2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖北卷)理 (2)

1、1 / 17 2013年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷湖北卷) 数学数学(理工类理工类) 本试题卷共 6页,22 题,其中第 15、16 题为选考题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的 2b铅笔将答题卡上试卷类型 a 后的方框涂黑. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2b 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效. 3.填空题和解

2、答题的作答:用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效. 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的 2b铅笔涂黑.考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选.答题答在答题卡上对应的答题区域内,答在试题卷、草稿纸上无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本大题共 10小题,每小题 5分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013 湖北,理 1)在复平面内,复数 z=2i1+i(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ). a.第一象限 b

3、.第二象限 c.第三象限 d.第四象限 答案:d 解析:z=2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=i(1-i)=1+i, 复数 z=2i1+i的共轭复数=1-i,其在复平面内对应的点(1,-1)位于第四象限. 2.(2013 湖北,理 2)已知全集为 r,集合 a=x|(12)x 1,b=x|x2-6x+80,则 arb=( ). a.x|x0 b.x|2x4 c.x|0 x4 d.x|0 x2或 x4 答案:c 解析:由题意知集合 a=x|(12)x 1=x|x0, 2 / 17 集合 b=x|x2-6x+80=x|2x4, rb=x|x4. 因此 a(rb)=x|0 x4. 3.

4、(2013 湖北,理 3)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题 p是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ). a.(p)(q) b.p(q) c.(p)(q) d.pq 答案:a 解析:“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括甲或乙没有落在指定范围或者两人均没有落在指定范围,因此应为(p)(q). 4.(2013 湖北,理 4)将函数 y=3cos x+sin x(xr)的图象向左平移 m(m0)个单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m的最小值是( ). a.12 b.6 c.3 d.56 答案:b 解析

5、:y=3cos x+sin x=2sin(x +3),函数 y=3cos x+sin x(xr)的图象向左平移 m(m0)个单位长度后,变为函数 y=2sin(x +3+ m)的图象. 又所得到的图象关于 y轴对称,则有 3+m=k+2,kz, m=k+6,kz. m0,当 k=0 时,m的最小值为6. 5.(2013 湖北,理 5)已知 04,则双曲线 c1:x22y22=1 与 c2:y22x222=1的( ). a.实轴长相等 b.虚轴长相等 c.焦距相等 d.离心率相等 3 / 17 答案:d 解析:对于双曲线 c1:x22y22=1,12=cos2,b12=sin2,c12=1; 对

6、于双曲线 c2:y22x222=1,22=sin2,b22=sin2tan2,c22=sin2+sin2tan2=sin2(1+tan2)=sin2(1 +22) =22=tan2. 只有当 =k+4(kz)时,a12= a22或b12= b22或c12= c22, 而 04,排除 a,b,c. 设双曲线 c1,c2的离心率分别为 e1,e2,则e12=12,22=22=12. 故 e1=e2,即两双曲线的离心率相等. 6.(2013 湖北,理 6)已知点 a(-1,1),b(1,2),c(-2,-1),d(3,4),则向量ab 在cd 方向上的投影为( ). a.322 b.3152 c.-

7、322 d.-3152 答案:a 解析:由题意可知ab =(2,1),cd =(5,5),故ab 在cd 方向上的投影为ab cd |cd |=1550=322. 7.(2013 湖北,理 7)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7-3t+251+t(t的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( ). a.1+25ln 5 b.8+25ln 113 c.4+25ln 5 d.4+50ln 2 答案:c 解析:由于 v(t)=7-3t+251+t,且汽车停止时速度为 0, 因此由 v(t)=0 可解得 t=4, 即汽车从

8、刹车到停止共用 4 s. 该汽车在此期间所行驶的距离 s= 40(7-3t +251+t)dt =7t-322+ 25(t + 1)|04 =4+25ln 5(m). 4 / 17 8.(2013 湖北,理 8)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为 v1,v2,v3,v4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有( ). a.v1v2v4v3 b.v1v3v2v4 c.v2v1v3v4 d.v2v3v1v4 答案:c 解析:由三视图可知,四个几何体自上而下分别为圆台,圆柱,四棱柱,四棱台.结合题中所给数据可得: v1=13(4

9、+2)=73,v2=2, v3=23=8,v4=13(16+4+8)=283. 故 v2v1v3v4. 9.(2013 湖北,理 9)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为 x,则 x 的均值 e(x)=( ). a.126125 b.65 c.168125 d.75 答案:b 解析:由题意可知涂漆面数 x的可能取值为 0,1,2,3. 由于 p(x=0)=27125,p(x=1)=54125,p(x=2)=36125,p(x=3)=8125, 故 e(x)=027125+154125+236125+381

10、25=150125=65. 10.(2013 湖北,理 10)已知 a为常数,函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点 x1,x2(x10,f(x2)-12 5 / 17 b.f(x1)0,f(x2)0,f(x2)-12 d.f(x1)-12 答案:d 解析:由题意知,函数 f(x)=x(ln x-ax)=xln x-ax2有两个极值点, 即 f(x)=ln x+1-2ax=0在区间(0,+)上有两个根. 令 h(x)=ln x+1-2ax,则 h(x)=1x-2a=-2ax+1x,当 a0时 h(x)0,f(x)在区间(0,+)上递增,f(x)=0 不可能有两个正根, a0.由 h(

11、x)=0,可得 x=12a,从而可知 h(x)在区间(0,12a)上递增,在区间(12a, + )上递减.因此需h(12a)=ln 12a+1-1=ln 12a0,即12a1 时满足条件,故当 0a12时,h(x)=0 有两个根 x1,x2,且 x112a0, x1112ax2,从而可知函数 f(x)在区间(0,x1)上递减,在区间(x1,x2)上递增,在区间(x2,+)上递减. f(x1)f(1)=-af(1)=-a-12.故选 d. 二、填空题:本大题共 6小题,考生共需作答 5小题,每小题 5分,共 25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11

12、.(2013 湖北,理 11)从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50至 350 度之间,频率分布直方图如图所示. (1)直方图中 x 的值为 ; (2)在这些用户中,用电量落在区间100,250)内的户数为 . 答案:(1)0.004 4 (2)70 解析:(1)由频率分布直方图知200,250)小组的频率为 1-(0.002 4+0.003 6+0.006 0+0.002 4+0.001 2) 50=0.22, 于是 x=0.2250=0.004 4. 6 / 17 (2)数据落在100,250)内的频率为(0.003 6+0.006 0+0.004 4) 50

13、=0.7, 所求户数为 0.7 100=70. 12.(2013 湖北,理 12)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i= . 答案:5 解析:第一次执行循环体后:a=5,i=2;第二次执行循环体后:a=16,i=3;第三次执行循环体后:a=8,i=4;第四次执行循环体后:a=4,i=5,满足条件,循环结束.输出 i=5. 13.(2013 湖北,理 13)设 x,y,zr,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14,则 x+y+z= . 答案:3147 解析:由柯西不等式得(x2+y2+z2)(12+22+32)(x+2y+3z)2当且仅当x1=y2=z3时等号成立,

14、此时 y=2x,z=3x. x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14, x=1414,y=21414,z=31414. x+y+z=61414=3147. 14.(2013 湖北,理 14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数 1,3,6,10,第n 个三角形数为n(n+1)2=12n2+12n.记第 n 个 k边形数为 n(n,k)(k3),以下列出了部分 k边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 n(n,3)=12n2+12n, 正方形数 n(n,4)=n2, 五边形数 n(n,5)=32n2-12n, 7 / 17 六边形数 n(n,6)=2n2-n, 可以推测

15、 n(n,k)的表达式,由此计算 n(10,24)= . 答案:1 000 解析:由题中数据可猜想:含 n2项的系数为首项是12,公差是12的等差数列,含 n 项的系数为首项是12,公差是-12的等差数列,因此 n(n,k)=12+ (k-3)12n2+12+ (k-3)(-12)n=k-22n2+4-k2n.故 n(10,24)=11n2-10n=11 102-10 10=1 000. (二)选考题(请考生在第 15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2b铅笔涂黑.如果全选,则按第 15题作答结果计分.) 15.(2013 湖北,理 15)(选修 41

16、:几何证明选讲) 如图,圆 o 上一点 c 在直径 ab上的射影为 d,点 d在半径 oc上的射影为 e.若 ab=3ad,则ceeo的值为 . 答案:8 解析:设 ad=2,则 ab=6, 于是 bd=4,od=1. 如图,由射影定理得 cd2=adbd=8, 则 cd=22. 在 rtocd中,de=odcdoc=1223=223. 则 ce=dc2-de2= 8-89=83,eo=oc-ce=3-83=13. 因此ceeo=8313=8. 16.(2013 湖北,理 16)(选修 44:坐标系与参数方程) 8 / 17 在直角坐标系 xoy 中,椭圆 c的参数方程为x = a,y = b

17、( 为参数,ab0).在极坐标系(与直角坐标系xoy 取相同的长度单位,且以原点 o 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l与圆 o 的极坐标方程分别为 sin( +4) =22m(m 为非零常数)与 =b.若直线 l经过椭圆 c的焦点,且与圆 o 相切,则椭圆 c 的离心率为 . 答案:63 解析:将椭圆 c的参数方程x = a,y = b( 为参数,ab0)化为标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0).又直线 l的极坐标方程为 sin( +4) =22m(m为非零常数),即 (22+ 22) =22m,则该直线的一般式为 y+x-m=0.圆的极坐标方程为 =b,其标准方程为 x2+

18、y2=b2.直线与圆 o相切,|m|2=b,|m|=2b.又直线 l经过椭圆 c 的焦点,|m|=c.c=2b,c2=2b2.a2=b2+c2=3b2,e2=c2a2=23.e=63. 三、解答题:本大题共 6小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(2013 湖北,理 17)(本小题满分 12 分)在abc中,角 a,b,c对应的边分别是 a,b,c.已知 cos 2a-3cos(b+c)=1. (1)求角 a的大小; (2)若abc的面积 s=53,b=5,求 sin bsin c 的值. 解:(1)由 cos 2a-3cos(b+c)=1, 得 2cos2a+

19、3cos a-2=0, 即(2cos a-1)(cos a+2)=0, 解得 cos a=12或 cos a=-2(舍去). 因为 0a,所以 a=3. (2)由 s=12bcsin a=12bc32=34bc=53,得 bc=20.又 b=5,知 c=4. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos a=25+16-20=21,故 a=21. 又由正弦定理得 sin bsin c=basin acasin a=bca2sin2a=202134=57. 18.(2013 湖北,理 18)(本小题满分 12 分)已知等比数列an满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125. (1)求数列a

20、n的通项公式; (2)是否存在正整数 m,使得1a1+1a2+1am1?若存在,求 m的最小值;若不存在,说明理由. 9 / 17 解:(1)设等比数列an的公比为 q,则由已知可得a13q3= 125,|a1q-a1q2| = 10, 解得a1=53,q = 3,或a1= -5,q = -1. 故 an=533n-1,或 an=-5(-1)n-1. (2)若 an=533n-1,则1an=35(13)n-1,故1an是首项为35,公比为13的等比数列, 从而n=1m1an=351-(13)m1-13 =9101-(13)m 9101. 若 an=(-5)(-1)n-1,则1an=-15(-1

21、)n-1,故1an是首项为-15,公比为-1 的等比数列,从而n=1m1an=-15,m = 2k-1(k+),0,m = 2k(k+),故n=1m1an1. 综上,对任何正整数 m,总有n=1m1an1. 故不存在正整数 m,使得1a1+1a2+1am1 成立. 19.(2013 湖北,理 19)(本小题满分 12 分)如图,ab 是圆 o 的直径,点 c是圆 o上异于 a,b 的点,直线pc平面 abc,e,f 分别是 pa,pc 的中点. (1)记平面 bef 与平面 abc的交线为 l,试判断直线 l与平面 pac 的位置关系,并加以证明; (2)设(1)中的直线 l与圆 o 的另一个

22、交点为 d,且点 q满足dq =12cp ,记直线 pq与平面 abc所成的角为 ,异面直线 pq与 ef所成的角为 ,二面角 e-l-c的大小为 ,求证:sin =sin sin . (1)解:直线 l平面 pac,证明如下: 连接 ef,因为 e,f 分别是 pa,pc的中点, 所以 efac. 10 / 17 又 ef平面 abc,且 ac平面 abc, 所以 ef平面 abc. 而 ef平面 bef,且平面 bef平面 abc=l,所以 efl. 因为 l平面 pac,ef平面 pac, 所以直线 l平面 pac. 图 1 (2)证明:(综合法)如图 1,连接 bd,由(1)可知交线

23、l即为直线 bd,且 lac. 因为 ab是o 的直径, 所以 acbc, 于是 lbc. 已知 pc平面 abc,而 l平面 abc,所以 pcl. 而 pcbc=c,所以 l平面 pbc. 连接 be,bf,因为 bf平面 pbc, 所以 lbf. 故cbf就是二面角 e-l-c的平面角, 即cbf=. 由dq =12cp ,作 dqcp,且 dq=12cp. 11 / 17 连接 pq,df,因为 f 是 cp的中点,cp=2pf, 所以 dq=pf, 从而四边形 dqpf是平行四边形,pqfd. 连接 cd,因为 pc平面 abc,所以 cd 是 fd 在平面 abc 内的射影, 故c

24、df 就是直线 pq 与平面 abc所成的角,即cdf=. 又 bd平面 pbc,有 bdbf,知bdf为锐角, 故bdf 为异面直线 pq与 ef 所成的角,即bdf=, 于是在 rtdcf,rtfbd,rtbcf 中,分别可得 sin =cfdf,sin =bfdf,sin =cfbf, 从而 sin sin =cfbfbfdf=cfdf=sin , 即 sin =sin sin . 图 2 (向量法)如图 2,由dq =12cp ,作 dqcp,且 dq=12cp. 连接 pq,ef,be,bf,bd,由(1)可知交线 l即为直线 bd. 以点 c为原点,向量ca ,cb ,cp 所在直

25、线分别为 x、y、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设ca=a,cb=b,cp=2c,则有 c(0,0,0),a(a,0,0),b(0,b,0),p(0,0,2c),q(a,b,c),e(12a,0,c),f(0,0,c). 于是fe = (12a,0,0),qp =(-a,-b,c),bf =(0,-b,c), 所以 cos =|fe qp |fe |qp |=aa2+b2+c2,从而 sin =1-2 =b2+c2a2+b2+c2. 12 / 17 又取平面 abc 的一个法向量为 m=(0,0,1),可得 sin =|m |m| |=ca2+b2+c2, 设平面 bef 的一个法向量为

26、 n=(x,y,z), 所以由n = 0,n = 0,可得12ax = 0,-by + cz = 0.取 n=(0,c,b). 于是|cos |=|mn|m|n|=bb2+c2, 从而 sin =1-2 =cb2+c2. 故 sin sin =b2+c2a2+b2+c2cb2+c2=ca2+b2+c2=sin ,即 sin =sin sin . 20.(2013 湖北,理 20)(本小题满分 12 分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数 x是服从正态分布n(800,502)的椭机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900的概率为 p0. (1)求 p0的值; (参考数据:若 xn(,2),

27、有 p(-x+)=0.682 6,p(-2x+2)=0.954 4,p(-3x+3)=0.997 4.) (2)某客运公司用 a,b两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次.a,b两种车辆的载客量分别为 36人和 60人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600元/辆和 2 400 元/辆.公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 b 型车不多于 a型车 7辆.若每天要以不小于 p0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备 a型车、b 型车各多少辆? 解:(1)由于随机变量 x服从正态分布 n(800,502), 故有 =80

28、0,=50,p(700x900)=0.954 4. 由正态分布的对称性,可得 p0=p(x900)=p(x800)+p(800x900) =12+12p(700n),过原点且不与 x 轴重合的直线 l与 c1,c2的四个交点按纵坐标从大到小依次为a,b,c,d.记 =mn,bdm 和abn的面积分别为 s1和 s2. (1)当直线 l与 y轴重合时,若 s1=s2,求 的值; (2)当 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 s1=s2?并说明理由. 解:依题意可设椭圆 c1和 c2的方程分别为 c1:x2a2+y2m2=1,c2:x2a2+y2n2=1. 其中 amn0,=mn1.

29、图 1 (1)解法 1:如图 1,若直线 l与 y轴重合,即直线 l的方程为 x=0,则s1=12|bd|om|=12a|bd|,s2=12|ab|on|=12a|ab|, 所以s1s2=|bd|ab|. 14 / 17 在 c1和 c2的方程中分别令 x=0,可得 ya=m,yb=n,yd=-m, 于是|bd|ab|=|yb-yd|ya-yb|=m+nm-n=+1-1. 若s1s2=,则+1-1=,化简得 2-2-1=0. 由 1,可解得 =2+1. 故当直线 l与 y 轴重合时,若 s1=s2,则 =2+1. 解法 2:如图 1,若直线 l与 y 轴重合,则 |bd|=|ob|+|od|=

30、m+n,|ab|=|oa|-|ob|=m-n; s1=12|bd|om|=12a|bd|, s2=12|ab|on|=12a|ab|. 所以s1s2=|bd|ab|=m+nm-n=+1-1. 若s1s2=,则+1-1=,化简得 2-2-1=0. 由 1,可解得 =2+1. 故当直线 l与 y 轴重合时,若 s1=s2,则 =2+1. 图 2 (2)解法 1:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 s1=s2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k0),点 m(-a,0),n(a,0)到直线 l的距离分别为 d1,d2,则 d1=|-ak-0|1+k2=ak1+k2,d2=|ak-0|1

31、+k2=ak1+k2,所以d1=d2. 又 s1=12|bd|d1,s2=12|ab|d2,所以s1s2=|bd|ab|=,即|bd|=|ab|. 由对称性可知|ab|=|cd|,所以|bc|=|bd|-|ab|=(-1)|ab|, |ad|=|bd|+|ab|=(+1)|ab|,于是 |ad|bc|=+1-1. 将 l的方程分别与 c1,c2的方程联立,可求得 xa=ama2k2+m2,xb=ana2k2+n2. 根据对称性可知 xc=-xb,xd=-xa,于是 15 / 17 |ad|bc|=1 + k2|xa-xd|1 + k2|xb-xc|=2xa2xb =mna2k2+n2a2k2+

32、m2. 从而由和式可得 a2k2+n2a2k2+m2=+1(-1). 令 t=+1(-1),则由 mn,可得 t1,于是由可解得 k2=n2(2t2-1)a2(1-t2). 因为 k0,所以 k20.于是式关于 k有解,当且仅当n2(2t2-1)a2(1-t2)0, 等价于(t2-1)(t2-12)1,可解得1t1, 即1+1(-1)1,解得 1+2,所以 当 11+2时,存在与坐标轴不重合的直线 l使得 s1=s2. 解法 2:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 s1=s2.根据对称性,不妨设直线 l:y=kx(k0), 点 m(-a,0),n(a,0)到直线 l的距离分别为 d1,d2, 则 d1=|-ak-0|1+k2=ak1+k2,d2=|ak-0|1+k2=ak1+k2,所以 d1=d2. 又 s1=12|bd|d1,s2=12|ab|d2,所以s1s2=|bd|ab|=. 因为|bd|ab|=1+k2|xb-xd|1+k2|xa-xb|=xa+xbxa-xb=,所以xaxb=+1-1. 由点 a(xa,kxa),b(xb,kxb)分别在 c1,c2上,可得xa2a2+k2xa2m2=1,xb2a2+k2xb2n2=1,两式相减可得xa2-xb2a2+k2(xa2-2xb2)m2=0, 依题意 xa