2016年普通高等学校招生全国统一考试数学Ⅰ(江苏卷)

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学1.(2016江苏,1)已知集合a=-1,2,3,6,b=x|-2<x<3,则ab=. 答案-1,2解析ab=-1,2,3,6x|-2<x<3=-1,2.2.(2016江苏,2)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是. 答案5解析因为z=(1+2i)(3-i)=5+5i,所以z的实部是5.3.(2016江苏,3)在平面直角坐标系xoy中,双曲线x27-y23=1的焦距是. 答案210解析a2=7,b2=3,c2=a2+b2=7+3=10.c=10.2c=210.4.

2、(2016江苏,4)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是. 答案0.1解析这组数据的平均数为15×(4.7+4.8+5.1+5.4+5.5)=5.1,方差为15×(4.7-5.1)2+(4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)2=0.1.5.(2016江苏,5)函数y=3-2x-x2的定义域是. 答案-3,1解析要使函数有意义,必须3-2x-x20,即x2+2x-30,所以-3x1.所以函数y=3-2x-x2的定义域是-3,1.6.(2016江苏,6)下图是一个算法的流程图,则输

3、出的a的值是. 答案9解析第一次循环:a=5,b=7,第二次循环:a=9,b=5,此时a>b,循环结束,输出a的值为9.7.(2016江苏,7)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是. 答案56解析(方法一)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个基本事件.其中向上的点数之和小于10的基本事件共有30个,所以所求概率为3036=56.(方法二)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个基本事件.记a表示“向上的点数之和小于10”,则a表示“向上的点数之和不小于10”,a

4、的基本事件共有6个,所以p(a)=636=16,p(a)=1-p(a)=56.8.(2016江苏,8)已知an是等差数列,sn是其前n项和.若a1+a22=-3,s5=10,则a9的值是. 答案20解析由s5=10得a3=2,因此2-2d+(2-d)2=-3d=3,a9=2+3×6=20.9.(2016江苏,9)定义在区间0,3上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是. 答案7解析由sin 2x=cos x,可得cos x=0或sin x=12,因为x0,3,所以x可取的值为2,32,52,6,56,136,176,共7个.故交点个数为7.

5、10.(2016江苏,10)如图,在平面直角坐标系xoy中,f是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于b,c两点,且bfc=90°,则该椭圆的离心率是. 答案63解析由题意得b-32a,b2,c32a,b2,f(c,0),所以bf=c+32a,-b2,cf=c-32a,-b2.因为bfc=90°,所以bf·cf=0.所以c2-32a2+b22=0.又a2-b2=c2,所以3c2=2a2,即c2a2=23,所以e=63.11.(2016江苏,11)设f(x)是定义在r上且周期为2的函数,在区间-1,1)上,f(

6、x)=x+a,-1x<0,25-x,0x<1,其中ar.若f-52=f92,则f(5a)的值是. 答案-25解析因为函数f(x)是周期为2的函数,所以f-52=f-12=-12+a,f92=f12=25-12=110.因为f-52=f92,所以-12+a=110,解得a=35,因此f(5a)=f(3)=f(1)=f(-1)=-1+35=-25.12.(2016江苏,12)已知实数x,y满足x-2y+40,2x+y-20,3x-y-30,则x2+y2的取值范围是. 答案45,13解析画出约束条件对应的可行域(如图中阴影部分所示),x2+y2表示原点到可行域中的点的

7、距离的平方,由图知原点到直线2x+y-2=0的距离的平方为x2+y2的最小值,为252=45,原点到点(2,3)的距离的平方为x2+y2的最大值,为22+32=13.因此x2+y2的取值范围是45,13.13.(2016江苏,13)如图,在abc中,d是bc的中点,e,f是ad上的两个三等分点,ba·ca=4,bf·cf=-1,则be·ce的值是. 答案78解析因为在abc中,d是bc的中点,所以ba+ca=2da.又因为ba-ca=bc,所以ba=2da+bc2,ca=2da-bc2.所以ba·ca=4da2-bc24=36df2-bc24=

8、4,同理,bf·cf=4df2-bc24=-1,因此df2=58,bc2=132,be·ce=4de2-bc24=16df2-bc24=78.14.(2016江苏,14)在锐角三角形abc中,若sin a=2sin bsin c,则tan atan btan c的最小值是. 答案8解析sin a=sin(b+c)=2sin bsin ctan b+tan c=2tan btan c,因为tan a=-tan(b+c)=-tanb+tanc1-tanbtanc,所以tan atan btan c=tan a+tan b+tan c=tan a+2tan btan c

9、.因为abc为锐角三角形,所以tan a>0,tan btan c>0,所以tan a+2tan btan c22tanatanbtanc,当且仅当tan a=2tan btan c时,等号成立,即tan atan btan c22tanatanbtanc,解得tan atan btan c8,即最小值为8.15.(2016江苏,15)在abc中,ac=6,cos b=45,c=4.(1)求ab的长;(2)求cosa-6的值.解(1)因为cos b=45,0<b<,所以sin b=1-cos2b=1-452=35.由正弦定理知acsinb=absinc,所以ab=ac&

10、#183;sincsinb=6×2235=52.(2)在abc中,a+b+c=,所以a=-(b+c),于是cos a=-cos(b+c)=-cosb+4=-cos bcos4+sin bsin4,又cos b=45,sin b=35,故cos a=-45×22+35×22=-210.因为0<a<,所以sin a=1-cos2a=7210.因此,cosa-6=cos acos6+sin asin6=-210×32+7210×12=72-620.16.(2016江苏,16)如图,在直三棱柱abc-a1b1c1中,d,e分别为ab,bc的

11、中点,点f在侧棱b1b上,且b1da1f,a1c1a1b1.求证:(1)直线de平面a1c1f;(2)平面b1de平面a1c1f.证明(1)在直三棱柱abc-a1b1c1中,a1c1ac.在abc中,因为d,e分别为ab,bc的中点,所以deac,于是dea1c1.又因为de平面a1c1f,a1c1平面a1c1f,所以直线de平面a1c1f.(2)在直三棱柱abc-a1b1c1中,a1a平面a1b1c1.因为a1c1平面a1b1c1,所以a1aa1c1.又因为a1c1a1b1,a1a平面abb1a1,a1b1平面abb1a1,a1aa1b1=a1,所以a1c1平面abb1a1.因为b1d平面a

12、bb1a1,所以a1c1b1d.又因为b1da1f,a1c1平面a1c1f,a1f平面a1c1f,a1c1a1f=a1,所以b1d平面a1c1f.因为直线b1d平面b1de,所以平面b1de平面a1c1f.17.(2016江苏,17)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥p-a1b1c1d1,下部的形状是正四棱柱abcd-a1b1c1d1(如图所示),并要求正四棱柱的高o1o是正四棱锥的高po1的4倍.(1)若ab=6 m,po1=2 m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当po1为多少时,仓库的容积最大?解(1)由po1=2 m知o1o=4po1=

13、8 m.因为a1b1=ab=6 m,所以正四棱锥p-a1b1c1d1的体积 v锥=13·a1b12·po1=13×62×2=24(m3);正四棱柱abcd-a1b1c1d1的体积v柱=ab2·o1o=62×8=288(m3).所以仓库的容积v=v锥+v柱=24+288=312(m3).(2)设a1b1=a m,po1=h m,则0<h<6,o1o=4h.连接o1b1.因为在rtpo1b1中,o1b12+po12=pb12,所以2a22+h2=36,即a2=2(36-h2).于是仓库的容积v=v柱+v锥=a2·4h

14、+13a2·h=133a2h=263(36h-h3),0<h<6,从而v'=263(36-3h2)=26(12-h2).令v'=0,得h=23或h=-23(舍).当0<h<23时,v'>0,v是单调增函数;当23<h<6时,v'<0,v是单调减函数.故h=23时,v取得极大值,也是最大值.因此,当po1=23 m时,仓库的容积最大.18.(2016江苏,18)如图,在平面直角坐标系xoy中,已知以m为圆心的圆m:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点a(2,4).(1)设圆n与x轴相切,与圆m外切

15、,且圆心n在直线x=6上,求圆n的标准方程;(2)设平行于oa的直线l与圆m相交于b,c两点,且bc=oa,求直线l的方程;(3)设点t(t,0)满足:存在圆m上的两点p和q,使得ta+tp=tq,求实数t的取值范围.解圆m的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心m(6,7),半径为5.(1)由圆心n在直线x=6上,可设n(6,y0).因为圆n与x轴相切,与圆m外切,所以0<y0<7,于是圆n的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆n的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线loa,所以直线l的斜率为4-02-0=2.设直线l的方程

16、为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心m到直线l的距离d=|2×6-7+m|5=|m+5|5.因为bc=oa=22+42=25,而mc2=d2+bc22,所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设p(x1,y1),q(x2,y2).因为a(2,4),t(t,0),ta+tp=tq,所以x2=x1+2-t,y2=y1+4.因为点q在圆m上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.将代入,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点p(x1,y1)既在圆m上,又在圆x-(t+4)2+(y-3)2=25上

17、,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆x-(t+4)2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5(t+4)-62+(3-7)25+5,解得2-221t2+221.因此,实数t的取值范围是2-221,2+221.19.(2016江苏,19)已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a1,b1).(1)设a=2,b=12.求方程f(x)=2的根;若对于任意xr,不等式f(2x)mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.解(1)因为a=2,b=12,所以f(x)=2x+2-x.方程

18、f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0,所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x)2-2.因为f(2x)mf(x)-6对于xr恒成立,且f(x)>0,所以m(f(x)2+4f(x)对于xr恒成立.而(f(x)2+4f(x)=f(x)+4f(x)2f(x)·4f(x)=4,且(f(0)2+4f(0)=4,所以m4,故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函数g(x)的唯一零点.因

19、为g'(x)=axln a+bxln b,又由0<a<1,b>1知ln a<0,ln b>0,所以g'(x)=0有唯一解x0=logba-lnalnb.令h(x)=g'(x),则h'(x)=(axln a+bxln b)'=ax(ln a)2+bx(ln b)2,从而对任意xr,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是(-,+)上的单调增函数.于是当x(-,x0)时,g'(x)<g'(x0)=0;当x(x0,+)时,g'(x)>g'(x0)=0.因而函数g(

20、x)在(-,x0)上是单调减函数,在(x0,+)上是单调增函数.下证x0=0.若x0<0,则x0<x02<0,于是gx02<g(0)=0.又g(loga2)=aloga2+bloga2-2>aloga2-2=0,且函数g(x)在以x02和loga2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在x02和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为0<a<1,所以loga2<0.又x02<0,所以x1<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.若x0>0,同理可得,在x02和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0.于

21、是-lnalnb=1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.20.(2016江苏,20)记u=1,2,100.对数列an(nn*)和u的子集t,若t=,定义st=0;若t=t1,t2,tk,定义st=at1+at2+atk.例如:t=1,3,66时,st=a1+a3+a66.现设an(nn*)是公比为3的等比数列,且当t=2,4时,st=30.(1)求数列an的通项公式;(2)对任意正整数k(1k100),若t1,2,k,求证:st<ak+1;(3)设cu,du,scsd,求证:sc+scd2sd.解(1)由已知得an=a1·3n-1,nn*.于是当t=2,4时,st=a2+

22、a4=3a1+27a1=30a1.又st=30,故30a1=30,即a1=1.所以数列an的通项公式为an=3n-1,nn*.(2)因为t1,2,k,an=3n-1>0,nn*,所以sta1+a2+ak=1+3+3k-1=12(3k-1)<3k.因此,st<ak+1.(3)下面分三种情况证明.若d是c的子集,则sc+scd=sc+sdsd+sd=2sd.若c是d的子集,则sc+scd=sc+sc=2sc2sd.若d不是c的子集,且c不是d的子集.令e=cud,f=duc,则e,f,ef=.于是sc=se+scd,sd=sf+scd,进而由scsd得sesf.设k为e中的最大数

23、,l为f中的最大数,则k1,l1,kl.由(2)知,se<ak+1.于是3l-1=alsfse<ak+1=3k,所以l-1<k,即lk.又kl,故lk-1.从而sfa1+a2+al=1+3+3l-1=3l-123k-1-12=ak-12se-12,故se2sf+1,所以sc-scd2(sd-scd)+1,即sc+scd2sd+1.综上得,sc+scd2sd.数学(附加题)21.(2016江苏,21)【选做题】 本题包括a、b、c、d四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.a.选修41:几何证

24、明选讲如图,在abc中,abc=90°,bdac,d为垂足,e是bc的中点.求证:edc=abd.证明在adb与abc中,因为abc=90°,bdac,a为公共角,所以adbabc,于是abd=c.在rtbdc中,因为e是bc的中点,所以ed=ec,从而edc=c.所以edc=abd.b.选修42:矩阵与变换已知矩阵a=120-2,矩阵b的逆矩阵b-1=1-1202,求矩阵ab.解设b=abcd,则b-1b=1-1202abcd=1001,即a-12cb-12d2c2d=1001,故a-12c=1,b-12d=0,2c=0,2d=1,解得a=1,b=14,c=0,d=12,

25、所以b=114012.因此,ab=120-2114012=1540-1.c.选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中,已知直线l的参数方程为x=1+12t,y=32t(t为参数),椭圆c的参数方程为x=cos,y=2sin(为参数).设直线l与椭圆c相交于a,b两点,求线段ab的长.解椭圆c的普通方程为x2+y24=1.将直线l的参数方程x=1+12t,y=32t代入x2+y24=1,得1+12t2+32t24=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-167.所以ab=|t1-t2|=167.d.选修45:不等式选讲设a>0,|x-1|<a3,|y-2|<a

26、3,求证:|2x+y-4|<a.证明因为|x-1|<a3,|y-2|<a3,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|2|x-1|+|y-2|<2×a3+a3=a.【必做题】 第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(2016江苏,22)如图,在平面直角坐标系xoy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线c:y2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线c的焦点,求抛物线c的方程;(2)已知抛物线c上存在关于直线l对称的相异两点p和q.求证:线段pq的中点坐标为(2-p,-p);求p的取值范围.解(1)抛物线c:y2=2px(p>0)的焦点为p2,0,由点p2,0在直线l:x-y-2=0上,得p2-0-2=0,即p=4.所以抛物线c的方程为y2=8x.(2)设p(x1,y1),q(x2,y2),线段pq的中点m(x0,y0).因为点p和q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段pq,于是直线pq的斜率为-1,则可设其方