2016年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)(四川卷) (2)

1、1 / 10 2016 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(四川四川卷卷) 数学(文史类) 1.(2016 四川,文 1)设 i为虚数单位,则复数(1+i)2=( ) a.0 b.2 c.2i d.2+2i 答案 c 由题意,(1+i)2=1+2i+i2=2i ,故选 c. 2.(2016 四川,文 2)设集合 a=x|1x5,z 为整数集,则集合 az 中元素的个数是( ) a.6 b.5 c.4 d.3 答案 b 由题意,az=1,2,3,4,5 ,故其中的元素个数为 5,选 b. 3.(2016 四川,文 3)抛物线 y2=4x 的焦点坐标是( ) a.(0,2

2、) b.(0,1) c.(2,0) d.(1,0) 答案 d 由题意,y2=4x 的焦点坐标 为(1,0),故选 d. 4.(2016 四川,文 4)为了得到函数 y=sin( +3)的图象,只需把函数 y=sin x 的图象上所有的点( ) a.向左平行移动3个单位长度 b.向右平行移动3个单位长度 c.向上平行移动3个单位长度 d.向下平行移动3个单位长度 答案 a 由题意,为得到函数 y=sin( +3),只需把函数 y=sin x 的图象上所有点向左平行移动 3个单位长度,故选 a. 5.(2016 四川,文 5)设 p:实数 x,y满足 x1且 y1,q:实数 x,y满足 x+y2,

3、则 p是 q 的( ) a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 答案 a 由题意,x1 且 y1,则 x+y2,而当 x+y2 时不能得出 x1且 y1 .故 p是 q 的充分不必要条件,选 a. 6.(2016 四川,文 6)已知 a为函数 f(x)=x3-12x 的极小值点,则 a=( ) a.-4 b.-2 c.4 d.2 答案 d f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令 f(x)=0,得 x=-2或 x=2, 易得 f(x)在(-2,2)上单调递减,在(-,-2),(2,+) 上单调递增 , 2 / 10 故 f(x)极小值为 f(2

4、),由已知得 a=2,故选 d. 7.(2016 四川,文 7)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元的年份是( ) (参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30) a.2018年 b.2019年 c.2020年 d.2021年 答案 b 设从 2015 年后第 n 年该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元, 由已知得 130(1+12%)n200,1.12n200130. 两边取常用对数得 nlg

5、1.12lg200130, nlg2-lg1.3lg1.120.30-0.110.05=3.8, n4,故选 b. 8.(2016 四川,文 8)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入 n,x的值分别为 3,2,则输出 v的值为( ) a.35 b.20 c.18 d.9 答案 c 程序运行如下 n=3,x=2v=1,i=20v=1 2+2=4,i=10v=42+1=9,i=00v=92+ 0=18,i=-10, 结束循环,输出 v=1

6、8,故选 c. 9.(2016 四川,文 9)已知正三角形 abc的边长为 23,平面 abc内的动点 p,m满足| |=1, = ,则| |2的最大值是( ) a.434 b.494 c.37+634 d.37+2334 答案 b 设abc 的外心为 d, 3 / 10 则| |=| |=| |=2. 以 d 为原点,直线 da为 x轴,过 d点的 da的垂线 为 y轴,建立平面直角坐标系, 则 a(2,0),b(-1,-3),c(-1,3). 设 p(x,y),由已知| |=1,得(x-2)2+y2=1, = ,m(-12,+32). = (+12,+332). 2=(+1)2+(+33)

7、24,它表示圆(x-2)2+y2=1 上点(x,y)与点(-1,-33)距离平方的14, (| |2)max=14(32+ (0 + 33)2+1)2=494,故选 b. 10.(2016 四川,文 10)设直线 l1,l2分别是函数 f(x)=-ln,0 1图象上点 p1,p2处的切线,l1与 l2垂直相交于点 p,且 l1,l2分别与 y轴相交于点 a,b,则pab 的面积的取值范围是( ) a.(0,1) b.(0,2) c.(0,+) d.(1,+) 答案 a 由题意得 p1,p2分别位于两段函数的图象上. 设 p1(x1,ln x1),p2(x2,-ln x2)(不妨设 x11,0

8、x21,spab=12|ya-yb| |xp|=211+121+121+12=1. 0spab1,故选 a. 11.(2016 四川,文 11)sin 750= . 答案12 解析由三角函数诱导公式 sin 750=sin(720+30)=sin 30=12. 12.(2016 四川,文 12)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 . 答案33 解析由三视图 可知该几何体是一个三棱锥,且底面积为 s=12231=3,高为 1,所以该几何体的体积为 v=13sh=1331=33 . 13.(2016 四川,文 13)从 2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为 a,b,则 log

9、ab为整数的概率是 . 答案16 解析从 2,3,8,9中任取两个数记为 a,b,作为对数的底数与真数,共有 34=12 个不同的基本事件,其中为整数的只有 log28,log39 两个 基本事件,所以其概率 p=212=16. 14.(2016 四川,文 14)若函数 f(x)是定义在 r 上的周期为 2 的奇函数,当 0 x0.5,而前 4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.480.5,所以 2x0). 则 a=ksin a,b=ksin b,c=ksin c. 代入cos+cos=sin中,有cossin+cossin=sinsin, 变形可得 sin asin b

10、=sin acos b+cos asin b= sin(a+b). 在abc中,由 a+b+c=,有 sin(a+b)=sin(-c)=sin c,所以 sin asin b=sin c. (2)由已知,b2+c2-a2=65bc, 根据余弦定理,有 cos a=2+2-22=35. 所以 sin a=1-cos2 =45. 由(1),sin asin b=sin acos b+cos asin b, 8 / 10 所以45sin b=45cos b+35sin b, 故 tan b=sincos=4. 19.(2016 四川,文 19)已知数列an的首项为 1,sn为数列an的前 n项和,s

11、n+1=qsn+1,其中 q0,nn*. (1)若 a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列an的通项公式; (2)设双曲线 x2-22=1 的离心率为 en,且 e2=2,求12+ 22+2. 解(1)由已知,sn+1=qsn+1,sn+2=qsn+1+1, 两式相减得到 an+2=qan+1,n1. 又由 s2=qs1+1得到 a2=qa1, 故 an+1=qan对所有 n1 都成立. 所以,数列an是首项为 1,公比为 q的等比数列. 从而 an=qn-1. 由 a2,a3,a2+a3成等差数列,可得 2a3=a2+a2+a3. 所以 a3=2a2,故 q=2. 所以 an=2n-1(n

12、n*). (2)由(1)可知,an=qn-1. 所以双曲线 x2-22=1的离心率 en=1 + 2= 1 + 2(-1). 由 e2=1 + 2=2,解得 q=3. 所以12+ 22+2 =(1+1)+(1+q2)+1+q2(n-1) =n+1+q2+q2(n-1) =n+2-12-1=n+12(3n-1). 20.(2016 四川,文 20)已知椭圆 e:22+22=1(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点 p(3,12)在椭圆 e 上. (1)求椭圆 e 的方程; (2)设不过原点 o 且斜率为12的直线 l与椭圆 e交于不同的两点 a,b,线段 ab的中点为 m,

13、直线 om 与椭圆 e交于 c,d,证明:|ma| |mb|=|mc| |md|. 解(1)由已知,a=2b. 又椭圆22+22=1(ab0)过点 p(3,12), 故342+142=1,解得 b2=1. 9 / 10 所以椭圆 e的方程是24+y2=1. (2)设直线 l的方程为 y=12x+m(m0),a(x1,y1),b(x2,y2), 由方程组24+ 2= 1, =12 + ,得 x2+2mx+2m2-2=0, 方程的判别式为 =4(2-m2). 由 0,即 2-m20,解得-2m1时,g(x)0; (3)确定 a 的所有可能取值,使得 f(x)g(x)在区间(1,+)内恒成立. 解(1)f(x)=2ax-1=22-1(x0). 当 a0时,f(x)0 时,由 f(x)=0有 x=12. 当 x(0,12)时,f(x)0,f(x)单调递增. (2)令 s(x)=ex-1-x,则 s(x)=ex-1-1. 10 / 10 当 x1时,s(x)0,所以 ex-1x,从而 g(x)=11e-10. (3)由(2),当 x1 时,g(x)0. 当 a0,x1 时,f(x)=a(x2-1)-ln xg(x)在区间(1,+)内恒成立时