 n 的横坐标 xn=