2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(湖北卷)

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文史类)本试题卷共5页,22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2b铅笔将答题卡上试卷类型b后的方框涂黑.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题:本大题共10小题

2、,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015湖北,文1)i为虚数单位,i607=()a.-ib.ic.-1d.1答案:a解析:i607=i4×151+3=i3=-i.2.(2015湖北,文2)我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()a.134石b.169石c.338石d.1 365石答案:b解析:米内含谷的概率约为28254=14127,故这批米内夹谷约为14127×1 534169(石).3.(2015湖北,文3

3、)命题“x0(0,+),ln x0=x0-1”的否定是()a.x0(0,+),ln x0x0-1b.x0(0,+),ln x0=x0-1c.x(0,+),ln xx-1d.x(0,+),ln x=x-1答案:c解析:“x0m,p”的否定是“xm,􀱑p”.故选c.4.(2015湖北,文4)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是()a.x与y负相关,x与z负相关b.x与y正相关,x与z正相关c.x与y正相关,x与z负相关d.x与y负相关,x与z正相关答案:a解析:由y=-0.1x+1知y与x负相关,又因为y与z正相关,故z与x负相关.5.(

4、2015湖北,文5)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则()a.p是q的充分条件,但不是q的必要条件b.p是q的必要条件,但不是q的充分条件c.p是q的充分必要条件d.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件答案:a解析:l1,l2是异面直线l1,l2不相交,即pq;而l1,l2不相交l1,l2是异面直线,即qp.故p是q的充分条件,但不是q的必要条件.6.(2015湖北,文6)函数f(x)=4-|x|+lgx2-5x+6x-3的定义域为()a.(2,3)b.(2,4c.(2,3)(3,4d.(-1,3)(3,6答案:c解析:要使函数有意义,需4

5、-|x|0,x2-5x+6x-3>0,即-4x4,x>2且x3,即2<x<3或3<x4.故函数f(x)的定义域为(2,3)(3,4.7.(2015湖北,文7)设xr,定义符号函数sgn x=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,则()a.|x|=x|sgn x|b.|x|=xsgn |x|c.|x|=|x|sgn xd.|x|=xsgn x答案:d解析:由题意得|x|=x,x>0,0,x=0,-x,x<0,x|sgn x|=x,x>0,0,x=0,x,x<0,|x|x|sgn x|,即a项不成立;xsgn|x|=x,x>0

6、,0,x=0,x,x<0,|x|xsgn|x|,即b项不成立;|x|sgn x=|x|,x>0,0,x=0,-|x|,x<0,即|x|sgn x=x,x>0,0,x=0,x,x<0,|x|x|sgn x,即c项不成立;xsgn x=x,x>0,0,x=0,-x,x<0,|x|=xsgn x.故选d.8.(2015湖北,文8)在区间0,1上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y12”的概率,p2为事件“xy12”的概率,则()a.p1<p2<12b.p1<12<p2c.p2<12<p1d.12<p2<p1

7、答案:b解析:设点p的坐标为(x,y),由题意x,y0,1,所以点p在正方形oabc内,s正方形oabc=1×1=1.画出直线x+y=12与正方形交于d,e两点,画出曲线xy=12与正方形交于m,n两点.而rtoac的面积s=12.由图可知:soed<soac<s曲边形ocmna,所以p1<12<p2.故选b.9.(2015湖北,文9)将离心率为e1的双曲线c1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线c2,则()a.对任意的a,b,e1>e2b.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e

8、1<e2c.对任意的a,b,e1<e2d.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2答案:d解析:e1=1+ba2,e2=1+b+ma+m2,而b+ma+m-ba=(a-b)ma(a+m),当a>b时,(a-b)ma(a+m)>0,b+ma+m>ba,e1<e2;当a<b时,(a-b)ma(a+m)<0,b+ma+m<ba,e1>e2.故选d.10.(2015湖北,文10)已知集合a=(x,y)|x2+y21,x,yz,b=(x,y)|x|2,|y|2,x,yz,定义集合a􀱇b=(x1+x

9、2,y1+y2)|(x1,y1)a,(x2,y2)b,则a􀱇b中元素的个数为()a.77b.49c.45d.30答案:c解析:a=(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),(0,0).如图,b中元素共25个.(1)当x1=y1=0时,a􀱇b=b,共有25个元素.(2)当x1=0,y1=-1时,a􀱇b中的元素为(x2,y2-1),其中不在b中的元素有(-2,-3),(-1,-3),(0,-3),(1,-3),(2,-3)共5个.(3)当x1=0,y1=1时,a􀱇b中的元素为(x2,y2+1),其中不在b中的元素有(

10、-2,3),(-1,3),(0,3),(1,3),(2,3)共5个.(4)当x1=-1,y1=0时,a􀱇b中的元素为(x2-1,y2),其中不在b中的元素有(-3,-2),(-3,-1),(-3,0),(-3,1),(-3,2)共5个.(5)当x1=1,y1=0时,a􀱇b中的元素为(x2+1,y2),其中不在b中的元素有(3,-2),(3,-1),(3,0),(3,1),(3,2)共5个.综上,a􀱇b中的元素共有25+5×4=45(个).二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.11.(2015湖北,文11)已知向量oaa

11、b,|oa|=3,则oa·ob=. 答案:9解析:oa·ob=oa·(oa+ab)=|oa|2+oa·ab=|oa|2=9.12.(2015湖北,文12)设变量x,y满足约束条件x+y4,x-y2,3x-y0,则3x+y的最大值是. 答案:10解析:作出可行域如图所示,设z=3x+y,则y=-3x+z,故当直线y=-3x+z过点c时,z最大.由x+y=4,x-y=2,得c(3,1).故zmax=3×3+1=10,即3x+y的最大值是10.13.(2015湖北,文13)函数f(x)=2sin xsinx+2-x2的零点个数为.

12、 答案:2解析:f(x)=2sin xsinx+2-x2=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2.如图所示,在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=x2的图象,当x0时,两图象有2个交点,当x<0时,两图象无交点,综上,两图象有2个交点,即函数的零点个数为2.14.(2015湖北,文14)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间0.3,0.9内,其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a=; (2)在这些购物者中,消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为. 答案:(1

13、)3(2)6 000解析:(1)由频率分布直方图,得(1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2)×0.1=1,解得a=3;(2)消费金额在0.5,0.9的购物者的人数为:10 000×(1-1.5×0.1-2.5×0.1)=10 000×0.6=6 000.15.(2015湖北,文15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达b处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度cd= m. 答案:1006解析:如图

14、所示,由已知得bac=30°,ab=600 m,ebc=75°,cbd=30°.在abc中,acb=ebc-bac=45°,由bcsinbac=absinacb,得bc=ab·sinbacsinacb=600×1222=3002(m).在rtbcd中,cd=bc·tancbd=3002×33=1006(m).16.(2015湖北,文16)如图,已知圆c与x轴相切于点t(1,0),与y轴正半轴交于两点a,b(b在a的上方),且|ab|=2.(1)圆c的标准方程为; (2)圆c在点b处的切线在x轴上的截距为.

15、 答案:(1)(x-1)2+(y-2)2=2(2)-1-2解析:(1)由题意可设圆心c坐标为(1,b),再取ab中点为p,连接cp,cb,则bpc为直角三角形,得|bc|=r=2=b,故圆c的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=2.(2)由(1)得,c(1,2),b(0,2+1),则kbc=-1.圆c在点b处的切线方程为y=x+2+1,令y=0,得x=-2-1,即切线在x轴上的截距为-1-2.17.(2015湖北,文17)a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间0,1上的最大值记为g(a).当a=时,g(a)的值最小. 答案:22-2解析:当a0时,f(x)=|x2-

16、ax|=x2-ax在区间0,1上为增函数,当x=1时,f(x)取得的最大值为f(1)=1-a;当0<a<1时,f(x)=-x2+ax,0<x<a,x2-ax,ax<1在区间0,a2上递增,在a2,a上递减,在(a,1上递增,且fa2=a24,f(1)=1-a,a24-(1-a)=14(a2+4a-4),当0<a<22-2时,a24<1-a.当22-2a<1时,a241-a;当1a<2时,f(x)=-x2+ax在区间0,a2上递增,在区间a2,1上递减,当x=a2时,f(x)取得最大值fa2=a24;当a2时,f(x)=-x2+ax在区

17、间0,1上递增,当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=a-1.则g(a)=1-a,a<22-2,a24,22-2a<2,a-1,a2在(-,22-2)上递减,在22-2,+)上递增,即当a=22-2时,g(a)有最小值.三、解答题:本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本小题满分12分)(2015湖北,文18)某同学用“五点法”画函数f(x)=asin(x+)>0,|<2在某一个周期内的图象时,列表并填入部分数据,如下表:x+02322x356asin(x+)05-50(1)请将上述数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函

18、数f(x)的解析式.(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动6个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点o最近的对称中心.解:(1)根据表中已知数据,解得a=5,=2,=-6.数据补全如下表:x+02322x123712561312asin(x+)050-50且函数表达式为f(x)=5sin2x-6.(2)由(1)知f(x)=5sin2x-6,因此g(x)=5sin2x+6-6=5sin2x+6.因为y=sin x的对称中心为(k,0),kz,令2x+6=k,解得x=k2-12,kz,即y=g(x)图象的对称中心为k2-12,0,kz,其中离原点o最近的对称中心为-12,

19、0.19.(本小题满分12分)(2015湖北,文19)设等差数列an的公差为d,前n项和为sn,等比数列bn的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,s10=100.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)当d>1时,记cn=anbn,求数列cn的前n项和tn.解:(1)由题意有,10a1+45d=100,a1d=2,即2a1+9d=20,a1d=2,解得a1=1,d=2,或a1=9,d=29.故an=2n-1,bn=2n-1,或an=19(2n+79),bn=9·29n-1.(2)由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=2n-12n-1,于是tn=1+3

20、2+522+723+924+2n-12n-1,12tn=12+322+523+724+925+2n-12n.-可得12tn=2+12+122+12n-2-2n-12n=3-2n+32n,故tn=6-2n+32n-1.20.(本小题满分13分)(2015湖北,文20)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马p-abcd中,侧棱pd底面abcd,且pd=cd,点e是pc的中点,连接de,bd,be.(1)证明:de平面pbc,试判断四面体ebcd是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明

21、理由;(2)记阳马p-abcd的体积为v1,四面体ebcd的体积为v2,求v1v2的值.解:(1)因为pd底面abcd,所以pdbc.由底面abcd为长方形,有bccd,而pdcd=d,所以bc平面pcd.de平面pcd,所以bcde.又因为pd=cd,点e是pc的中点,所以depc.而pcbc=c,所以de平面pbc.由bc平面pcd,de平面pbc,可知四面体ebcd的四个面都是直角三角形,即四面体ebcd是一个鳖臑,其四个面的直角分别是bcd,bce,dec,deb.(2)由已知,pd是阳马p-abcd的高,所以v1=13sabcd·pd=13bc·cd·p

22、d;由(1)知,de是鳖臑d-bce的高,bcce,所以v2=13sbce·de=16bc·ce·de.在rtpdc中,因为pd=cd,点e是pc的中点,所以de=ce=22cd,于是v1v2=13bc·cd·pd16bc·ce·de=2cd·pdce·de=4.21.(本小题满分14分)(2015湖北,文21)设函数f(x),g(x)的定义域均为r,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(x)+g(x)=ex,其中e为自然对数的底数.(1)求f(x),g(x)的解析式,并证明:当x>0时,f(x

23、)>0,g(x)>1;(2)设a0,b1,证明:当x>0时,ag(x)+(1-a)<f(x)x<bg(x)+(1-b).解:(1)由f(x),g(x)的奇偶性及f(x)+g(x)=ex,得-f(x)+g(x)=e-x.联立解得f(x)=12(ex-e-x),g(x)=12(ex+e-x).当x>0时,ex>1,0<e-x<1,故f(x)>0.又由基本不等式,有g(x)=12(ex+e-x)>exe-x=1,即g(x)>1.(2)由(1)得f'(x)=12ex-1ex'=12ex+exe2x=12(ex+e-

24、x)=g(x),g'(x)=12ex+1ex'=12ex-exe2x=12(ex-e-x)=f(x),当x>0时,f(x)x>ag(x)+(1-a)等价于f(x)>axg(x)+(1-a)x,f(x)x<bg(x)+(1-b)等价于f(x)<bxg(x)+(1-b)x.设函数h(x)=f(x)-cxg(x)-(1-c)x,由,有h'(x)=g(x)-cg(x)-cxf(x)-(1-c)=(1-c)g(x)-1-cxf(x).当x>0时,若c0,由,得h'(x)>0,故h(x)在0,+)上为增函数,从而h(x)>h(

25、0)=0,即f(x)>cxg(x)+(1-c)x,故成立.若c1,由,得h'(x)<0,故h(x)在0,+)上为减函数,从而h(x)<h(0)=0,即f(x)<cxg(x)+(1-c)x,故成立.综合,得ag(x)+(1-a)<f(x)x<bg(x)+(1-b).22.(本小题满分14分)(2015湖北,文22)一种画椭圆的工具如图1所示,o是滑槽ab的中点,短杆on可绕o转动.长杆mn通过n处铰链与on连接,mn上的栓子d可沿滑槽ab滑动,且dn=on=1,mn=3.当栓子d在滑槽ab内作往复运动时,带动n绕o转动,m处的笔尖画出的椭圆记为c,以o为原点,ab所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角