2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(江西卷)理 (2)

1、江西理科1.(2012江西,理1)若集合a=-1,1,b=0,2,则集合z|z=x+y,xa,yb中的元素的个数为().a.5b.4c.3d.2c由已知,得z|z=x+y,xa,yb=-1,1,3,所以集合z|z=x+y,xa,yb中的元素的个数为3.2.(2012江西,理2)下列函数中,与函数y=定义域相同的函数为().a.y=b.y=c.y=xexd.y=d因为y=的定义域为x|x0,而y=的定义域为x|xk,kz,y=的定义域为x|x>0,y=xex的定义域为r,y=的定义域为x|x0,故d项正确.3.(2012江西,理3)若函数f(x)=则f(f(10)=().a.lg 101b

2、.2c.1d.0bf(10)=lg 10=1,f(f(10)=f(1)=12+1=2.4.(2012江西,理4)若tan +=4,则sin 2=().a.b.c.d.dtan +=4,+=4.=4,即=4.sin 2=.5.(2012江西,理5)下列命题中,假命题为().a.存在四边相等的四边形不是正方形b.z1,z2c,z1+z2为实数的充分必要条件是z1,z2互为共轭复数c.若x,yr,且x+y>2,则x,y至少有一个大于1d.对于任意nn+,+都是偶数b选项a中,四边相等的空间四边形显然不是正方形,故选项a为真命题;选项b中,z1,z2c,“z1+z2为实数”“z1,z2互为共轭复

3、数”,但“z1+z2为实数”“z1,z2互为共轭复数”,故选项b为假命题;选项c中,假设x,y均小于等于1,则x+y2,这与x+y>2相矛盾,故选项c为真命题;选项d中,+=2n,显然2n是偶数,故选项d为真命题.6.(2012江西,理6)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,则a10+b10=().a.28b.76c.123d.199c利用归纳法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47

4、,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.7.(2012江西,理7)在直角三角形abc中,点d是斜边ab的中点,点p为线段cd的中点,则=().a.2b.4c.5d.10d(用向量法)将abc的各边均赋予向量,则=-6=42-6=10.8.(2012江西,理8)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么

5、黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为().a.50,0b.30,20c.20,30d.0,50b设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩、y亩,总利润为z万元,则z关于x,y的关系式为z=4x×0.55-1.2x+6y×0.3-0.9y=x+0.9y,且x,y满足约束条件为画可行域,如图所示:设l0:y=-x,将l0上下平移可知,当直线z=x+0.9y过点a(30,20)(注:可联立方程组解得点a的坐标)时,z取最大值,因此当总利润z最大时,x=30,y=20,即黄瓜的种植面积为30亩,韭菜的种植面积为20亩.9.(2012江西,理9)样本(x1,x2,xn)的平均数为,样本(y

6、1,y2,ym)的平均数为().若样本(x1,x2,xn,y1,y2,ym)的平均数=+(1-),其中0<<,则n,m的大小关系为().a.n<mb.n>mc.n=md.不能确定a由已知,得x1+x2+xn=n,y1+y2+ym=m,=+(1-),整理,得(-)m+(-1)n=0,m+(-1)n=0,即=.又0<<,0<<1,0<<1.又n,mn+,n<m.10.(2012江西,理10)如右图,已知正四棱锥s -abcd所有棱长都为1,点e是侧棱sc上一动点,过点e垂直于sc的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记se=x(0<

7、;x<1),截面下面部分的体积为v(x),则函数y=v(x)的图像大致为().a设截面与sb,sd,ad,ab分别交于点m,n,p,f,取sc的中点q,连结bq,dq,如图,过m作mtab,vs-abcd=,由相似性知,vs-emn=x3,vs-tnm=x3,v棱柱tnm-apf=x2-2x3.(1)当0<x<时,vx=-x3-x3-x2+2x3=+x3-x2.vx'=x(3x-2),图象如图.由vx'的图象可知,当0<x<时,vx减小的速度先慢,再快,后慢.(2)当x<1时,vx=(1-x)3,vx'=-(1-x)2,图象如图.由v

8、x'的图象可知,当x<1时,vx减小的速度先快后慢,综合(1),(2)知选a.11.(2012江西,理11)计算定积分(x2+sin x)dx=. (x2+sin x)dx=x3-cos x=.12.(2012江西,理12)设数列an,bn都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=. 35an,bn均是等差数列,根据等差数列的性质a1+a5=2a3,b1+b5=2b3,即a5=2a3-a1,b5=2b3-b1,a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2×21-7=35.13.(2012江西,理13)椭圆+=1(a>b

9、>0)的左、右顶点分别是a,b,左、右焦点分别是f1,f2.若|af1|,|f1f2|,|f1b|成等比数列,则此椭圆的离心率为. 因为a,b为左、右顶点,f1,f2为左、右焦点,所以|af1|=a-c,|f1f2|=2c,|bf1|=a+c.又因为|af1|,|f1f2|,|bf1|成等比数列,所以(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,所以离心率e=.14.(2012江西,理14)下图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是. 3当t=0,k=1时,sin>sin,所以a=1,t=1,k=2;当t=1,k=2时,sin<sin,所以a=0,t

10、=1,k=3;当t=1,k=3时,sin<sin,所以a=0,t=1,k=4;当t=1,k=4时,sin>sin,所以a=1,t=2,k=5;当t=2,k=5时,sin>sin,所以a=1,t=3,k=6.此时k6,所以输出t=3.15.(2012江西,理15)(1)(坐标系与参数方程选做题)曲线c的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c的极坐标方程为. (2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|6的解集为. (1)=2cos (2)16.(2012江西,理16)已知数列an的前

11、n项和sn=-n2+kn(其中kn+),且sn的最大值为8.(1)确定常数k,并求an;(2)求数列的前n项和tn.解:(1)当n=kn+时,sn=-n2+kn取最大值,即8=sk=-k2+k2=k2,故k2=16,因此k=4,从而an=sn-sn-1=-n(n2).又a1=s1=,所以an=-n.(2)因为bn=,tn=b1+b2+bn=1+,所以tn=2tn-tn=2+1+-=4-=4-.17.(2012江西,理17)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c.已知a=,bsin-csin=a.(1)求证:b-c=;(2)若a=,求abc的面积.(1)证明:由bsin-csin=a,应

12、用正弦定理,得sin bsin-sin csin=sin a,sin b-sin c=,整理得sin bcos c-cos bsin c=1,即sin(b-c)=1,由于0<b,c<,从而b-c=.(2)解:b+c=-a=,因此b=,c=,由a=,a=,得b=2sin,c=2sin,所以abc的面积s=bcsin a=sinsin=cossin=.18.(2012江西,理18)如图,从a1(1,0,0),a2(2,0,0),b1(0,1,0),b2(0,2,0),c1(0,0,1),c2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点o两两相连构成一个“立体”,记该“立体”

13、的体积为随机变量v(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积v=0).(1)求v=0的概率;(2)求v的分布列及数学期望ev.解:(1)从6个点中随机选取3个点总共有=20种取法,选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有=12种,因此v=0的概率为p(v=0)=.(2)v的所有可能取值为0,因此v的分布列为v0p由v的分布列可得ev=0×+×+×+×+×=.19.(2012江西,理19)在三棱柱abc - a1b1c1中,已知ab=ac=aa1=,bc=4,点a1在底面abc的投影是线段bc的中点o.(1)证明在侧棱aa1上存在

14、一点e,使得oe平面bb1c1c,并求出ae的长;(2)求平面a1b1c与平面bb1c1c夹角的余弦值.(1)证明:连接ao,在aoa1中,作oeaa1于点e,因为aa1bb1,得oebb1,因为a1o平面abc,所以a1obc.因为ab=ac,ob=oc,得aobc,所以bc平面aa1o,所以bcoe,所以oe平面bb1c1c.又ao=1,aa1=,得ae=.(2)解:如图,分别以oa,ob,oa1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则a(1,0,0),b(0,2,0),c(0,-2,0),a1(0,0,2),由=得点e的坐标是,由(1)得平面bb1c1c的法向量是=,设平面a1b1

15、c的法向量n=(x,y,z),由得令y=1,得x=2,z=-1,即n=(2,1,-1),所以cos<,n>=,即平面bb1c1c与平面a1b1c的夹角的余弦值是.20.(2012江西,理20)已知三点o(0,0),a(-2,1),b(2,1),曲线c上任意一点m(x,y)满足|+|=·(+)+2.(1)求曲线c的方程;(2)动点q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲线c上,曲线c在点q处的切线为l,问:是否存在定点p(0,t)(t<0),使得l与pa,pb都相交,交点分别为d,e,且qab与pde的面积之比是常数?若存在,求t的值;若不存在,说明理由.解

16、:(1)由=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),|+|=,·(+)=(x,y)·(0,2)=2y,由已知得=2y+2,化简得曲线c的方程:x2=4y.(2)假设存在点p(0,t)(t<0)满足条件,则直线pa的方程是y=x+t,pb的方程是y=x+t.曲线c在q处的切线l的方程是y=x-,它与y轴的交点为f.由于-2<x0<2,因此-1<<1.当-1<t<0时,-1<<-,存在x0(-2,2),使得=,即l与直线pa平行,故当-1<t<0时不符合题意.当t-1时,-1<,1>,所以l与直线

17、pa,pb一定相交.分别联立方程组解得d,e的横坐标分别是xd=,xe=,则xe-xd=(1-t),又|fp|=-t,有spde=·|fp|·|xe-xd|=·,又sqab=·4·=,于是=·=·.对任意x0(-2,2),要使为常数,即只须t满足解得t=-1.此时=2,故存在t=-1,使得qab与pde的面积之比是常数2.21.(2012江西,理21)若函数h(x)满足h(0)=1,h(1)=0;对任意a0,1,有h(h(a)=a;在(0,1)上单调递减.则称h(x)为补函数.已知函数h(x)=(>-1,p>0)

18、.(1)判断函数h(x)是否为补函数,并证明你的结论;(2)若存在m0,1,使h(m)=m,称m是函数h(x)的中介元.记p=(nn+)时h(x)的中介元为xn,且sn=xi,若对任意的nn+,都有sn<,求的取值范围;(3)当=0,x(0,1)时,函数y=h(x)的图像总在直线y=1-x的上方,求p的取值范围.解:(1)函数h(x)是补函数.证明如下:h(0)=1,h(1)=0;对任意a0,1,有h(h(a)=h=a;令g(x)=(h(x)p,有g'(x)=,因为>-1,p>0,所以当x(0,1)时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递减,故函数h(x)在(0,1)上单调递减.(2)当p=(nn+)时,由h(x)=x,得+2-1=0.(*)()当=0时,中介元xn=;()当>-1且0时,由(*)得=(0,1)或=0,1;得中介元xn=.综合()(),对任意的>-1,中介元为xn=(nn+),于是,当>-1时,有sn=<,当n无限增大时,无限接近于0,sn无限接近于,故对任意的nn+,sn<成立等价于,即3,+).(3)当=0时,h