2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷)理

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理科)本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第卷1至2页,第卷3至5页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分.参考公式:·如果事件a,b互斥,那么p(ab)=p(a)+p(

2、b).·如果事件a,b相互独立,那么p(ab)=p(a)p(b).·棱柱的体积公式v=sh.其中s表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高.·球的体积公式v=43r3.其中r表示球的半径.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013天津,理1)已知集合a=xr|x|2,b=xr|x1,则ab=(). a.(-,2b.1,2c.-2,2d.-2,1答案:d解析:解不等式|x|2,得-2x2,所以a=x|-2x2,所以ab=x|-2x1.故选d.2.(2013天津,理2)设变量x,y满足约束条件3x+y-60,x-y-20,y-30,则目标

3、函数z=y-2x的最小值为().a.-7b.-4c.1d.2答案:a解析:作约束条件3x+y-60,x-y-20,y-30所表示的可行区域,如图所示,z=y-2x可化为y=2x+z,z表示直线在y轴上的截距,截距越大z越大,作直线l0:y=2x,平移l0过点a(5,3),此时z最小为-7,故选a.3.(2013天津,理3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序.若输入x的值为1,则输出s的值为().a.64b.73c.512d.585答案:b解析:由程序框图,得x=1时,s=1;x=2时,s=9;x=4时,s=9+64=73,结束循环输出s的值为73,故选b.4.(2013天津,理4)已知下列三个

4、命题:若一个球的半径缩小到原来的12,则其体积缩小到原来的18;若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;直线x+y+1=0与圆x2+y2=12相切,其中真命题的序号是().a.b.c.d.答案:c解析:设球半径为r,缩小后半径为r,则r=12r,而v=43r3,v'=43r3=4312r3=18×43r3,所以该球体积缩小到原来的18,故为真命题;两组数据的平均数相等,它们的方差可能不相等,故为假命题;圆x2+y2=12的圆心到直线x+y+1=0的距离d=12=22,因为该距离等于圆的半径,所以直线与圆相切,故为真命题.故选c.5.(2013天津,理5)已知双曲线x2a

5、2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于a,b两点,o为坐标原点.若双曲线的离心率为2,aob的面积为3,则p=().a.1b.32c.2d.3答案:c解析:设a点坐标为(x0,y0),则由题意,得saob=|x0|·|y0|=3.抛物线y2=2px的准线为x=-p2,所以x0=-p2,代入双曲线的渐近线的方程y=±bax,得|y0|=bp2a.由ca=2,a2+b2=c2,得b=3a,所以|y0|=32p.所以saob=34p2=3,解得p=2或p=-2(舍去).6.(2013天津,理6)在abc中,ab

6、c=4,ab=2,bc=3,则sinbac=().a.1010b.105c.31010d.55答案:c解析:在abc中,由余弦定理得ac2=ab2+bc2-2ab·bccosabc=2+9-2×2×3×22=5,即得ac=5.由正弦定理acsinabc=bcsinbac,即522=3sinbac,所以sinbac=31010.7.(2013天津,理7)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为().a.1b.2c.3d.4答案:b解析:函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点也就是方程2x|log0.5x|-1=0的根,即2x|log0.

7、5x|=1,整理得|log0.5x|=12x.令g(x)=|log0.5x|,h(x)=12x,作g(x),h(x)的图象如图所示.因为两个函数图象有两个交点,所以f(x)有两个零点.8.(2013天津,理8)已知函数f(x)=x(1+a|x|).设关于x的不等式f(x+a)<f(x)的解集为a.若-12,12a,则实数a的取值范围是().a.1-52,0b.1-32,0c.1-52,00,1+32d.-,1-52答案:a解析:f(x)=x(1+a|x|)=ax2+x,x0,-ax2+x,x<0.若不等式f(x+a)<f(x)的解集为a,且-12,12a,则在区间-12,12

8、上,函数y=f(x+a)的图象应在函数y=f(x)的图象的下边.(1)当a=0时,显然不符合条件.(2)当a>0时,画出函数y=f(x)和y=f(x+a)的图象大致如图.由图可知,当a>0时,y=f(x+a)的图象在y=f(x)图象的上边,故a>0不符合条件.(3)当a<0时,画出函数y=f(x)和y=f(x+a)的图象大致如图.由图可知,若f(x+a)<f(x)的解集为a,且-12,12a,只需f-12+a<f-12即可,则有-a-12+a2+-12+a<-a-122-12(a<0),整理,得a2-a-1<0,解得1-52<a<

9、;1+52.a<0,a1-52,0.综上,可得a的取值范围是1-52,0.第卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2013天津,理9)已知a,br,i是虚数单位.若(a+i)·(1+i)=bi,则a+bi=. 答案:1+2i解析:由(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,得a-1=0,a+1=b,解方程组,得a=1,b=2,则a+bi=1+2i.10.(2013天津,理10)x-1x6的二项展开式中的常数项为. 答案:15解析:二项展开式的

10、通项为tr+1=c6rx6-r-1xr=(-1)rc6rx6-32r,令6-32r=0得r=4,所以二项展开式的常数项为t5=(-1)4c64=15.11.(2013天津,理11)已知圆的极坐标方程为=4cos ,圆心为c,点p的极坐标为4,3,则|cp|=. 答案:23解析:由圆的极坐标方程为=4cos ,得圆心c的直角坐标为(2,0),点p的直角坐标为(2,23),所以|cp|=23.12.(2013天津,理12)在平行四边形abcd中,ad=1,bad=60°,e为cd的中点.若ac·be=1,则ab的长为. 答案:12解析:如图所示,在平行四边形

11、abcd中,ac=ab+ad,be=bc+ce=-12ab+ad.所以ac·be=(ab+ad)·-12ab+ad=-12|ab|2+|ad|2+12ab·ad=-12|ab|2+14|ab|+1=1,解方程得|ab|=12(舍去|ab|=0),所以线段ab的长为12.13.(2013天津,理13)如图,abc为圆的内接三角形,bd为圆的弦,且bdac.过点a作圆的切线与db的延长线交于点e,ad与bc交于点f.若ab=ac,ae=6,bd=5,则线段cf的长为. 答案:83解析:ae为圆的切线,由切割线定理,得ae2=eb·ed.又ae=6,

12、bd=5,可解得eb=4.eab为弦切角,且ab=ac,eab=acb=abc.eabc.又bdac,四边形ebca为平行四边形.bc=ae=6,ac=eb=4.由bdac,得acfdbf,cfbf=acbd=45.又cf+bf=bc=6,cf=83.14.(2013天津,理14)设a+b=2,b>0,则当a=时,12|a|+|a|b取得最小值. 答案:-2解析:因为a+b=2,所以1=a+b2.12|a|+|a|b=a+b22|a|+|a|b=a4|a|+b4|a|+|a|ba4|a|+2b4|a|·|a|b=a4|a|+1,当a>0时,a4|a|+1=54,

13、12|a|+|a|b54;当a<0时,a4|a|+1=34,12|a|+|a|b34,当且仅当b=2|a|时等号成立.因为b>0,所以原式取最小值时b=-2a.又a+b=2,所以a=-2时,原式取得最小值.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(2013天津,理15)(本小题满分13分)已知函数f(x)=-2sin2x+4+6sin xcos x-2cos2x+1,xr.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间0,2上的最大值和最小值.解:(1)f(x)=-2sin 2x·cos4-2cos 2x·sin

14、4+3sin 2x-cos 2x=2sin 2x-2cos 2x=22sin2x-4.所以,f(x)的最小正周期t=22=.(2)因为f(x)在区间0,38上是增函数,在区间38,2上是减函数.又f(0)=-2,f38=22,f2=2,故函数f(x)在区间0,2上的最大值为22,最小值为-2.16.(2013天津,理16)(本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的

15、最大值设为x,求随机变量x的分布列和数学期望.解:(1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件a,则p(a)=c21c53+c22c52c74=67.所以,取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量x的所有可能取值为1,2,3,4.p(x=1)=c33c74=135,p(x=2)=c43c74=435,p(x=3)=c53c74=27,p(x=4)=c63c74=47.所以随机变量x的分布列是x1234p1354352747随机变量x的数学期望ex=1×135+2×435+3×27+4×47=175.17.(2013天津,

16、理17)(本小题满分13分)如图,四棱柱abcd-a1b1c1d1中,侧棱a1a底面abcd,abdc,abad,ad=cd=1,aa1=ab=2,e为棱aa1的中点.(1)证明b1c1ce;(2)求二面角b1-ce-c1的正弦值;(3)设点m在线段c1e上,且直线am与平面add1a1所成角的正弦值为26,求线段am的长.解:(方法一)(1)证明:如图,以点a为原点建立空间直角坐标系,依题意得a(0,0,0),b(0,0,2),c(1,0,1),b1(0,2,2),c1(1,2,1),e(0,1,0).易得b1c1=(1,0,-1),ce=(-1,1,-1),于是b1c1·ce=0

17、,所以b1c1ce.(2)b1c=(1,-2,-1).设平面b1ce的法向量m=(x,y,z),则m·b1c=0,m·ce=0,即x-2y-z=0,-x+y-z=0.消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一个法向量为m=(-3,-2,1).由(1),b1c1ce,又cc1b1c1,可得b1c1平面cec1,故b1c1=(1,0,-1)为平面cec1的一个法向量.于是cos<m,b1c1>=m·b1c1|m|·|b1c1|=-414×2=-277,从而sin<m,b1c1>=217.所以二面角b1-ce-c1的正弦值为

18、217.(3)ae=(0,1,0),ec1=(1,1,1).设em=ec1=(,),01,有am=ae+em=(,+1,).可取ab=(0,0,2)为平面add1a1的一个法向量.设为直线am与平面add1a1所成的角,则sin =|cos<am,ab>|=|am·ab|am|·|ab|=22+(+1)2+2×2=32+2+1.于是32+2+1=26,解得=13,所以am=2.(方法二)(1)证明:因为侧棱cc1底面a1b1c1d1,b1c1平面a1b1c1d1,所以cc1b1c1.经计算可得b1e=5,b1c1=2,ec1=3,从而b1e2=b1c1

19、2+ec12,所以在b1ec1中,b1c1c1e,又cc1,c1e平面cc1e,cc1c1e=c1,所以b1c1平面cc1e,又ce平面cc1e,故b1c1ce.(2)过b1作b1gce于点g,连接c1g.由(1),b1c1ce,故ce平面b1c1g,得cec1g,所以b1gc1为二面角b1-ce-c1的平面角.在cc1e中,由ce=c1e=3,cc1=2,可得c1g=263.在rtb1c1g中,b1g=423,所以sinb1gc1=217,即二面角b1-ce-c1的正弦值为217.(3)连接d1e,过点m作mhed1于点h,可得mh平面add1a1,连接ah,am,则mah为直线am与平面a

20、dd1a1所成的角.设am=x,从而在rtahm中,有mh=26x,ah=346x.在rtc1d1e中,c1d1=1,ed1=2,得eh=2mh=13x.在aeh中,aeh=135°,ae=1,由ah2=ae2+eh2-2ae·ehcos 135°,得1718x2=1+19x2+23x,整理得5x2-22x-6=0,解得x=2.所以线段am的长为2.18.(2013天津,理18)(本小题满分13分)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为f,离心率为33,过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程;(2)设a,b

21、分别为椭圆的左、右顶点,过点f且斜率为k的直线与椭圆交于c,d两点.若ac·db+ad·cb=8,求k的值.解:(1)设f(-c,0),由ca=33,知a=3c.过点f且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有(-c)2a2+y2b2=1,解得y=±6b3,于是26b3=433,解得b=2,又a2-c2=b2,从而a=3,c=1,所以椭圆的方程为x23+y22=1.(2)设点c(x1,y1),d(x2,y2),由f(-1,0)得直线cd的方程为y=k(x+1),由方程组y=k(x+1),x23+y22=1消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0

22、.求解可得x1+x2=-6k22+3k2,x1x2=3k2-62+3k2.因为a(-3,0),b(3,0),所以ac·db+ad·cb=(x1+3,y1)·(3-x2,-y2)+(x2+3,y2)·(3-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+2k2+122+3k2.由已知得6+2k2+122+3k2=8,解得k=±2.19.(2013天津,理19)(本小题满分14分)已知首项为32的等比数列an不是递减数列,其前n项和为sn(nn

23、*),且s3+a3,s5+a5,s4+a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设tn=sn-1sn(nn*),求数列tn的最大项的值与最小项的值.解:(1)设等比数列an的公比为q,因为s3+a3,s5+a5,s4+a4成等差数列,所以s5+a5-s3-a3=s4+a4-s5-a5,即4a5=a3,于是q2=a5a3=14.又an不是递减数列且a1=32,所以q=-12.故等比数列an的通项公式为an=32×-12n-1=(-1)n-1·32n.(2)由(1)得sn=1-12n=1+12n,n为奇数,1-12n,n为偶数.当n为奇数时,sn随n的增大而减小,所以1<sns1=32,故0<sn-1sns1-1s1=32-23=56.当n为偶数时,sn随n的增大而增大,所以34=s2sn<1,故0>sn-1sns2-1s2=34-43=-712.综上,对于nn*,总有-712sn-1sn56.所以数列tn最大项的值为56,最小项的值为-712.20.(2013天津,理20)(本小题满分14分)已知函数f(x)=x2ln x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)证明:对任意的t>0,存在唯一的s,使t=