2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(天津卷)

1、1 / 9 2015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 天津文科数学 本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟.第卷 1 至 2 页,第卷 3至 5 页. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第卷 注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 2.本卷共 8 小题,每小题 5 分,共

2、 40 分. 参考公式: 如果事件 a,b互斥,那么 p(ab)=p(a)+p(b). 柱体的体积公式 v=sh,其中 s表示柱体的底面面积,h 表示柱体的高. 锥体的体积公式 v=13sh,其中 s表示锥体的底面面积,h 表示锥体的高. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015 天津,文 1)已知全集 u=1,2,3,4,5,6,集合 a=2,3,5,集合 b=1,3,4,6,则集合 aub=( ) a.3 b.2,5 c.1,4,6 d.2,3,5 答案:b 解析:ub=2,5,a=2,3,5,aub=2,5.故选 b. 2.(2015 天津,文 2

3、)设变量 x,y满足约束条件 2 0, 2 0, + 2 8 0,则目标函数 z=3x+y 的最大值为( ) a.7 b.8 c.9 d.14 答案:c 解析:画出题中约束条件满足的可行域,如图中阴影所示. 2 / 9 目标函数 z=3x+y 可化为 y=-3x+z,平移目标函数线当其过点 a时,z 取最大值. 由 = 2, + 2 8 = 0得 = 2, = 3.所以点 a的坐标为(2,3),zmax=32+3=9. 3.(2015 天津,文 3)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为( ) a.2 b.3 c.4 d.5 答案:c 解析:第一次循环,得 i=1,s=9,不满

4、足 s1,进入循环体; 第二次循环,得 i=2,s=7,不满足 s1,进入循环体; 第三次循环,得 i=3,s=4,不满足 s1,进入循环体; 第四次循环,得 i=4,s=0,满足 s1,终止循环,输出 i=4. 4.(2015 天津,文 4)设 xr,则“1x2”是“|x-2|1”的 ( ) a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 答案:a 解析:由|x-2|1 解得 1x3.因为“1x2”能推出“1x3”,“1x3”推不出“1x2”,所以“1x2”是“|x-2|0,b0)的一个焦点为 f(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3 相切

5、,则双曲线的方程为( ) a.29213=1 b.21329=1 c.23-y2=1 d.x2-23=1 答案:d 解析:由题意知,双曲线2222=1(a0,b0)的渐近线方程为 y=x. 因为该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3 相切,所以2|1+()2= 3,解得 b2=3a2. 又因为 c2=a2+b2=4,所以 a2=1,b2=3. 3 / 9 故所求双曲线的方程为 x2-23=1. 6.(2015 天津,文 6) 如图,在圆 o 中,m,n 是弦 ab 的三等分点,弦 cd,ce分别经过点 m,n.若 cm=2,md=4,cn=3,则线段 ne的长为( ) a.83 b.3 c

6、.103 d.52 答案:a 解析:由相交弦定理,得 = , = . 因为 m,n 是弦 ab的三等分点, 所以 am=mn=nb,mb=an. 所以 am mb=an nb. 所以 cm md=cn ne,即 24=3 ne,解得 ne=83. 7.(2015 天津,文 7)已知定义在 r 上的函数 f(x)=2|x-m|-1(m 为实数)为偶函数.记 a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c 的大小关系为( ) a.abc b.cab c.acb d.cba 答案:b 解析:f(-x)=2|-x-m|-1=2|x+m|-1,且 f(x)为偶函数, 2|x

7、+m|-1=2|x-m|-1 对任意的 xr 恒成立,解得 m=0. f(x)=2|x|-1,且 f(x)在0,+)上为增函数. a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),c=f(2m)=f(0),且 0log23log25, f(0)f(log23)f(log25),即 ca 2,函数 g(x)=3-f(2-x),则函数 y=f(x)-g(x)的零点个数为 ( ) a.2 b.3 c.4 d.5 答案:a 4 / 9 解析:因为 f(x)=2 + , 2, 所以 f(2-x)=2 + (2 ),2 2 2, 2, f(x)+f(2-x)=2+ + 2, 2, 所以函数

8、y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)=2+ 1, 2. 其图象如图所示. 显然函数图象与 x 轴有 2 个交点,故函数有 2 个零点. 第卷 注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共 12 小题,共 110 分. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.(2015 天津,文 9)i 是虚数单位,计算12i2+i的结果为 . 答案:-i 解析:12i2+i=(12i)(2i)(2+i)(2i)=2i4i25=5i5=-i. 10.(2015 天津,文 10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.

9、 答案:83 解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,左、右两边是两个相同的圆锥,底面半径为 1,高为 1;中间是一个圆柱,底面半径为 1,高为 2,所以该几何体的体积 v=213121+122=23+2=83. 5 / 9 11.(2015 天津,文 11)已知函数 f(x)=axln x,x(0,+),其中 a 为实数,f(x)为 f(x)的导函数,若 f(1)=3,则 a 的值为 . 答案:3 解析:因为 f(x)=axln x,所以 f(x)=aln x+ax1=a(ln x+1).由 f(1)=3 得 a(ln 1+1)=3,所以 a=3. 12.(2015 天津,文 12)已知

10、a0,b0,ab=8,则当 a 的值为 时,log2a log2(2b)取得最大值. 答案:4 解析:由题意知 log2a log2(2b)log2+log2(2)22= log2(2)22= (log2162)2=4, 当且仅当 log2a=log2(2b),即 a=2b 时等号成立.又因为 ab=8,且 a0,所以 a=4. 13.(2015 天津,文 13)在等腰梯形 abcd 中,已知 abdc,ab=2,bc=1,abc=60 .点 e和 f 分别在线段 bc 和dc 上,且 =23 , =16 ,则 的值为 . 答案:2918 解析: 由平面几何知识可求得 cd=1. 由 =23

11、, =16 ,得 =( + ) ( + ) =( +23 ) ( +16 ) =( +23 ) ( +112 ) = +112 2+23 +118 =| | | |cos 60 +11222+23| | | |cos 60 +118| | | |cos 120 =2112+13+2311121181212 =53118 =2918. 14.(2015 天津,文 14)已知函数 f(x)=sin x+cos x(0),xr.若函数 f(x)在区间(-,)内单调递增,且函数 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称,则 的值为 . 答案:2 解析:f(x)=sin x+cos x=2sin( +4)

12、,由 2k-2x+42k+2,kz,解得234x2+4,kz,即 f(x)的单调递增区间是234,2+4(kz), 6 / 9 而 f(x)在区间(-,)内单调递增,所以234 ( z),2+4 ( z),解得2 2 +34( z),2 2 +4( z). 因为 20,所以只能取 k=0,这时有 00.由已知,有22 3 = 2,4 3 = 10,消去 d,整理得 q4-2q2-8=0.又因为 q0,解得 q=2,所以 d=2. 所以数列an的通项公式为 an=2n-1,nn*;数列bn的通项公式为 bn=2n-1,nn*. (2)由(1)有 cn=(2n-1) 2n-1,设cn的前 n 项和

13、为 sn,则 sn=120+321+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-1, 2sn=121+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n, 上述两式相减,得-sn=1+22+23+2n-(2n-1)2n=2n+1-3-(2n-1)2n=-(2n-3)2n-3, 所以,sn=(2n-3) 2n+3,nn*. 19.(本小题满分 14 分)(2015 天津,文 19)已知椭圆22+22=1(ab0)的上顶点为 b,左焦点为 f,离心率为55. (1)求直线 bf的斜率; (2)设直线 bf与椭圆交于点 p(p异于点 b),过点 b且垂直于 bp的直线与椭圆交于点 q(q 异

14、于点 b),直线 pq 与y 轴交于点 m,|pm|=|mq|. 求 的值; 若|pm|sinbqp=759,求椭圆的方程. 解:(1)设 f(-c,0).由已知离心率=55及 a2=b2+c2,可得 a=5c,b=2c. 又因为 b(0,b),f(-c,0),故直线 bf的斜率 k=00()=2=2. (2)设点 p(xp,yp),q(xq,yq),m(xm,ym). 由(1)可得椭圆的方程为252+242=1,直线 bf的方程为 y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去 y,整理得 3x2+5cx=0,解得 xp=-53. 因为 bqbp,所以直线 bq 的方程为 y=-12x+2c

15、,与椭圆方程联立,消去 y,整理得 21x2-40cx=0,解得 xq=4021. 又因为 =|,及 xm=0,可得 =|=|=78. 由有|=78,所以|+|=77+8=715,即|pq|=157|pm|.又因为|pm|sinbqp=759,所以|bp|=|pq|sinbqp=157|pm|sinbqp=553.又因为 yp=2xp+2c=-43c,所以|bp|=(0 +53)2+ (2 +43)2=553c,因此553c=553,得c=1. 所以,椭圆方程为25+24=1. 20.(本小题满分 14 分)(2015 天津,文 20)已知函数 f(x)=4x-x4,xr. (1)求 f(x)

16、的单调区间; 9 / 9 (2)设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 p,曲线在点 p 处的切线方程为 y=g(x),求证:对于任意的实数 x,都有 f(x)g(x); (3)若方程 f(x)=a(a 为实数)有两个实数根 x1,x2,且 x10,即 x1 时,函数 f(x)单调递增; 当 f(x)1 时,函数 f(x)单调递减. 所以,f(x)的单调递增区间为(-,1),单调递减区间为(1,+). (2)证明:设点 p的坐标为(x0,0),则 x0=413,f(x0)=-12.曲线 y=f(x)在点 p处的切线方程为 y=f(x0)(x-x0),即g(x)=f(x0)(x-x0).令函数 f(x)=f(x)-g(x),即 f(x)=f(x)-f(x0)(x-x0),则 f(x)=f(x)-f(x0). 由于 f(x)=-4x3+4 在(-,+)上单调递减,故 f(x)在(-,+)上单调递减.又因为 f(x0)=0,所以当 x(-,x0)时,f(x)0,当 x(x0,+)时,f(x)0,所以 f(x)在(-,x0)上单调递增,在(x0,+)上单调递减,所以对于任意的实数x,f(x)f(x0)=0,即对于任意的实数 x,都有 f(x)g(x). (3)证明:由(2)知 g(x)=-12(x-413).设方程 g(x)=