2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(课标全国Ⅱ)文

1、1 / 12 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国) 数学(文科) 第卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014 课标全国,文 1)已知集合 a=-2,0,2,b=x|x2-x-2=0,则 ab=( ). a. b.2 c.0 d.-2 答案:b 解析:易得 b=-1,2,则 ab=2,故选 b. 2.(2014 课标全国,文 2)1+3i1-i=( ). a.1+2i b.-1+2i c.1-2i d.-1-2i 答案:b 解析:1+3i1-i=(1+3i)(1+i)(1-i)(1+i)=-2+4i

2、2=-1+2i,故选 b. 3.(2014 课标全国,文 3)函数 f(x)在 x=x0处导数存在.若 p:f(x0)=0;q:x=x0是 f(x)的极值点,则( ). a.p 是 q 的充分必要条件 b.p 是 q 的充分条件,但不是 q的必要条件 c.p 是 q 的必要条件,但不是 q的充分条件 d.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 答案:c 解析:由于 qp,则 p 是 q 的必要条件; 而 pq,如 f(x)=x3在 x=0 处 f(0)=0,而 x=0 不是极值点,故选 c. 4.(2014 课标全国,文 4)设向量 a,b 满足|a+b|=10,|a-b|=6,则

3、 a b=( ). a.1 b.2 c.3 d.5 答案:a 解析:|a+b|=10,(a+b)2=10. |a|2+|b|2+2ab=10, |a-b|=6,(a-b)2=6, 2 / 12 |a|2+|b|2-2ab=6, 由-得 ab=1,故选 a. 5.(2014 课标全国,文 5)等差数列an的公差为 2,若 a2,a4,a8成等比数列,则an的前 n 项和 sn=( ). a.n(n+1) b.n(n-1) c.n(n+1)2 d.n(n-1)2 答案:a 解析:a2,a4,a8成等比数列, a42=a2a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14), 解得 a1=2. sn=

4、na1+n(n-1)2d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选 a. 6.(2014 课标全国,文 6)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm,高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ). a.1727 b.59 c.1027 d.13 答案:c 解析:由零件的三视图可知,该几何体为两个圆柱组合而成,如图所示. 切削掉部分的体积 v1= 32 6- 22 4- 32 2=20(cm3), 原来毛坯体积 v2= 32 6=54(cm3). 故所求比值为v1v2=20

5、54=1027. 7.(2014 课标全国,文 7)正三棱柱 abc-a1b1c1的底面边长为 2,侧棱长为3,d 为 bc 中点,则三棱锥 a-b1dc1的体积为( ). a.3 b.32 c.1 d.32 答案:c 3 / 12 解析:d 是等边abc 的边 bc 的中点,adbc. 又 abc-a1b1c1为正三棱柱, ad平面 bb1c1c. 又四边形 bb1c1c 为矩形, sdb1c1=12s四边形 bb1c1c=12 2 3 = 3. 又 ad=232= 3, va-b1dc1=13sb1dc1ad=13 3 3=1.故选 c. 8.(2014 课标全国,文 8)执行下面的程序框

6、图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 s=( ). a.4 b.5 c.6 d.7 答案:d 解析:第一次:12 成立,m=2,s=5,k=2; 第二次:22 成立,m=2,s=7,k=3; 第三次:32 不成立,输出 s=7. 故输出的 s=7. 9.(2014 课标全国,文 9)设 x,y 满足约束条件x + y-1 0,x-y-1 0,x-3y + 3 0,则 z=x+2y 的最大值为( ). a.8 b.7 c.2 d.1 答案:b 解析:画出可行域如图所示, 4 / 12 作直线 l0:y=-12x, 平移直线 l0,当直线过点 a(3,2)时,使得 z 最大, 此时,zmax

7、=3+22=7.故选 b. 10.(2014 课标全国,文 10)设 f 为抛物线 c:y2=3x 的焦点,过 f 且倾斜角为 30 的直线交 c 于 a,b 两点,则|ab|=( ). a.303 b.6 c.12 d.73 答案:c 解析:由已知得焦点 f 为(34,0), 则过 f 且倾斜角为 30 的直线方程为 y=33(x-34). 联立方程y =33(x-34),y2= 3x, 消去 y 得 x2-212x+916=0. 设 a(x1,y1),b(x2,y2),则 x1+x2=212. 又直线 ab 过焦点 f, |ab|=x1+x2+32=212+32=12.故选 c. 11.(

8、2014 课标全国,文 11)若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+)单调递增,则 k 的取值范围是( ). a.(-,-2 b.(-,-1 c.2,+) d.1,+) 答案:d 解析:由 f(x)=k-1x,又 f(x)在(1,+)上单调递增, 则 f(x)0 在 x(1,+)上恒成立, 即 k1x在 x(1,+)上恒成立. 又当 x(1,+)时,01xb0)的左、右焦点,m是 c 上一点且 mf2与 x 轴垂直,直线 mf1与 c 的另一个交点为 n. (1)若直线 mn 的斜率为34,求 c的离心率; (2)若直线 mn 在 y 轴上的截距为 2,且|mn|=5|f1n|,求

9、a,b. 分析:(1)是求椭圆离心率,关键是找到 a 与 c 之间的关系,已知 mf2x 轴,可用 a,b,c 表示出 m 点的坐标,由于直线 mn 的斜率已知,斜率是倾斜角的正切值,从而利用直角三角形中正切函数的定义找到 a,b,c 之间的一个关系,利用椭圆中 a2=b2+c2这一关系,消去 b,找到 a,c 之间的关系.对于(2),由于 mf2y 轴,o 是 f1f2的中点,联想到中位线定理,找到 a,b 的一个关系式,再由条件|mn|=5|f1n|出发,可把 n 点坐标用 a,b,c 表示出来,利用 n 点在椭圆上再找到 a,b,c 之间的另一关系式,解方程组可求得 a,b. 解:(1)

10、根据 c=a2-b2及题设知 m(c,b2a),2b2=3ac. 9 / 12 将 b2=a2-c2代入 2b2=3ac, 解得ca=12,ca=-2(舍去). 故 c 的离心率为12. (2)由题意,原点 o 为 f1f2的中点,mf2y 轴,所以直线 mf1与 y 轴的交点 d(0,2)是线段 mf1的中点,故b2a=4, 即 b2=4a. 由|mn|=5|f1n|得|df1|=2|f1n|. 设 n(x1,y1),由题意知 y10, 则2(-c-x1) = c,-2y1= 2,即x1= -32c,y1= -1. 代入 c 的方程,得9c24a2+1b2=1. 将及 c=a2-b2代入得9

11、(a2-4a)4a2+14a=1. 解得 a=7,b2=4a=28,故 a=7,b=27. 21.(本小题满分 12 分)(2014 课标全国,文 21)已知函数 f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2. (1)求 a; (2)证明:当 k0. 当 x0 时,g(x)=3x2-6x+1-k0,g(x)单调递增, g(-1)=k-10 时,令 h(x)=x3-3x2+4, 10 / 12 则 g(x)=h(x)+(1-k)xh(x). h(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+)单调递增,所以

12、g(x)h(x)h(2)=0, 所以 g(x)=0 在(0,+)没有实根. 综上,g(x)=0 在 r 有唯一实根,即曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点. 请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号. 22.(本小题满分 10 分)(2014 课标全国,文 22)选修 41:几何证明选讲 如图,p 是o 外一点,pa 是切线,a 为切点,割线 pbc 与o 相交于点 b,c,pc=2pa,d 为 pc 的中点,ad 的延长线交o 于点 e.证明: (1)be=ec; (2)ad de=2pb2. 分析:(1)欲证 be=e

13、c,由于在圆 o 中,可证be= ec,利用相等的圆周角所对的弧相等,则可证dac=bad,故应由条件转化为角的关系上去寻找,我们可以利用弦切角定理、对顶角相等、等腰三角形两底角相等等来处理.对于(2),由结论中出现 adde,而 d 是 ae与 bc 两弦之交点,联想到相交弦定理可得 adde=bddc.从而使问题转化为证明 2pb2=bddc,而 p,b,d,c 在一条直线上,且 d 又是 pc 的中点,而 pa=pd,pa 是切线,又联想到切割线定理得 pa2=pbpc,充分利用关系转化可得答案. 解:(1)连结 ab,ac,由题设知 pa=pd,故pad=pda. 因为pda=dac+

14、dca,pad=bad+pab,dca=pab, 所以dac=bad,从而be= ec. 因此 be=ec. (2)由切割线定理得 pa2=pbpc. 因为 pa=pd=dc,所以 dc=2pb,bd=pb. 由相交弦定理得 adde=bddc, 所以 adde=2pb2. 23.(本小题满分 10 分)(2014 课标全国,文 23)选修 44:坐标系与参数方程 11 / 12 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 c 的极坐标方程为 =2cos ,0,2. (1)求 c 的参数方程; (2)设点 d 在 c 上,c 在 d 处的切线与直线 l:y

15、=3x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定 d 的坐标. 分析:本题主要考查了直角坐标系中曲线的普通方程与极坐标方程、普通方程与参数方程之间的互化.第(1)问利用x = ,y = 代换可得 c 的普通方程,进而根据方程特点选择合理的参数得其参数方程.对于(2),由条件曲线c 在点 d 处的切线与 l 垂直,得 d 点与圆心的连线与 l 平行,从而与 l 的斜率相同,求得参数 t 的值,进而求得 d 点坐标. 解:(1)c 的普通方程为(x-1)2+y2=1(0y1). 可得 c 的参数方程为x = 1 + t,y = t(t 为参数,0t). (2)设 d(1+cos t,sin t).由(1)知 c 是以 c(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆,因为 c 在点 d 处的切线与 l 垂直,所以直线 cd 与 l 的斜率相同,tan t=3,t=3. 故 d 的直角坐标为(1 + 3,3),即(32,32). 24.(本小题满分 10 分)(2014 课标全国,文 24)选修 45:不等式选讲 设函数 f(x)=|x +1a|+|