2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(安徽卷) (2)

1、1 / 6 2015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 安徽理科数学 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷第 1 至第 2 页,第卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。 2.答第卷时,每小题选出答案后,用 2b 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答第卷时,必须使

2、用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。 参考公式: 如果事件 a与 b互斥,那么 p(a+b)=p(a)+p(b). 标准差 s=1(1 )2+ (2 )2+ + ( )2,其中 =1(x1+x2+xn). 第卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

3、目要求的. 1.(2015 安徽,理 1)设 i 是虚数单位,则复数2i1i在复平面内所对应的点位于( ) a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限 答案:b 解析:由复数除法的运算法则可得,2i1i=2i(1+i)(1i)(1+i)=2i22=-1+i,对应点为(-1,1)在第二象限.故选 b. 2.(2015 安徽,理 2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 ( ) a.y=cos x b.y=sin x c.y=ln x d.y=x2+1 答案:a 解析:y=cos x 是偶函数,其图象与 x 轴有无数个交点,因此选项 a 满足要求;y=sin x 为奇函数;y=ln x

4、 既不是奇函数也不是偶函数;y=x2+1 无零点,均不满足要求.故选 a. 3.(2015 安徽,理 3)设 p:1x1,则 p 是 q 成立的 ( ) a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件 答案:a 解析:由 2x1,得 x0,所以由 p:1x0 成立,而由 q:x0 不能得到 p:1x0,b0,c0 b.a0,c0 c.a0,c0 d.a0,b0,c0,因此 b0.函数 f(x)的定义域为(-,-c)(-c,+),因此-c0,c0.而当 x+时,f(x)0,可得 a0,故选 c. 10.(2015 安徽,理 10)已知函数 f(x)=asin(

5、x+)(a, 均为正的常数)的最小正周期为 ,当 x=23时,函数 f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( ) a.f(2)f(-2)f(0) b.f(0)f(2)f(-2) c.f(-2)f(0)f(2) d.f(2)f(0)0,f(2)=asin(4 +6) =32asin 4+2cos 40,f(-2)=asin(4 +6)=-32asin 4+2cos 4. 因为 f(2)-f(-2)=3asin 40, 所以 f(2)f(-2). 又 f(-2)-f(0)=-asin(4 6) 2 =-asin(4 6) +12, 因为 4-6+6sin( +6)=-12, 即 sin(4 6)

6、+120, 所以 f(-2)f(0). 综上,f(2)f(-2)0.005,继续循环,a=1+11+32=1+25=75,n=3;此时|a-1.414|0.005,继续循环,a=1+11+75=1+512=1712,n=4;此时|a-1.414|0.0032;a=0,b=2;a=1,b=2. 4 / 6 答案: 解析:方程仅有一个实根,则函数 f(x)=x3+ax+b 的图象与 x 轴只有一个公共点.当 a=-3 时,f(x)=x3-3x+b,f(x)=3x2-3,由 f(x)=0,得 x= 1,易知 f(x)在 x=-1 处取极大值,在 x=1 处取极小值.当 b=-3 时,f(-1)=-1

7、0,f(1)=-50,f(1)=0,图象与 x 轴有 2 个公共点,不满足题意,故不正确;当 b2 时,f(-1)=2+b4,f(1)=-2+b0,满足题意,故正确;当 a=0 和 a=1 时,f(x)=3x2+a0,f(x)在 r 上为增函数,所以函数f(x)=x3+ax+b 的图象与 x 轴只有一个交点,故也满足题意. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. 16.(本小题满分 12 分)(2015 安徽,理 16)在abc 中,a=34,ab=6,ac=32,点 d 在 bc 边上,ad=bd,求 ad 的长.

8、 解:设abc 的内角 a,b,c 所对边的长分别是 a,b,c. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosbac=(32)2+62-2326cos34=18+36-(-36)=90, 所以 a=310. 又由正弦定理得 sin b=sin=3310=1010, 由题设知 0b(21)21(2)2=222=1, 所以 tn(12)212231=14. 综上可得对任意的 nn*,均有 tn14. 19.(本小题满分 13 分)(2015 安徽,理 19) 5 / 6 如图所示,在多面体 a1b1d1dcba 中,四边形 aa1b1b,add1a1,abcd 均为正方形,e为 b1d1的中点,

9、过 a1,d,e的平面交 cd1于 f. (1)证明:efb1c; (2)求二面角 e-a1d-b1的余弦值. (1)证明:由正方形的性质可知 a1b1abdc,且 a1b1=ab=dc,所以四边形 a1b1cd 为平行四边形. 从而 b1ca1d,又 a1d面 a1de,b1c面 a1de,于是 b1c面 a1de.又 b1c面 b1cd1,面 a1de面b1cd1=ef,所以 efb1c. (2)解: 因为四边形 aa1b1b,add1a1,abcd 均为正方形,所以 aa1ab,aa1ad,abad 且 aa1=ab=ad,以 a 为原点,分别以 , ,1 为 x 轴、y 轴和 z 轴单

10、位正向量建立如图所示的空间直角坐标系,可得点的坐标a(0,0,0),b(1,0,0),d(0,1,0),a1(0,0,1),b1(1,0,1),d1(0,1,1),而 e点为 b1d1的中点,所以 e点的坐标为(0.5,0.5,1). 设面 a1de的法向量 n1=(r1,s1,t1),而该面上向量1 =(0.5,0.5,0),1 =(0,1,-1),由 n11 ,n11 得 r1,s1,t1应满足的方程组0.51+ 0.51= 0,1 1= 0, (-1,1,1)为其一组解,所以可取 n1=(-1,1,1). 设面 a1b1cd 的法向量 n2=(r2,s2,t2),而该面上向量11 =(1

11、,0,0),1 =(0,1,-1),由此同理可得 n2=(0,1,1). 所以结合图形知二面角 e-a1d-b1的余弦值为|12|1|2|=232=63. 20.(本小题满分 13 分)(2015 安徽,理 20)设椭圆 e的方程为22+22=1(ab0),点 o 为坐标原点,点 a的坐标为(a,0),点 b的坐标为(0,b),点 m 在线段 ab上,满足|bm|=2|ma|,直线 om 的斜率为510. (1)求 e的离心率 e; (2)设点 c 的坐标为(0,-b),n 为线段 ac 的中点,点 n 关于直线 ab的对称点的纵坐标为72,求 e 的方程. 解:(1)由题设条件知,点 m 的

12、坐标为(23,13),又 kom=510,从而2=510, 进而得 a=5b,c=2 2=2b,故 e=255. (2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线 ab的方程为5+=1,点 n 的坐标为(52,12). 设点 n 关于直线 ab的对称点 s 的坐标为(1,72),则线段 ns 的中点 t 的坐标为(54 +12,14 +74). 又点 t 在直线 ab上,且 kns kab=-1,从而有 54+125+14+74= 1,72+12152= 5,解得 b=3. 所以 a=35,故椭圆 e的方程为245+29=1. 21.(本小题满分 13 分)(2015 安徽,理 21)设函数 f(

13、x)=x2-ax+b. (1)讨论函数 f(sin x)在(2,2)内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值; (2)记 f0(x)=x2-a0 x+b0,求函数|f(sin x)-f0(sin x)|在2,2上的最大值 d; (3)在(2)中,取 a0=b0=0,求 z=b-24满足条件 d1 时的最大值. 解:(1)f(sin x)=sin2x-asin x+b=sin x(sin x-a)+b,-2x2. f(sin x)=(2sin x-a)cos x,-2x2. 6 / 6 因为-2x0,-22sin x2. a-2,br 时,函数 f(sin x)单调递增,无极值. a2,br 时,函数 f(sin x)单调递减,无极值. 对于-2a2,在(2,2)内存在唯一的 x0,使得 2sin x0=a. -2xx0时,函数 f(sin x)单调递减; x0 x2时,函数 f(sin x)单调递增. 因此,-2a2,br 时,函数 f(sin x)在 x0处有极小值 f(sin x0)=f(2)=b-24. (2)-2x2时,|f(sin x)-f0(sin x)|=|(a0-a)sin x+b-b0|a-a0|+|b-b0|