2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(辽宁卷)文

1、1 / 13 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数学(文科) 第卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014 辽宁,文 1)已知全集 u=r,a=x|x0,b=x|x1,则集合u(ab)=( ). a.x|x0 b.x|x1 c.x|0 x1 d.x|0 x1 答案:d 解析:ab=x|x0 或 x1, u(ab)=x|0 xbc b.acb c.cba d.cab 答案:d 解析:0a=2-1320=1,b=log213log1212=1,cab.故选 d. 4.(2014 辽宁,文 4)已知 m

2、,n 表示两条不同直线, 表示平面,下列说法正确的是( ). a.若 m,n,则 mn b.若 m,n,则 mn c.若 m,mn,则 n d.若 m,mn,则 n 答案:b 2 / 13 解析:对 a:m,n 还可能异面、相交,故 a 不正确.对 c:n 还可能在平面 内,故 c 不正确.对 d:n 还可能在 内,故 d不正确.对 b:由线面垂直的定义可知正确. 5.(2014 辽宁,文 5)设 a,b,c 是非零向量,已知命题 p:若 a b=0,b c=0,则 a c=0;命题 q:若 ab,bc,则 ac.则下列命题中真命题是( ). a.pq b.pq c.(p)(q) d.p(q)

3、 答案:a 解析:对命题 p 中的 a 与 c 可能为共线向量,故命题 p 为假命题.由 a,b,c 为非零向量,可知命题 q 为真命题.故pq 为真命题.故选 a. 6.(2014 辽宁,文 6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 abcd 中,其中 ab=2,bc=1,则质点落在以 ab 为直径的半圆内的概率是( ). a.2 b.4 c.6 d.8 答案:b 解析:所求概率为半圆长方形=121221=4,故选 b. 7.(2014 辽宁,文 7)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). a.8-4 b.8-2 c.8- d.8-2 答案:c 解析:由几何体的三视图可知,原几何

4、体为棱长是 2 的正方体挖去两个底面半径为 1,高为 2 的14圆柱,故该几何体的体积是正方体的体积减去半个圆柱,即 v=23-12122=8-.故选 c. 8.(2014 辽宁,文 8)已知点 a(-2,3)在抛物线 c:y2=2px 的准线上,记 c 的焦点为 f,则直线 af的斜率为( ). 3 / 13 a.-43 b.-1 c.-34 d.-12 答案:c 解析:由已知,得准线方程为 x=-2, f的坐标为(2,0). 又 a(-2,3), 直线 af的斜率为 k=3-0-2-2=-34.故选 c. 9.(2014 辽宁,文 9)设等差数列an的公差为 d.若数列21为递减数列,则(

5、 ). a.d0 b.d0 d.a1d0 答案:d 解析:21为递减数列, 21+121= 21+1-1= 21(+1-)= 21d1. a1d0.故选 d. 10.(2014 辽宁,文 10)已知 f(x)为偶函数,当 x0 时,f(x)=cos ,0,12,2-1,(12, + ),则不等式 f(x-1)12的解集为( ). a.14,23 43,74 b.-34,-13 14,23 c.13,34 43,74 d.-34,-13 13,34 答案:a 解析:令 t=x-1. 当 t0,12时,t0,2, 由 f(t)12,即 cos t12, 得3t2,解得13t12. 当 t(12,

6、+ )时,由 f(t)12,即 2t-112, 解得12t34. 综上,t0,+)时,f(t)12的解集为13,34. 4 / 13 f(x)为偶函数,f(|x|)=f(x). 故 tr 时,由 f(t)12可得13|t|34, 即-34t-13或13t34. 由 f(x-1)12得-34x-1-13或13x-134, 解得14x23或43x74.故选 a. 11.(2014 辽宁,文 11)将函数 y=3sin(2 +3)的图象向右平移2个单位长度,所得图象对应的函数( ). a.在区间12,712上单调递减 b.在区间12,712上单调递增 c.在区间-6,3上单调递减 d.在区间-6,3

7、上单调递增 答案:b 解析:由题意知,平移后的函数 f(x) =3sin2(-2) +3 =3sin(2- +3)=-3sin(2 +3). 令 2k-22x+32k+2,kz, 解得 f(x)的递减区间为-512,k +12,kz. 令 2k+22x+32k+32(kz), 解得 f(x)的递增区间为 +12,k +712,kz.从而可判断选项 b 正确. 12.(2014 辽宁,文 12)当 x-2,1时,不等式 ax3-x2+4x+30 恒成立,则实数 a 的取值范围是( ). a.-5,-3 b.-6,-98 c.-6,-2 d.-4,-3 答案:c 解析:当 x-2,1时,不等式 a

8、x3-x2+4x+30 恒成立,即当 x-2,1时,不等式 ax3x2-4x-3(*)恒成立. (1)当 x=0 时,ar. (2)当 0 x1 时,由(*)得 a2-4x-33=14233恒成立. 设 f(x)=14233,则 f(x)=-12+83+94=-2+8x+94=-(-9)(+1)4. 当 0 x1 时,x-90,f(x)0, 5 / 13 f(x)在(0,1上单调递增. 当 0 x1 时,可知 af(x)max=f(1)=-6. (3)当-2x0 时,由(*)得 a14233. 令 f(x)=0,得 x=-1 或 x=9(舍). 当-2x-1 时,f(x)0,当-1x0,f(x

9、)在-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增. x-2,0)时,f(x)min=f(-1)=-1-4+3=-2.可知 af(x)min=-2. 综上所述,当 x-2,1时,实数 a 的取值范围为-6a-2.故选 c. 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.(2014 辽宁,文 13)执行下面的程序框图,若输入 n=3,则输出 t= . 答案:20 解析:由程序框图可知,当 i=03 时,i=1,s=1,t=1; 当 i=13 时,

10、i=2,s=3,t=4; 当 i=23 时,i=3,s=6,t=10; 当 i=33 时,i=4,s=10,t=20; 可知 i=43,退出循环. 故输入 n=3 时,输出 t=20. 14.(2014 辽宁,文 14)已知 x,y 满足约束条件2 + -2 0,-2 + 4 0,3-3 0,则目标函数 z=3x+4y 的最大值为 . 6 / 13 答案:18 解析:画出 x,y 满足约束条件的可行域如图阴影部分. 由3-3 = 0,-2 + 4 = 0得 = 2, = 3, a点坐标为(2,3).作直线 l0:3x+4y=0,可知当平移 l0到 l(l 过点 a)时,目标函数有最大值,此时z

11、max=32+43=18. 15.(2014 辽宁,文 15)已知椭圆 c:29+24=1,点 m 与 c 的焦点不重合,若 m 关于 c 的焦点的对称点分别为 a,b,线段 mn 的中点在 c 上,则|an|+|bn|= . 答案:12 解析: 如图,设 mn 的中点为 p,则由 f1是 am 的中点,可知|an|=2|pf1|. 同理可得可知|bn|=2|pf2|. |an|+|bn|=2(|pf1|+|pf2|). 根据椭圆定义得|pf1|+|pf2|=2a=6, |an|+|bn|=12. 16.(2014 辽宁,文 16)对于 c0,当非零实数 a,b 满足 4a2-2ab+b2-c

12、=0 且使|2a+b|最大时,1+2+4的最小值为 . 答案:-1 解析:要求|2a+b|的最大值,只需求(2a+b)2的最大值. 4a2-2ab+b2-c=0, 4a2+b2=c+2ab, (2a+b)2=4a2+b2+4ab=c+2ab+4ab=c+6abc+3(2+2)2,即(2a+b)24c,当且仅当 2a=b 时,取得等号,即(2a+b)2取到最大值, 即 2a=b 时,|2a+b|取到最大值. 7 / 13 把 2a=b 代入 4a2-2ab+b2-c=0,可得 c=4a2. 1+2+4=1+22+442=2+12= (1+ 1)2-1. 当1=-1 时,1+2+4取到最小值-1.

13、 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)(2014 辽宁,文 17)在abc 中,内角 a,b,c 的对边分别为 a,b,c,且 ac.已知 =2,cos b=13,b=3,求: (1)a 和 c 的值; (2)cos(b-c)的值. 分析:(1)由数量积定义及余弦定理,可列出 a,c 的方程组,解方程组即可求出 a,c 的值.(2)由已知及正弦定理可分别求出 b,c 角的正、余弦值,再利用两角差的余弦公式可求出 cos(b-c)的值. 解:(1)由 =2 得 cacos b=2. 又 cos b=13,所以 ac=6. 由余弦定理,得 a2+c2

14、=b2+2accos b. 又 b=3,所以 a2+c2=9+22=13. 解 = 6,2+ 2= 13,得 a=2,c=3 或 a=3,c=2. 因为 ac,所以 a=3,c=2. (2)在abc 中,sin b=1-cos2b =1-(13)2=223, 由正弦定理,得 sin c=sin b=23223=429. 因为 a=bc,所以 c 为锐角, 因此 cos c=1-sin2c =1-(429)2=79. 于是 cos(b-c)=cos bcos c+sin bsin c =1379+223429=2327. 18.(本小题满分 12 分)(2014 辽宁,文 18)某大学餐饮中心为

15、了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示: 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 60 20 80 8 / 13 北方学生 10 10 20 合计 70 30 100 (1)根据表中数据,问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”; (2)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品,现在从这 5 名学生中随机抽取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率. 附:2=(1122-1221)21+2+1+2. p(2k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 分析:(1

16、)由表中数据及 2公式可求出 2值,再与 3.841 比较即可.(2)可用列举法写出基本事件总数及“3 人中至多有 1 人喜欢甜品”的基本事件数.再由古典概型的概率公式计算即可. 解:(1)将 22 列联表中的数据代入公式计算,得 2=(1122-1221)21+2+1+2=100(6010-2010)270308020=100214.762. 由于 4.7623.841, 所以有 95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异. (2)从 5 名数学系学生中任取 3 人的一切可能结果所组成的基本事件空间=(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a

17、1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3). 其中 ai表示喜欢甜品的学生,i=1,2,bj表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,3. 由 10 个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的. 用 a表示“3 人中至多有 1 人喜欢甜品”这一事件,则a=(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3). 事件 a是由 7 个基本事件组成,因而 p(a)=710. 19.(本小题满分 12

18、分)(2014 辽宁,文 19)如图,abc 和bcd 所在平面互相垂直,且ab=bc=bd=2,abc=dbc=120 ,e,f,g 分别为 ac,dc,ad 的中点. (1)求证:ef平面 bcg; (2)求三棱锥 d-bcg 的体积. 附:锥体的体积公式 v=13sh,其中 s 为底面面积,h 为高. 9 / 13 分析:(1)由三角形全等证出 ac=dc,再由等腰三角形的性质(三线合一)得线线垂直,最后由线面垂直的判定定理及推论可证得结论.(2)由面面垂直得线面垂直,从而确定出点到平面的距离,即三棱锥 g-bcd 的高,由等体积法可求三棱锥 d-bcg 的体积. (1)证明:由已知得a

19、bcdbc,因此 ac=dc. 又 g 为 ad 中点,所以 cgad; 同理 bgad;因此 ad面 bgc. 又 efad,所以 ef面 bcg. (2)解:在平面 abc 内,作 aocb,交 cb延长线于 o. 由平面 abc平面 bcd,知 ao面 bdc. 又 g 为 ad 中点,因此 g 到平面 bdc 距离 h 是 ao 长度的一半. 在aob中,ao=absin 60 =3, 所以 vd-bcg=vg-bcd=13sdbch=1312bdbcsin 120 32=12. 20.(本小题满分 12 分)(2014 辽宁,文 20)圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴、y

20、轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为 p(如图). (1)求点 p的坐标; (2)焦点在 x 轴上的椭圆 c 过点 p,且与直线 l:y=x+3交于 a,b两点.若pab的面积为 2,求 c 的标准方程. 分析:(1)设出切点 p 的坐标,用此坐标表示三角形的面积.又由切点 p在圆上,利用基本不等式求最值的方法,可求出点 p的坐标.(2)设出椭圆 c 的标准方程,由点 p在椭圆 c 上,及直线 l 与 c 相交于 a,b两点且 spab=2,可求出 a,b 的值. 解:(1)设切点坐标为(x0,y0)(x00,y00), 则切线斜率为-00,切线方程为 y-y0=-00(x-x

21、0), 即 x0 x+y0y=4, 此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为 s=124040=800, 由02+ 02=42x0y0知当且仅当 x0=y0=2时 x0y0有最大值,即 s 有最小值,因此点 p的坐标为(2,2). 10 / 13 (2)设 c 的标准方程为22+22=1(ab0),点 a(x1,y1),b(x2,y2). 由点 p在 c 上知22+22=1, 并由22+22= 1, = + 3, 得 b2x2+43x+6-2b2=0, 又 x1,x2是方程的根, 因此1+ 2= -432,12=6-222, 由 y1=x1+3,y2=x2+3, 得|ab|=2|x1-

22、x2|=248-242+842.由点 p到直线 l 的距离为32及 spab=1232|ab|=2 得 b4-9b2+18=0,解得 b2=6 或 3,因此 b2=6,a2=3(舍)或 b2=3,a2=6.从而所求 c的方程为26+23=1. 21.(本小题满分 12 分)(2014 辽宁,文 21)已知函数 f(x)=(x-cos x)-2sin x-2,g(x)=(x-)1-sin1+sin+2-1,证明: (1)存在唯一 x0(0,2),使 f(x0)=0; (2)存在唯一 x1(2,),使 g(x1)=0,且对(1)中的 x0,有 x0+x1. 分析:(1)利用求导数方法判断函数 f(

23、x)在(0,2)上的单调性,再利用函数零点的存在性定理进行判断,证出结论.(2)先化简函数 g(x)在2,上的解析式,再用求导法判断函数单调性,结合函数零点的存在性定理,即可证明. 证明:(1)当 x(0,2)时,f(x)=+sin x-2cos x0, 所以 f(x)在(0,2)上为增函数, 又 f(0)=-20, 所以存在唯一 x0(0,2),使 f(x0)=0. (2)当 x2,时,化简得 g(x)=(-x)cos1+sin+2-1. 令 t=-x,记 u(t)=g(-t)=-cos1+sin2t+1,t0,2, 则 u(t)=()(1+sin). 由(1)得,当 t(0,x0)时,u(

24、t)0. 在(0,2)上 u(t)为增函数, 11 / 13 由 u(2)=0 知,当 t0,2)时,u(t)0, 所以 u(t)在0,2)上无零点. 在(0,x0)上 u(t)为减函数,由 u(0)=1 及 u(x0)0 知存在唯一 t0(0,x0),使 u(t0)=0. 于是存在唯一 t0(0,2),使 u(t0)=0. 设 x1=-t0(2,), 则 g(x1)=g(-t0)=u(t0)=0, 因此存在唯一的 x1(2,),使 g(x1)=0, 由于 x1=-t0,t0. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用 2b 铅笔在答题卡上把所

25、选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)(2014 辽宁,理 22)选修 41:几何证明选讲 如图,ep交圆于 e,c 两点,pd 切圆于 d,g 为 ce上一点且 pg=pd,连接 dg 并延长交圆于点 a,作弦 ab垂直 ep,垂足为 f. (1)求证:ab为圆的直径; (2)若 ac=bd,求证:ab=ed. 分析:(1)证明 ab 是直径,即证明bda=90 .由pfa=90 ,从而寻求bda=pfa 就可证明. (2)要证 ab=de,即证 de 为直径,连 dc,即证dce=90 ,从而只需证明 abdc 即可. 证明:(1)因为 pd=pg,所以pdg=pg

26、d. 由于 pd 为切线,故pda=dba. 又由于pgd=ega,故dba=ega, 所以dba+bad=ega+bad,从而bda=pfa. 由于 afep, 所以pfa=90 . 于是bda=90 .故 ab 是直径. 12 / 13 (2)连接 bc,dc. 由于 ab是直径, 故bda=acb=90 . 在 rtbda与 rtacb 中,ab=ba,ac=bd, 从而 rtbdartacb.于是dab=cba. 又因为dcb=dab,所以dcb=cba, 故 dcab. 由于 abep,所以 dcep,dce 为直角. 于是 ed 为直径.由(1)得 ed=ab. 23.(本小题满分 10 分)(2014 辽宁,理 23)选修 44:坐标系与参数方程 将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 c. (1)写出 c 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 c 的交点为 p1,p2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段 p1p2的中点且与 l 垂