2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(安徽卷)

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试安徽理科数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷第1至第2页,第卷第3至第4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。考生注意事项:1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。2.答第卷时,每小题选出答案后,用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。3.答第卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅

2、笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。参考公式:如果事件a与b互斥,那么p(a+b)=p(a)+p(b).标准差s=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2,其中x=1n(x1+x2+xn).第卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015安徽,理1)设i是虚数单位,则复数2i1-i在复平面内所对应的点位于()a.第一象限b.第二象

3、限c.第三象限d.第四象限答案:b解析:由复数除法的运算法则可得,2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=2i-22=-1+i,对应点为(-1,1)在第二象限.故选b.2.(2015安徽,理2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()a.y=cos xb.y=sin xc.y=ln xd.y=x2+1答案:a解析:y=cos x是偶函数,其图象与x轴有无数个交点,因此选项a满足要求;y=sin x为奇函数;y=ln x既不是奇函数也不是偶函数;y=x2+1无零点,均不满足要求.故选a.3.(2015安徽,理3)设p:1<x<2,q:2x>1,则p是q成立的()a.充分

4、不必要条件b.必要不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件答案:a解析:由2x>1,得x>0,所以由p:1<x<2可以得到q:x>0成立,而由q:x>0不能得到p:1<x<2成立,因此p是q成立的充分不必要条件.故选a.4.(2015安徽,理4)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是()a.x2-y24=1b.x24-y2=1c.y24-x2=1d.y2-x24=1答案:c解析:a,b选项中双曲线的焦点在x轴上,不符合要求.c,d选项中双曲线的焦点在y轴上,且双曲线y24-x2=1的渐近线方程为y=±

5、2x;双曲线y2-x24=1的渐近线方程为y=±12x,故选c.5.(2015安徽,理5)已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是()a.若,垂直于同一平面,则与平行b.若m,n平行于同一平面,则m与n平行c.若,不平行,则在内不存在与平行的直线d.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面答案:d解析:a选项,可能相交;b选项m,n可能相交,也可能异面;c选项若与相交,则在内平行于它们交线的直线一定平行于;由垂直于同一个平面的两条直线一定平行,可知d选项正确.6.(2015安徽,理6)若样本数据x1,x2,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,2x

6、10-1的标准差为()a.8b.15c.16d.32答案:c解析:设数据x1,x2,x10的平均数为x,标准差为s,则2x1-1,2x2-1,2x10-1的平均数为2x-1,方差为(2x1-1)-(2x-1)2+(2x2-1)-(2x-1)2+(2x10-1)-(2x-1)210=4(x1-x)2+4(x2-x)2+4(x10-x)210=4s2,因此标准差为2s=2×8=16.故选c.7.(2015安徽,理7)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()a.1+3b.2+3c.1+22d.22答案:b解析:该四面体的直观图如图所示,平面abd平面bcd,abd与bcd为全等

7、的等腰直角三角形,ab=ad=bc=cd=2.取bd的中点o,连接ao,co,则aoco,ao=co=1,由勾股定理得ac=2,因此abc与acd为全等的正三角形,由三角形面积公式得,sabc=sacd=32,sabd=sbcd=1,所以四面体的表面积为2+3.8.(2015安徽,理8)abc是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足ab=2a,ac=2a+b,则下列结论正确的是()a.|b|=1b.abc.a·b=1d.(4a+b)bc答案:d解析:在abc中,bc=ac-ab=(2a+b)-2a=b,所以|b|=2,故a不正确;因为ab=2a,所以a=12ab,而ab与bc的夹角

8、为120°,从而a·b=12ab·bc=12×2×2×cos 120°=-1,因此b,c不正确;因为(4a+b)·bc=(4a+b)·b=4a·b+b2=-4+4=0,所以(4a+b)bc,故选d.9.(2015安徽,理9)函数f(x)=ax+b(x+c)2的图象如图所示,则下列结论成立的是()a.a>0,b>0,c<0b.a<0,b>0,c>0c.a<0,b>0,c<0d.a<0,b<0,c<0答案:c解析:由图象知f(0

9、)=bc2>0,因此b>0.函数f(x)的定义域为(-,-c)(-c,+),因此-c>0,c<0.而当x+时,f(x)<0,可得a<0,故选c.10.(2015安徽,理10)已知函数f(x)=asin(x+)(a,均为正的常数)的最小正周期为,当x=23时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()a.f(2)<f(-2)<f(0)b.f(0)<f(2)<f(-2)c.f(-2)<f(0)<f(2)d.f(2)<f(0)<f(-2)答案:a解析:由周期t=2=,得=2.当x=23时,f(x)取得最小值,所以

10、43+=32+2k,kz,即=6+2k,kz,所以f(x)=asin2x+6.所以f(0)=asin6=a2>0,f(2)=asin4+6=32asin 4+a2cos 4<0,f(-2)=asin-4+6=-32asin 4+a2cos 4.因为f(2)-f(-2)=3asin 4<0,所以f(2)<f(-2).又f(-2)-f(0)=-asin4-6-a2=-asin4-6+12,因为<4-6<+6<32,所以sin4-6>sin+6=-12,即sin4-6+12>0,所以f(-2)<f(0).综上,f(2)<f(-2)&l

11、t;f(0),故选a.第卷(非选择题 共100分)考生注意事项:请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11.(2015安徽,理11)x3+1x7的展开式中x5的系数是.(用数字填写答案) 答案:35解析:通项公式tr+1=c7rx3(7-r)x-r=c7rx21-4r,由21-4r=5,得r=4,所以x5的系数为c74=35.12.(2015安徽,理12)在极坐标系中,圆=8sin 上的点到直线=3(r)距离的最大值是. 答案:6解析:圆=8sin 化为直角坐标方程为x2

12、+y2=8y,即x2+(y-4)2=16.故其圆心为(0,4),半径r=4.直线=3(r)化为直角坐标方程为y=xtan3=3x.故圆心到直线y=3x的距离d=|3×0-4|2=2.所以圆上的点到直线y=3x距离的最大值为d+r=6.13.(2015安徽,理13)执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的n为. 答案:4解析:当a=1,n=1时,进入循环,a=1+11+1=32,n=2;此时|a-1.414|>0.005,继续循环,a=1+11+32=1+25=75,n=3;此时|a-1.414|>0.005,继续循环,a=1+11+75=1+512=1712

13、,n=4;此时|a-1.414|0.003<0.005,退出循环,因此n的值为4.14.(2015安徽,理14)已知数列an是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前n项和等于. 答案:2n-1解析:设数列an的公比为q,由已知条件可得a1+a1q3=9,a12q3=8,解得a1=8,q=12或a1=1,q=2,因为an是递增的等比数列,所以a1=1,q=2.所以an是以1为首项,2为公比的等比数列,故sn=2n-1.15.(2015安徽,理15)设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数.下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是.(写出所有正确条件的编号)

14、 a=-3,b=-3;a=-3,b=2;a=-3,b>2;a=0,b=2;a=1,b=2.答案:解析:方程仅有一个实根,则函数f(x)=x3+ax+b的图象与x轴只有一个公共点.当a=-3时,f(x)=x3-3x+b,f'(x)=3x2-3,由f'(x)=0,得x=±1,易知f(x)在x=-1处取极大值,在x=1处取极小值.当b=-3时,f(-1)=-1<0,f(1)=-5<0,满足题意,故正确;当b=2时,f(-1)=4>0,f(1)=0,图象与x轴有2个公共点,不满足题意,故不正确;当b>2时,f(-1)=2+b>4,

15、f(1)=-2+b>0,满足题意,故正确;当a=0和a=1时,f'(x)=3x2+a0,f(x)在r上为增函数,所以函数f(x)=x3+ax+b的图象与x轴只有一个交点,故也满足题意.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.(本小题满分12分)(2015安徽,理16)在abc中,a=34,ab=6,ac=32,点d在bc边上,ad=bd,求ad的长.解:设abc的内角a,b,c所对边的长分别是a,b,c.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosbac=(32)2+62-2×32×6&#

16、215;cos34=18+36-(-36)=90,所以a=310.又由正弦定理得sin b=bsinbaca=3310=1010,由题设知0<b<4,所以cos b=1-sin2b=1-110=31010.在abd中,由正弦定理得ad=ab·sinbsin(-2b)=6sinb2sinbcosb=3cosb=10.17.(本小题满分12分)(2015安徽,理17)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每

17、检测一件产品需要费用100元,设x表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求x的分布列和均值(数学期望).解:(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件a,p(a)=a21a31a52=310.(2)x的可能取值为200,300,400.p(x=200)=a22a52=110,p(x=300)=a33+c21c31a22a53=310,p(x=400)=1-p(x=200)-p(x=300)=1-110-310=610.故x的分布列为x200300400p110310610ex=200×110+300×310+400

18、5;610=350.18.(本小题满分12分)(2015安徽,理18)设nn*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列xn的通项公式;(2)记tn=x12x32x2n-12,证明:tn14n.(1)解:y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标xn=1-1n+1=nn+1.(2)证明:由题设和(1)中的计算结果知tn=x12x32x2n-12=1223422n-12n2.当n=1时,t

19、1=14.当n2时,因为x2n-12=2n-12n2=(2n-1)2(2n)2>(2n-1)2-1(2n)2=2n-22n=n-1n,所以tn>122×12×23××n-1n=14n.综上可得对任意的nn*,均有tn14n.19.(本小题满分13分)(2015安徽,理19)如图所示,在多面体a1b1d1dcba中,四边形aa1b1b,add1a1,abcd均为正方形,e为b1d1的中点,过a1,d,e的平面交cd1于f.(1)证明:efb1c;(2)求二面角e-a1d-b1的余弦值.(1)证明:由正方形的性质可知a1b1abdc,且a1b1=

20、ab=dc,所以四边形a1b1cd为平行四边形.从而b1ca1d,又a1d面a1de,b1c面a1de,于是b1c面a1de.又b1c面b1cd1,面a1de面b1cd1=ef,所以efb1c.(2)解:因为四边形aa1b1b,add1a1,abcd均为正方形,所以aa1ab,aa1ad,abad且aa1=ab=ad,以a为原点,分别以ab,ad,aa1为x轴、y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系,可得点的坐标a(0,0,0),b(1,0,0),d(0,1,0),a1(0,0,1),b1(1,0,1),d1(0,1,1),而e点为b1d1的中点,所以e点的坐标为(0.5,0.5,1

21、).设面a1de的法向量n1=(r1,s1,t1),而该面上向量a1e=(0.5,0.5,0),a1d=(0,1,-1),由n1a1e,n1a1d得r1,s1,t1应满足的方程组0.5r1+0.5s1=0,s1-t1=0,(-1,1,1)为其一组解,所以可取n1=(-1,1,1).设面a1b1cd的法向量n2=(r2,s2,t2),而该面上向量a1b1=(1,0,0),a1d=(0,1,-1),由此同理可得n2=(0,1,1).所以结合图形知二面角e-a1d-b1的余弦值为|n1·n2|n1|·|n2|=23×2=63.20.(本小题满分13分)(2015安徽,理

22、20)设椭圆e的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),点o为坐标原点,点a的坐标为(a,0),点b的坐标为(0,b),点m在线段ab上,满足|bm|=2|ma|,直线om的斜率为510.(1)求e的离心率e;(2)设点c的坐标为(0,-b),n为线段ac的中点,点n关于直线ab的对称点的纵坐标为72,求e的方程.解:(1)由题设条件知,点m的坐标为23a,13b,又kom=510,从而b2a=510,进而得a=5b,c=a2-b2=2b,故e=ca=255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线ab的方程为x5b+yb=1,点n的坐标为52b,-12b.设点n关于直线ab的对称点s的坐标为x1,72,则线段ns的中点t的坐标为54b+x12,-14b+74.又点t在直线ab上,且kns·kab=-1,从而有54b+x125b+-14b+74b=1,72+12bx1-52b=5,解得b=3.所以a=35,故椭圆e的方程为x245+y29=1.21.(本小题满分13分)(2015安徽,理21)设函数f(x)=x2-ax+b.(1)