2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(辽宁卷)理

1、1 / 19 2013年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷辽宁卷) 数学数学(供理科考生使用供理科考生使用) 注意事项: 1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

2、要求的. 1.(2013 辽宁,理 1)复数 z=1i-1的模为( ). a.12 b.22 c.2 d.2 答案:b 解析:z=1i-1=-i-1(-i-1)(i-1)=-1212i, |z|=(-12)2+ (-12)2=22,故选 b. 2.(2013 辽宁,理 2)已知集合 a=x|0log4x1,b=x|x2,则 ab=( ). a.(0,1) b.(0,2 c.(1,2) d.(1,2 答案:d 2 / 19 解析:0log4x1log41log4xlog441x4,即 a=x|1x4, ab=x|10 的等差数列an的四个命题: p1:数列an是递增数列; p2:数列nan是递增

3、数列; p3:数列是递增数列; p4:数列an+3nd是递增数列. 其中的真命题为( ). a.p1,p2 b.p3,p4 c.p2,p3 d.p1,p4 答案:d 解析:如数列为-2,-1,0,1,则 1a1=2a2,故 p2是假命题;如数列为1,2,3,则=1,故 p3是假命题.故选 d. 5.(2013 辽宁,理 5)某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:20,40),40,60),60,80),80,100.若低于 60 分的人数是 15,则该班的学生人数是( ). 3 / 19 a.45 b.50 c.55 d.60 答案:b 解析:由频率分布直方图

4、,低于 60 分的同学所占频率为(0.005+0.01)20=0.3,故该班的学生人数为150.3=50.故选 b. 6.(2013 辽宁,理 6)在abc中,内角 a,b,c的对边分别为 a,b,c.若 asin bcos c+csin bcos a=12b,且 ab,则b=( ). a.6 b.3 c.23 d.56 答案:a 解析:根据正弦定理:asin bcos c+csin bcos a=12b 等价于 sin acos c+sin ccos a=12, 即 sin(a+c)=12. 又 ab,a+c=56,b=6.故选 a. 7.(2013 辽宁,理 7)使(3 +1)(nn+)的

5、展开式中含有常数项的最小的 n为( ). a.4 b.5 c.6 d.7 答案:b 解析:(3x +1xx)n展开式中的第 r+1 项为nr(3x)n-rx-32r= nr3n-rxn-52r,若展开式中含常数项,则存在nn+,rn,使 n-52r=0, 4 / 19 故最小的 n 值为 5,故选 b. 8.(2013 辽宁,理 8)执行如图所示的程序框图,若输入 n=10,则输出 s=( ). a.511 b.1011 c.3655 d.7255 答案:a 解析:当 n=10时,由程序运行得到 s=122-1+142-1+162-1+182-1+1102-1 =(113+135+157+17

6、9+1911) =12(11-13+13-15+15-17+17-19+19-111) =121011=511.故选 a. 9.(2013 辽宁,理 9)已知点 o(0,0),a(0,b),b(a,a3).若oab为直角三角形,则必有( ). a.b=a3 b.b=a3+1a c.(b-a3)(b-a3-1a)=0 d.|b-a3|+|b-a3-1a|=0 5 / 19 答案:c 解析:若 b为直角,则ob ab =0, 即 a2+a3(a3-b)=0, 又 a0,故 b=a3+1a; 若 a 为直角,则oa ab =0,即 b(a3-b)=0,得 b=a3; 若 o 为直角,则不可能.故 b

7、-a3=0或 b-a3-1a=0,故选 c. 10.(2013 辽宁,理 10)已知直三棱柱 abc-a1b1c1的 6个顶点都在球 o的球面上.若ab=3,ac=4,abac,aa1=12,则球 o的半径为( ). a.3172 b.210 c.132 d.310 答案:c 解析:过 c点作 ab的平行线,过 b点作 ac的平行线,交点为 d,同理过 c1作 a1b1的平行线,过 b1作a1c1的平行线,交点为 d1,连接 dd1,则 abcd-a1b1c1d1恰好成为球的一个内接长方体,故球的半径r=32+42+1222=132.故选 c. 11.(2013 辽宁,理 11)已知函数 f(

8、x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设h1(x)=maxf(x),g(x),h2(x)=minf(x),g(x)(maxp,q表示 p,q中的较大值,minp,q表示 p,q中的较小值).记 h1(x)的最小值为 a,h2(x)的最大值为 b,则 a-b=( ). a.16 b.-16 c.a2-2a-16 d.a2+2a-16 答案:b 解析:f(x)-g(x)=2x2-4ax+2a2-8 =2x-(a-2)x-(a+2), h1(x)=f(x),x(-,a-2,g(x),x(a-2,a + 2),f(x),xa + 2, + ), 6 / 19 h

9、2(x)=g(x),x(-,a-2,f(x),x(a-2,a + 2),g(x),xa + 2, + ), 可求得 h1(x)的最小值 a=f(a+2)=-4a-4,h2(x)的最大值 b=g(a-2)=-4a+12, a-b=-16.故选 b. 12.(2013 辽宁,理 12)设函数 f(x)满足 x2f(x)+2xf(x)=xx,f(2)=28,则 x0时,f(x)( ). a.有极大值,无极小值 b.有极小值,无极大值 c.既有极大值又有极小值 d.既无极大值也无极小值 答案:d 解析:令 f(x)=x2f(x), 则 f(x)=x2f(x)+2xf(x)=xx, f(2)=4f(2)

10、=22. 由 x2f(x)+2xf(x)=xx, 得 x2f(x)=xx-2xf(x)=x-22f(x)x, f(x)=x-2f(x)x3. 令 (x)=ex-2f(x), 则 (x)=ex-2f(x)=ex-2xx=x(x-2)x. (x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增, (x)的最小值为 (2)=e2-2f(2)=0. 7 / 19 (x)0. 又 x0,f(x)0. f(x)在(0,+)单调递增. f(x)既无极大值也无极小值.故选 d. 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13题第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22题第24 题为选考题,考生根据要求

11、做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5分. 13.(2013 辽宁,理 13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 . 答案:16-16 解析:由三视图可知该几何体是一个底面半径为 2的圆柱体,中间挖去一个底面棱长为 2的正四棱柱,故体积为 224-2 2 4=16-16. 14.(2013 辽宁,理 14)已知等比数列an是递增数列,sn是an的前 n项和.若 a1,a3是方程 x2-5x+4=0的两个根,则 s6= . 答案:63 解析:因为 x2-5x+4=0的两根为 1 和 4,又数列an是递增数列, 所以 a1=1,a3=4,所以 q=2. 所以 s6=1(1-2

12、6)1-2=63. 8 / 19 15.(2013 辽宁,理 15)已知椭圆 c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为 f,c与过原点的直线相交于 a,b两点,连接 af,bf.若|ab|=10,|af|=6,cosabf=45,则 c的离心率 e= . 答案:57 解析:如图所示. 根据余弦定理|af|2=|bf|2+|ab|2-2|ab|bf|cosabf,即|bf|2-16|bf|+64=0,得|bf|=8. 又|of|2=|bf|2+|ob|2-2|ob|bf|cos abf,得|of|=5. 根据椭圆的对称性|af|+|bf|=2a=14,得 a=7. 又|of|=c=5,故离

13、心率 e=57. 16.(2013 辽宁,理 16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取 5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 . 答案:10 解析:设 5 个班级的人数分别为 x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x55=7, (x1-7)2+ (x2-7)2+ (x3-7)2+ (x4-7)2+ (x5-7)25 =4, 即 5个整数平方和为 20,最大的数比 7 大不能超过 3,否则方差超过 4,故最大值为 10,最小值为 4. 三、解答题:解答应写出文字说明

14、,证明过程或演算步骤. 17.(2013 辽宁,理 17)(本小题满分 12 分)设向量 a=(3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x0,2. (1)若|a|=|b|,求 x 的值; 9 / 19 (2)设函数 f(x)=a b,求 f(x)的最大值. 解:(1)由|a|2=(3sin x)2+(sin x)2=4sin2x, |b|2=(cos x)2+(sin x)2=1, 及|a|=|b|,得 4sin2x=1. 又 x0,2,从而 sin x=12, 所以 x=6. (2)f(x)=ab=3sin xcos x+sin2x =32sin 2x-12cos 2x+

15、12 =sin(2x-6) +12, 当 x=3 0,2时,sin(2x-6)取最大值 1. 所以 f(x)的最大值为32. 18.(2013 辽宁,理 18)(本小题满分 12 分)如图,ab 是圆的直径,pa垂直圆所在的平面,c是圆上的点. (1)求证:平面 pac平面 pbc; (2)若 ab=2,ac=1,pa=1,求二面角 c pb a的余弦值. (1)证明:由 ab是圆的直径,得 acbc. 由 pa平面 abc,bc平面 abc,得 pabc. 又 paac=a,pa平面 pac,ac平面 pac, 所以 bc平面 pac. 10 / 19 因为 bc平面 pbc. 所以平面 p

16、bc平面 pac. (2)解法一:过 c 作 cmap,则 cm平面 abc. 如图,以点 c为坐标原点,分别以直线 cb,ca,cm为 x轴,y轴,z 轴建立空间直角坐标系. 因为 ab=2,ac=1,所以 bc=3. 因为 pa=1,所以 a(0,1,0),b(3,0,0),p(0,1,1). 故cb =(3,0,0),cp =(0,1,1). 设平面 bcp 的法向量为 n1=(x,y,z), 则 n1= 0, n1= 0, 所以3x = 0,y + z = 0, 不妨令 y=1,则 n1=(0,1,-1). 因为ap =(0,0,1),ab =(3,-1,0). 设平面 abp 的法向

17、量为 n2=(x,y,z), 则 n2= 0, n2= 0,所以z = 0,3x-y = 0, 不妨令 x=1,则 n2=(1,3,0), 于是 cos=322=64. 所以由题意可知二面角 c pb a 的余弦值为64. 11 / 19 解法二:过 c 作 cmab于 m, 因为 pa平面 abc,cm平面 abc, 所以 pacm,故 cm平面 pab. 过 m作 mnpb 于 n,连接 nc, 由三垂线定理得 cnpb. 所以cnm 为二面角 c pb a的平面角. 在 rtabc 中,由 ab=2,ac=1,得 bc=3,cm=32,bm=32, 在 rtpab中,由 ab=2,pa=

18、1,得 pb=5. 因为 rtbnmrtbap, 所以mn1=325,故 mn=3510. 又在 rtcnm 中,cn=305,故 coscnm=64. 所以二面角 c pb a 的余弦值为64. 19.(2013 辽宁,理 19)(本小题满分 12 分)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3道题解答. (1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (2)已知所取的 3道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用 x表示张同学答对题的个数,求 x的分布列和数学期望. 解:(1

19、)设事件 a=“张同学所取的 3 道题至少有 1道乙类题”, 12 / 19 则有a=“张同学所取的 3 道题都是甲类题”. 因为 p(a)=63103=16, 所以 p(a)=1-p(a)=56. (2)x所有的可能取值为 0,1,2,3. p(x=0)=20(35)0(25)215=4125; p(x=1)=21(35)1(25)115+ 20(35)0(25)245=28125; p(x=2)=22(35)2(25)015+ 21(35)1(25)145=57125; p(x=3)=22(35)2(25)045=36125. 所以 x的分布列为: x 0 1 2 3 p 4125 281

20、25 57125 36125 所以 e(x)=04125+128125+257125+336125=2. 20.(2013 辽宁,理 20)(本小题满分 12 分)如图,抛物线 c1:x2=4y,c2:x2=-2py(p0).点 m(x0,y0)在抛物线c2上,过 m 作 c1的切线,切点为 a,b(m为原点 o时,a,b重合于 o).当 x0=1-2时,切线 ma的斜率为-12. (1)求 p的值; 13 / 19 (2)当 m在 c2上运动时,求线段 ab中点 n的轨迹方程(a,b重合于 o时,中点为 o). 解:(1)因为抛物线 c1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为 y=x2

21、,且切线 ma的斜率为-12,所以 a点坐标为(-1,14),故切线 ma的方程为 y=-12(x+1)+14. 因为点 m(1-2,y0)在切线 ma及抛物线 c2上, 于是 y0=-12(2-2)+14=-3-224, y0=-(1-2)22p=-3-222p. 由得 p=2. (2)设 n(x,y),a(x1,x124),b(x2,x224),x1x2,由 n为线段 ab 中点知 x=x1+x22, y=x12+x228. 切线 ma,mb的方程为 y=x12(x-x1)+x124, y=x22(x-x2)+x224. 由得 ma,mb的交点 m(x0,y0)的坐标为 x0=x1+x22

22、,y0=x1x24. 因为点 m(x0,y0)在 c2上,即x02=-4y0, 所以 x1x2=-x12+x226. 由得 x2=43y,x0. 14 / 19 当 x1=x2时,a,b重合于原点 o,ab中点 n 为 o,坐标满足 x2=43y. 因此 ab中点 n的轨迹方程为 x2=43y. 21.(2013 辽宁,理 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=(1+x)e-2x,g(x)=ax+x32+1+2xcos x.当 x0,1时, (1)求证:1-xf(x)11+x; (2)若 f(x)g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围. (1)证明:要证 x0,1时,(1+x)e-

23、2x1-x,只需证明(1+x)e-x(1-x)ex. 记 h(x)=(1+x)e-x-(1-x)ex, 则 h(x)=x(ex-e-x), 当 x(0,1)时,h(x)0, 因此 h(x)在0,1上是增函数, 故 h(x)h(0)=0. 所以 f(x)1-x,x0,1. 要证 x0,1时,(1+x)e-2x11+x, 只需证明 exx+1. 记 k(x)=ex-x-1,则 k(x)=ex-1, 当 x(0,1)时,k(x)0,因此 k(x)在0,1上是增函数, 故 k(x)k(0)=0. 所以 f(x)11+x,x0,1. 综上,1-xf(x)11+x,x0,1. (2)解法一:f(x)-g(

24、x)=(1+x)e-2x-(ax +32+ 1 + 2xx) 15 / 19 1-x-ax-1-x32-2xcos x =-x(a+1+x22+2cos x). 设 g(x)=x22+2cos x,则 g(x)=x-2sin x. 记 h(x)=x-2sin x,则 h(x)=1-2cos x, 当 x(0,1)时,h(x)0,于是 g(x)在0,1上是减函数, 从而当 x(0,1)时,g(x)-3 时,f(x)g(x)在0,1上不恒成立. f(x)-g(x)11+x-1-ax-x32-2xcos x =-x1+x-ax-x32-2xcos x =-x(11+ a +22+ 2x), 记 i(x)=11+x+a+x22+2cos x=11+x+a+g(x), 则 i(x)=-1(1+x)2+g(x), 当 x(0,1)时,i(x)-3 时,a+30, 所以存在 x0(0,1),使得 i(x0)0, 此时 f(x0)0,于是 g(x)在0,1上是增函数