2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(福建卷)

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(文史类)第卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015福建,文1)若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,br,i是虚数单位),则a,b的值分别等于()a.3,-2b.3,2c.3,-3d.-1,4答案:a解析:由已知得3-2i=a+bi,a,br,a=3,b=-2.故选a.2.(2015福建,文2)若集合m=x|-2x<2,n=0,1,2,则mn等于()a.0b.1c.0,1,2d.0,1答案:d解析:m=x|-2x<2,n=0

2、,1,2,mn=0,1.故选d.3.(2015福建,文3)下列函数为奇函数的是()a.y=xb.y=exc.y=cos xd.y=ex-e-x答案:d解析:a错,y=x是非奇非偶函数;b错,y=ex是非奇非偶函数;c错,y=cos x是偶函数;d中,令y=f(x),f(-x)=e-x-e-(-x)=-(ex-e-x)=-f(x),d为奇函数,故选d.4.(2015福建,文4)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入x的值为1,则输出y的值为()a.2b.7c.8d.128答案:c解析:当x=1时,不满足条件“x2”,则y=9-1=8.即输出y=8,故选c.5.(2015福建,文5)若直线

3、xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于()a.2b.3c.4d.5答案:c解析:直线xa+yb=1过点(1,1),1a+1b=1.又a,b均大于0,a+b=(a+b)1a+1b=1+1+ba+ab2+2ba·ab=2+2=4,故选c.6.(2015福建,文6)若sin =-513,且为第四象限角,则tan 的值等于()a.125b.-125c.512d.-512答案:d解析:sin =-513,且为第四象限角,cos =1-sin2=1213,于是tan =sincos=-512,故选d.7.(2015福建,文7)设a=(1,2),b=(1,

4、1),c=a+kb.若bc,则实数k的值等于()a.-32b.-53c.53d.32答案:a解析:a=(1,2),b=(1,1),c=(1+k,2+k).bc,b·c=1+k+2+k=0.k=-32.故选a.8.(2015福建,文8)如图,矩形abcd中,点a在x轴上,点b的坐标为(1,0),且点c与点d在函数f(x)=x+1,x0,-12x+1,x<0的图象上.若在矩形abcd内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于()a.16b.14c.38d.12答案:b解析:如图,设f(x)与y轴的交点为e,则e(0,1).b(1,0),yc=1+1=2.c(1,2).又四边形abc

5、d是矩形,d(-2,2).sdce=12×1-(-2)×1=32.又s矩形=3×2=6,由几何概型概率计算公式可得所求概率p=326=14.故选b.9.(2015福建,文9)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于()a.8+22b.11+22c.14+22d.15答案:b解析:由三视图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱,其表面积为s=1×2+2×2+1×2+2×2+2×1+22×1=2+22+2+4+3=11+22,故选b.10.(2015福建,文10)变量x,y满足约束条件x+y0,x-2

6、y+20,mx-y0,若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于()a.-2b.-1c.1d.2答案:c解析:画出约束条件x+y0,x-2y+20的可行域,如图,作直线2x-y=2,与直线x-2y+2=0交于可行域内一点a(2,2),由题知直线mx-y=0必过点a(2,2),即2m-2=0,得m=1.故选c.11.(2015福建,文11)已知椭圆e:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为f,短轴的一个端点为m,直线l:3x-4y=0交椭圆e于a,b两点.若|af|+|bf|=4,点m到直线l的距离不小于45,则椭圆e的离心率的取值范围是()a.0,32b.0,34c.32,1

7、d.34,1答案:a解析:如图,取椭圆的左焦点f1,连接af1,bf1.由椭圆的对称性知四边形af1bf是平行四边形,|af|+|bf|=|af1|+|af|=2a=4.a=2.不妨设m(0,b),则|3×0-4b|32+4245,b1.e=ca=1-ba21-122=32.又0<e<1,0<e32.故选a.12.(2015福建,文12)“对任意x0,2,ksin xcos x<x”是“k<1”的()a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件答案:b解析:当x0,2时,sin x<x,且0<cos x&l

8、t;1,sin xcos x<x.k<1时有ksin xcos x<x.反之不成立.如当k=1时,对任意的x0,2,sin x<x,0<cos x<1,所以ksin xcos x=sin xcos x<x成立,这时不满足k<1,故应为必要不充分条件.第卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13.(2015福建,文13)某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为. 答案:25解析:设男生

9、抽x人.女生有400人,男生有500人,则x=500×45900=25,故抽取男生的人数为25.14.(2015福建,文14)若abc中,ac=3,a=45°,c=75°,则bc=. 答案:2解析:由三角形内角和定理知b=60°,由正弦定理得:3sin60°=bcsin45°,得bc=2.15.(2015福建,文15)若函数f(x)=2|x-a|(ar)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在m,+)上单调递增,则实数m的最小值等于. 答案:1解析:由f(1+x)=f(1-x),知f(x)的对称轴为x=1,a=

10、1,f(x)=2|x-1|,又f(x)在1,+)上是单调递增的,m1.16.(2015福建,文16)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于. 答案:9解析:由题意,得a+b=p>0,ab=q>0,a>0,b>0.不妨设a<b,则-2,a,b成等差数列,a,-2,b成等比数列,即-2+b=2a,ab=4,解得a=1,b=4.p=5,q=4.p+q=9.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算

11、步骤.17.(本小题满分12分)(2015福建,文17)等差数列an中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+b10的值.解:(1)设等差数列an的公差为d.由已知得a1+d=4,(a1+3d)+(a1+6d)=15,解得a1=3,d=1.所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n.所以b1+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10)=(2+22+23+210)+(1+2+3+10)=2(1-210)1-2+(1+10)×102=(211-2)+55=21

12、1+53=2 101.18.(本小题满分12分)(2015福建,文18)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标.根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.组号分组频数14,5)225,6)836,7)747,83(1)现从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在7,8内的概率;(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.解法一:(1)融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为a

13、1,a2,a3;融合指数在4,5)内的“省级卫视新闻台”记为b1,b2.从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是:a1,a2,a1,a3,a2,a3,a1,b1,a1,b2,a2,b1,a2,b2,a3,b1,a3,b2,b1,b2,共10个.其中,至少有1家融合指数在7,8内的基本事件是:a1,a2,a1,a3,a2,a3,a1,b1,a1,b2,a2,b1,a2,b2,a3,b1,a3,b2,共9个.所以所求的概率p=910.(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5×220+5.5×820+6.5×72

14、0+7.5×320=6.05.解法二:(1)融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为a1,a2,a3;融合指数在4,5)内的“省级卫视新闻台”记为b1,b2.从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是:a1,a2,a1,a3,a2,a3,a1,b1,a1,b2,a2,b1,a2,b2,a3,b1,a3,b2,b1,b2,共10个.其中,没有1家融合指数在7,8内的基本事件是:b1,b2,共1个.所以所求的概率p=1-110=910.(2)同解法一.19.(本小题满分12分)(2015福建,文19)已知点f为抛物线e:y2=2px(p>0

15、)的焦点,点a(2,m)在抛物线e上,且|af|=3.(1)求抛物线e的方程;(2)已知点g(-1,0),延长af交抛物线e于点b,证明:以点f为圆心且与直线ga相切的圆,必与直线gb相切.(1)解:由抛物线的定义,得|af|=2+p2.因为|af|=3,即2+p2=3,解得p=2,所以抛物线e的方程为y2=4x.(2)证法一:因为点a(2,m)在抛物线e:y2=4x上,所以m=±22,由抛物线的对称性,不妨设a(2,22).由a(2,22),f(1,0)可得直线af的方程为y=22(x-1).由y=22(x-1),y2=4x得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=12,从而b12,

16、-2.又g(-1,0),所以kga=22-02-(-1)=223,kgb=-2-012-(-1)=-223,所以kga+kgb=0,从而agf=bgf,这表明点f到直线ga,gb的距离相等,故以f为圆心且与直线ga相切的圆必与直线gb相切.证法二:设以点f为圆心且与直线ga相切的圆的半径为r.因为点a(2,m)在抛物线e:y2=4x上,所以m=±22,由抛物线的对称性,不妨设a(2,22).由a(2,22),f(1,0)可得直线af的方程为y=22(x-1).由y=22(x-1),y2=4x得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=12,从而b12,-2.又g(-1,0),故直线ga的

17、方程为22x-3y+22=0,从而r=|22+22|8+9=4217 .又直线gb的方程为22x+3y+22=0,所以点f到直线gb的距离d=|22+22|8+9=4217=r.这表明以点f为圆心且与直线ga相切的圆必与直线gb相切.20.(本小题满分12分)(2015福建,文20)如图,ab是圆o的直径,点c是圆o上异于a,b的点,po垂直于圆o所在的平面,且po=ob=1.(1)若d为线段ac的中点,求证:ac平面pdo;(2)求三棱锥p-abc体积的最大值;(3)若bc=2,点e在线段pb上,求ce+oe的最小值.(1)证明:在aoc中,因为oa=oc,d为ac的中点,所以acdo.又p

18、o垂直于圆o所在的平面,所以poac.因为dopo=o,所以ac平面pdo.(2)解:因为点c在圆o上,所以当coab时,c到ab的距离最大,且最大值为1.又ab=2,所以abc面积的最大值为12×2×1=1.又因为三棱锥p-abc的高po=1,故三棱锥p-abc体积的最大值为13×1×1=13.(3)解法一:在pob中,po=ob=1,pob=90°.所以pb=12+12=2.同理pc=2,所以pb=pc=bc.在三棱锥p-abc中,将侧面bcp绕pb旋转至平面bc'p,使之与平面abp共面,如图所示.当o,e,c'共线时,c

19、e+oe取得最小值.又因为op=ob,c'p=c'b,所以oc'垂直平分pb,即e为pb中点.从而oc'=oe+ec'=22+62=2+62,亦即ce+oe的最小值为2+62.解法二:在pob中,po=ob=1,pob=90°,所以opb=45°,pb=12+12=2.同理pc=2.所以pb=pc=bc,所以cpb=60°.在三棱锥p-abc中,将侧面bcp绕pb旋转至平面bc'p,使之与平面abp共面,如图所示.当o,e,c'共线时,ce+oe取得最小值.所以在oc'p中,由余弦定理得:oc'

20、;2=1+2-2×1×2×cos(45°+60°)=1+2-2222×12-22×32=2+3.从而oc'=2+3=2+62.所以ce+oe的最小值为22+62.21.(本小题满分12分)(2015福建,文21)已知函数f(x)=103sinx2cosx2+10cos2x2.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)将函数f(x)的图象向右平移6个单位长度,再向下平移a(a>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,且函数g(x)的最大值为2.求函数g(x)的解析式;证明:存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(

21、x0)>0.(1)解:因为f(x)=103sinx2cosx2+10cos2x2=53sin x+5cos x+5=10sinx+6+5,所以函数f(x)的最小正周期t=2.(2)解:将f(x)的图象向右平移6个单位长度后得到y=10sin x+5的图象,再向下平移a(a>0)个单位长度后得到g(x)=10sin x+5-a的图象.又已知函数g(x)的最大值为2,所以10+5-a=2,解得a=13.所以g(x)=10sin x-8.证明:要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)>0,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得10sin x0-8>0,即sin x0>45.由45<32知,存在0<0<3,使得sin 0=45.由正弦函数的性质可知,当x(0,-0)时 ,均有sin x>45.因为y=sin x的周期为2,所以当x(2k+0,2k+-0)(kz)时,均有sin x>45.因为对任意的整数k,(2k+-0)-(2k+0)=-20>3>1,所以对任意的正整数k,都存在正整数xk(2k+0,2k+-0),使得sin xk>45.亦即,存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)>0.22.(本小题满分14分)(2015福建,文