2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(湖南卷) (2)

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试湖南文科数学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时量120分钟,满分150分.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015湖南,文1)已知(1-i)2z=1+i(i为虚数单位),则复数z=()a.1+ib.1-ic.-1+id.-1-i答案:d解析:由已知得z=(1-i)21+i=-2i1+i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-2-2i2=-1-i.2.(2015湖南,文2)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差

2、编为135号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是()a.3b.4c.5d.6答案:b解析:依题意,应将35名运动员的成绩由好到差排序后分为7组,每组5人.然后从每组中抽取1人,其中成绩在区间139,151上的运动员恰好是第2,3,4,5组,因此,成绩在该区间上的运动员人数是4.3.(2015湖南,文3)设xr,则“x>1”是“x3>1”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案:c解析:由x>1能推得x3>1,充分性成立.由x3>1得(x-1)(x2+x+1)>0,x2+x+1

3、>0恒成立,x>1,“x>1”是“x3>1”的充要条件.故选c.4.(2015湖南,文4)若变量x,y满足约束条件x+y1,y-x1,x1,则z=2x-y的最小值为()a.-1b.0c.1d.2答案:a解析:画出满足约束条件的平面区域如图.作直线y=2x,平移直线y=2x,当x=0,y=1,即直线过点a(0,1)时,z取得最小值,此时zmin=2×0-1=-1.故选a.5.(2015湖南,文5)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的s=()a.67b.37c.89d.49答案:b解析:由题意得,输出的s为数列1(2n-1)(2n+1)的前3项和,而1

4、(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,即sn=121-12n+1=n2n+1.故当输入n=3时,s=s3=37,故选b.6.(2015湖南,文6)若双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为()a.73b.54c.43d.53答案:d解析:双曲线的渐近线方程为y=±bax,且过点(3,-4),-4=-ba×3,ba=43.离心率e=1+ba2=1+432=53,故选d.7.(2015湖南,文7)若实数a,b满足1a+2b=ab,则ab的最小值为()a.2b.2c.22d.4答案:c解析:由已知1a+2b=ab,可知a,b

5、同号,且均大于0.由ab=1a+2b22ab,得ab22.即当且仅当1a=2b,即b=2a时等号成立,故选c.8.(2015湖南,文8)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是()a.奇函数,且在(0,1)上是增函数b.奇函数,且在(0,1)上是减函数c.偶函数,且在(0,1)上是增函数d.偶函数,且在(0,1)上是减函数答案:a解析:要使函数有意义,应满足1+x>0,1-x>0,解得-1<x<1,即函数f(x)定义域为(-1,1),关于原点对称.此时f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.又f(x)=ln1+x

6、1-x=ln21-x-1,由复合函数的单调性可知f(x)在(0,1)上是增函数.故选a.9.(2015湖南,文9)已知点a,b,c在圆x2+y2=1上运动,且abbc,若点p的坐标为(2,0),则|pa+pb+pc|的最大值为()a.6b.7c.8d.9答案:b解析:设坐标原点为o,则pa+pb+pc=po+oa+po+ob+po+oc=3po+ob+(oa+oc),由于abbc,所以ac是圆的直径,因此oa+oc=0,于是|pa+pb+pc|=|3po+ob|=(3po+ob)2=9|po|2+6po·ob+|ob|2=9×22+12-6op·ob=37-6|o

7、p|ob|cospob=37-12cospob,故当pob=时,cospob取最小值-1,此时|pa+pb+pc|取最大值7.10.(2015湖南,文10)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=新工件的体积原工件的体积()a.89b.827c.24(2-1)3d.8(2-1)3答案:a解析:由三视图可知该几何体是一个圆锥,其底面半径r=1,母线长l=3,所以其高h=l2-r2=32-12=22.故该圆锥的体积v=3r2h=3×12×22=223.由题意可知,

8、加工后的正方体是该圆锥的一个内接正方体,如图所示.正方体abcd-efgh的底面在圆锥的底面内,下底面中心与圆锥底面的圆心重合,上底面中心在圆锥的高线上,设正方体的棱长为x.在轴截面smn中,由o1gon可得,o1gon=so1so,即22x1=22-x22,解得x=223.所以正方体的体积为v1=2233=16227.所以该工件的利用率为v1v=16227223=89.故选a.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2015湖南,文11)已知集合u=1,2,3,4,a=1,3,b=1,3,4,则a(ub)=. 答案:1,2,3解析:ub=2,a(ub)=1,2,3

9、.12.(2015湖南,文12)在直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,若曲线c的极坐标方程为=2sin ,则曲线c的直角坐标方程为. 答案:x2+y2-2y=0解析:=2sin ,且2=x2+y2,sin =y,2=2sin ,x2+y2=2y.曲线c的直线坐标方程为x2+y2-2y=0.13.(2015湖南,文13)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于a,b两点,且aob=120°(o为坐标原点),则r=. 答案:2解析:如图所示,由题意知,圆心o到直线3x-4y+5=0的距离|oc|=532+(-4

10、)2=1,故圆的半径r=1cos60°=2.14.(2015湖南,文14)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是. 答案:(0,2)解析:函数f(x)的零点个数即为函数g(x)=|2x-2|=2x-2,x1,2-2x,x<1的图象与直线y=b的交点个数.如图,分别作出函数y=g(x)与直线y=a的图象,由图可知,当0<a<2时,直线y=a与y=g(x)有两个交点.所以a的取值范围为(0,2).15.(2015湖南,文15)已知>0,在函数y=2sin x与y=2cos x的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则=.

11、 答案:2解析:如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin x与y=2cos x的图象.a,b为符合条件的两交点.则a4,2,b-34,-2,由|ab|=23,得2+(22)2=23,解得=2,即=2.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015湖南,文16)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球a1,a2和1个白球b的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可

12、能的摸出结果.(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.解:(1)所有可能的摸出结果是a1,a1,a1,a2,a1,b1,a1,b2,a2,a1,a2,a2,a2,b1,a2,b2,b,a1,b,a2,b,b1,b,b2.(2)不正确.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为a1,a1,a1,a2,a2,a1,a2,a2,共4种,所以中奖的概率为412=13,不中奖的概率为1-13=23>13.故这种说法不正确.17.(本小题满分12分)(2015湖南,文17)设abc的内角a,b,c的对

13、边分别为a,b,c,a=btan a.(1)证明:sin b=cos a;(2)若sin c-sin acos b=34,且b为钝角,求a,b,c.解:(1)由a=btan a及正弦定理,得sinacosa=ab=sinasinb,所以sin b=cos a.(2)因为sin c-sin acos b=sin180°-(a+b)-sin acos b=sin(a+b)-sin acos b=sin acos b+cos asin b-sin acos b=cos asin b,所以cos asin b=34.由(1)sin b=cos a,因此sin2b=34.又b为钝角,所以sin

14、 b=32,故b=120°.由cos a=sin b=32知a=30°.从而c=180°-(a+b)=30°.综上所述,a=30°,b=120°,c=30°.18.(本小题满分12分)(2015湖南,文18)如图,直三棱柱abc-a1b1c1的底面是边长为2的正三角形,e,f分别是bc,cc1的中点.(1)证明:平面aef平面b1bcc1;(2)若直线a1c与平面a1abb1所成的角为45°,求三棱锥f-aec的体积.解:(1)证明:如图,因为三棱柱abc-a1b1c1是直三棱柱,所以aebb1.又e是正三角形ab

15、c的边bc的中点,所以aebc.因此,ae平面b1bcc1.而ae平面aef,所以,平面aef平面b1bcc1.(2)设ab的中点为d,连结a1d,cd.因为abc是正三角形,所以cdab.又三棱柱abc-a1b1c1是直三棱柱,所以cdaa1.因此cd平面a1abb1,于是ca1d为直线a1c与平面a1abb1所成的角.由题设,ca1d=45°,所以a1d=cd=32ab=3.在rtaa1d中,aa1=a1d2-ad2=3-1=2,所以fc=12aa1=22.故三棱锥f-aec的体积v=13saec·fc=13×32×22=612.19.(本小题满分1

16、3分)(2015湖南,文19)设数列an的前n项和为sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3sn-sn+1+3,nn*.(1)证明:an+2=3an;(2)求sn.解:(1)由条件,对任意nn*,有an+2=3sn-sn+1+3,因而对任意nn*,n2,有an+1=3sn-1-sn+3.两式相减,得an+2-an+1=3an-an+1,即an+2=3an,n2.又a1=1,a2=2,所以a3=3s1-s2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1,故对一切nn*,an+2=3an.(2)由(1)知,an0,所以an+2an=3,于是数列a2n-1是首项a1=1,公比为3的等比数列;数列a2n

17、是首项a2=2,公比为3的等比数列.因此a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1.于是s2n=a1+a2+a2n=(a1+a3+a2n-1)+(a2+a4+a2n)=(1+3+3n-1)+2(1+3+3n-1)=3(1+3+3n-1)=3(3n-1)2,从而s2n-1=s2n-a2n=3(3n-1)2-2×3n-1=32(5×3n-2-1).综上所述,sn=32(5×3n-22-1),当n是奇数,32(3n2-1),当n是偶数.20.(本小题满分13分)(2015湖南,文20)已知抛物线c1:x2=4y的焦点f也是椭圆c2:y2a2+x2b2=1(a&

18、gt;b>0)的一个焦点.c1与c2的公共弦的长为26.过点f的直线l与c1相交于a,b两点,与c2相交于c,d两点,且ac与bd同向.(1)求c2的方程;(2)若|ac|=|bd|,求直线l的斜率.解:(1)由c1:x2=4y知其焦点f的坐标为(0,1).因为f也是椭圆c2的一个焦点,所以a2-b2=1.又c1与c2的公共弦的长为26,c1与c2都关于y轴对称,且c1的方程为x2=4y,由此易知c1与c2的公共点的坐标为±6,32,所以94a2+6b2=1.联立,得a2=9,b2=8,故c2的方程为y29+x28=1.(2)如图,设a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3

19、,y3),d(x4,y4).因ac与bd同向,且|ac|=|bd|,所以ac=bd,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4,设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由y=kx+1,x2=4y,得x2-4kx-4=0,而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由y=kx+1,x28+y29=1得(9+8k2)x2+16kx-64=0,而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-16k9+8k2,x3x4=-649+8k2.将,代入,得16(k2+1)=162k2(9+8k2)2+4&

20、#215;649×8k2,即16(k2+1)=162×9(k2+1)(9+8k2)2,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±64,即直线l的斜率为±64.21.(本小题满分13分)(2015湖南,文21)已知a>0,函数f(x)=aexcos x(x0,+).记xn为f(x)的从小到大的第n(nn*)个极值点.(1)证明:数列f(xn)是等比数列;(2)若对一切nn*,xn|f(xn)|恒成立,求a的取值范围.解:(1)f'(x)=aexcos x-aexsin x=2aexcosx+4.令f'(x)=0,由x0,得x+4=m-2,即x=m-34,mn*.而对于cosx+4,当kz时,若2k-2&l