2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(四川卷)文 (2)

1、1 / 8 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数学(文科) 第卷(选择题 共 50分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.(2014 四川,文 1)已知集合 a=x|(x+1)(x-2)0,集合 b为整数集,则 ab=( ) a.-1,0 b.0,1 c.-2,-1,0,1 d.-1,0,1,2 答案:d 解析:a=x|(x+1)(x-2)0=x|-1x2, ab=az=x|-1x2z=-1,0,1,2,故选 d. 2.(2014 四川,文 2)在“世界读书日”前夕,为了了解某地 5 00

2、0 名居民某天的阅读时间,从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5 000 名居民的阅读时间的全体是( ) a.总体 b.个体 c.样本的容量 d.从总体中抽取的一个样本 答案:a 解析:由题意知,5 000 名居民的阅读时间是总体,200 名居民的阅读时间为一个样本;每个居民的阅读时间为个体;200 为样本容量;故选 a. 3.(2014 四川,文 3)为了得到函数 y=sin(x+1)的图象,只需把函数 y=sin x 的图象上所有的点( ) a.向左平行移动 1 个单位长度 b.向右平行移动 1 个单位长度 c.向左平行移动 个单位长度 d.向右平行移动 个单位

3、长度 答案:a 解析:根据图象的变换规律“左加右减”知,选 a. 4.(2014 四川,文 4)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是(锥体体积公式: =13sh,其中 s 为底面面积,h 为高 )( ) a.3 b.2 c.3 d.1 答案:d 解析:由俯视图知该三棱锥的底面积 s底=1223 = 3,由侧视图知该三棱锥的高 h=3. 所以 v三棱锥=13s底h=13 3 3=1,故选 d. 5.(2014 四川,文 5)若 ab0,cd b. d.b0,cd-d0,-ac-bd, 即 ac0, 即1, 所以输出的 s 的最大值为 2.故选 c. 7.(2014 四川,文 7)

4、已知 b0,log5b=a,lg b=c,5d=10,则下列等式一定成立的是( ) a.d=ac b.a=cd c.c=ad d.d=a+c 答案:b 解析:由 log5b=a,得lglg5=a; 由 5d=10,得 d=log510=lg10lg5=1lg5, 又 lg b=c,所以 cd=a.故选 b. 8.(2014 四川,文 8)如图,从气球 a上测得正前方的河流的两岸 b,c 的俯角分别为 75 ,30 ,此时气球的高是 60 m,则河流的宽度 bc 等于( ) a.240(3-1)m b.180(2-1)m c.120(3-1)m d.30(3+1)m 答案:c 解析:如图,作 a

5、dbc,垂足为 d. 3 / 8 由题意,得 dc=60tan 60 =603(m), db=60tan 15 =60tan(45 -30 ) =60tan45-tan301+tan45tan30=601-331+33 =(120-603)m. 所以 bc=dc-db=603-(120-603)=1203-120=120(3-1)(m),故选 c. 9.(2014 四川,文 9)设 mr,过定点 a的动直线 x+my=0 和过定点 b的动直线 mx-y-m+3=0 交于点 p(x,y),则|pa|+|pb|的取值范围是( ) a.5,25 b.10,25 c.10,45 d.25,45 答案:

6、b 解析:由题意,得 a(0,0),b(1,3), 因为 1m+m(-1)=0,所以两直线垂直, 所以点 p在以 ab 为直径的圆上,所以 papb. 所以|pa|2+|pb|2=|ab|2=10, 设abp=, 则|pa|+|pb|=10sin +10cos =25sin( +4). 因为|pa|0,|pb|0, 所以 02. 所以10|pa|+|pb|25,故选 b. 10.(2014 四川,文 10)已知 f为抛物线 y2=x 的焦点,点 a,b在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, =2(其中 o 为坐标原点),则abo 与afo 面积之和的最小值是( ) a.2 b.3 c.1728 d

7、.10 答案:b 解析:设 ab所在直线方程为 x=my+t. 由 = + ,2= x,消去 x,得 y2-my-t=0. 设 a(12,y1),b(22,y2)(不妨令 y10,y20), 故12+ 22=m,y1y2=-t. 而 = 1222+y1y2=2. 解得 y1y2=-2 或 y1y2=1(舍去). 所以-t=-2,即 t=2. 所以直线 ab过定点 m(2,0). 而 sabo=samo+sbmo =12|om|y1-y2|=y1-y2, safo=12|of|y1=1214y1=18y1, 故 sabo+safo=y1-y2+18y1=98y1-y2. 由98y1-y2=98y

8、1+(-y2)2981 (-2)=298 2=3, 得 sabo+safo的最小值为 3,故选 b. 第卷(非选择题 共 100分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 4 / 8 11.(2014 四川,文 11)双曲线24-y2=1 的离心率等于 . 答案:52 解析:24-y2=1,a2=4,b2=1, c2=a2+b2=5,a=2,c=5, e=52. 12.(2014 四川,文 12)复数2-2i1+i= . 答案:-2i 解析:2-2i1+i=(2-2i)(1-i)(1+i)(1-i)=2(1-i)22=-2i. 13.(2014 四川,文 13)设 f

9、(x)是定义在 r 上的周期为 2 的函数,当 x-1,1)时,f(x)=-42+ 2,-1 x 0,0 1,则f(32)= . 答案:1 解析:f(x)的周期为 2, f(32)=f(32-2)=f(-12). 又当 x-1,0)时,f(x)=-4x2+2, f(-12)=-4(-12)2+2=1. 14.(2014 四川,文 14)平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mr),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,则m= . 答案:2 解析:a=(1,2),b=(4,2), c=ma+b=(m+4,2m+2). 又c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角, c

10、os=cos, |=|,即|=|, +4+4+45|=4+16+4+420|, 5+85=8+2020, 10m+16=8m+20,m=2. 15.(2014 四川,文 15)以 a表示值域为 r 的函数组成的集合,b表示具有如下性质的函数 (x)组成的集合:对于函数 (x),存在一个正数 m,使得函数 (x)的值域包含于区间-m,m.例如,当 1(x)=x3,2(x)=sin x 时,1(x)a,2(x)b.现有如下命题: 设函数 f(x)的定义域为 d,则“f(x)a”的充要条件是“br,ad,f(a)=b”; 若函数 f(x)b,则 f(x)有最大值和最小值; 若函数 f(x),g(x)

11、的定义域相同,且 f(x)a,g(x)b,则 f(x)+g(x)b; 若函数 f(x)=aln(x+2)+2+1(x-2,ar)有最大值,则 f(x)b. 其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号) 答案: 解析:对于,若对任意的 br,都ad 使得 f(a)=b,则 f(x)的值域必为 r. 反之,f(x)的值域为 r,则对任意的 br,都ad 使得 f(a)=b,故正确. 对于,比如对 f(x)=sin x(-2,2)b,但它无最大值也无最小值. 对于,f(x)a,f(x)(-,+). g(x)b,存在正数 m 使得-mg(x)m, 故 f(x)+g(x)(-,+), f(x)+g(x)b

12、,正确. 5 / 8 对于,-122+112,当 a0 或 a0 时,aln x(-,+),f(x)均无最大值,若 f(x)有最大值,则 a=0,此时f(x)=2+1,f(x)b,故正确. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)(2014 四川,文 16)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数字依次记为 a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字 a,

13、b,c 不完全相同”的概率. 分析:(1)利用列举法分别求出基本事件空间和所求事件包含的基本事件,然后代入古典概型公式求解;注意该题抽取方式为有放回地抽取,故 a,b,c 可取相同的数字; (2)因为 a,b,c 不完全相同包含的基本事件较多,故可转化为其对立事件“a,b,c 相同”的概率求解. 解:(1)由题意,(a,b,c)所有的可能为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(

14、2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共 27 种. 设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 a, 则事件 a包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共 3 种. 所以 p(a)=327=19. 因此,“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”为事件 b, 则事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共 3 种. 所以 p(b)=1-p()=1-327=89.

15、因此,“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率为89. 17.(本小题满分 12 分)(2014 四川,文 17)已知函数 f(x)=sin(3 +4). (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 是第二象限角,f(3) =45cos( +4)cos 2,求 cos -sin 的值. 分析:(1)利用换元法,将 3x+4视为整体 t,即可将其转化为 y=sin t 的单调增区间,然后解不等式即得; (2)首先代入 f(3),然后化简等式,根据 sin +cos 是否为 0 进行分类讨论,即可求得 cos -sin 的值. 解:(1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为-2

16、+ 2k,2+ 2k,kz, 由-2+2k3x+42+2k,kz,得-4+23x12+23,kz, 所以,函数 f(x)的单调递增区间为-4+23,12+23,kz. (2)由已知,有 sin( +4) =45cos( +4)(cos2-sin2),所以,sin cos4+cos sin4=45(coscos4sinsin4)(cos2-sin2), 即 sin +cos =45(cos -sin )2(sin +cos ). 当 sin +cos =0 时,由 是第二象限角,知 =34+2k,kz. 此时,cos -sin =-2. 当 sin +cos 0 时,有(cos -sin )2=

17、54. 由 是第二象限角,知 cos -sin 0. 当 n1 时,+1= 2+1-=2d. 所以,数列bn是首项为21,公比为 2d的等比数列. (2)解:函数 f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为 y-22=(22ln 2)(x-a2), 它在 x 轴上的截距为 a2-1ln2. 由题意,a2-1ln2=2-1ln2. 解得 a2=2. 所以,d=a2-a1=1,an=n,bn=2n,an2=n4n. 于是,tn=14+242+343+(n-1)4n-1+n4n, 4tn=142+243+(n-1)4n+n4n+1. 因此,tn-4tn=4+42+4n-n4n+1 =4+1-43-

18、n4n+1=(1-3)4+1-43. 7 / 8 所以,tn=(3-1)4+1+49. 20.(本小题满分 13 分)(2014 四川,文 20)已知椭圆 c:22+22=1(ab0)的左焦点为 f(-2,0),离心率为63. (1)求椭圆 c 的标准方程; (2)设 o 为坐标原点,t 为直线 x=-3 上一点,过 f作 tf的垂线交椭圆于 p,q.当四边形 optq 是平行四边形时,求四边形 optq 的面积. 分析:(1)由焦点可求 c,然后利用离心率即可求 a,再求 b,即可求得方程; (2)由题意设 t(-3,m),然后利用 tfpq 求出 pq 的斜率,从而设出直线 pq 方程,与

19、椭圆 c 方程联立后,根据平行四边形 optq 的性质:对边平行且相等,即可求出 m 的值,最后将四边形 optq 的面积转化为opq 面积的两倍求解. 解:(1)由已知可得,=63,c=2,所以 a=6. 又由 a2=b2+c2,解得 b=2, 所以椭圆 c 的标准方程是26+22=1. (2)设 t 点的坐标为(-3,m), 则直线 tf的斜率 ktf=-0-3-(-2)=-m. 当 m0 时,直线 pq 的斜率 kpq=1,直线 pq 的方程是 x=my-2. 当 m=0 时,直线 pq 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式. 设 p(x1,y1),q(x2,y2),将直线

20、pq 的方程与椭圆 c 的方程联立,得 = -2,26+22= 1. 消去 x,得(m2+3)y2-4my-2=0, 其判别式 =16m2+8(m2+3)0. 所以 y1+y2=42+3,y1y2=-22+3, x1+x2=m(y1+y2)-4=-122+3. 因为四边形 optq 是平行四边形, 所以 = ,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2). 所以1+ 2=-122+3= -3,1+ 2=42+3= m. 解得 m= 1. 此时,四边形 optq 的面积 soptq=2sopq=212|of|y1-y2|=2(42+3)2-4-22+3=23. 21.(本小题满分 14 分)(20

21、14 四川,文 21)已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,br,e=2.718 28为自然对数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间0,1上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2a1. 分析:(1)先利用求导求出 g(x)的解析式,再求出其导函数 g(x),根据 a 的不同取值分类讨论 g(x)的符号变化,判断其单调性,从而求其最值; (2)先根据已知分析 f(x)在(0,1)上的单调性与零点个数,将其转化为 g(x)的零点个数,进而利用(1)中的结论判断 a 的范围及其零点所在区间,结合函数 g(x)在区间端点处的函数值及 f(1)=0 即可证得结论. 解:(1)由 f(x)=ex-ax2-bx-1,有 g(x)=f(x)=ex-2ax-b.所以 g(x)=ex-2a. 当 x0,1时,g(x)1-2a,e-2a. 当 a12时,g(x)0, 所以 g