2020届江苏省南通市高三下学期高考考前模拟卷(九)数学试题 (2)

1、1 / 24 20202020 届届江苏省南通市高三下学期高考考前模拟卷江苏省南通市高三下学期高考考前模拟卷( (九九) )数学试题数学试题 （南通数学学科基地命题）（南通数学学科基地命题） 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案直接填写在分请把答案直接填写在答题卡相应位答题卡相应位置上置上 1. 已知集合1xax e=，2,0,2,4b = ，则集合ab的子集的个数为_ 【答案】4 【解析】 【分析】 先化简集合a，再求出交集，即可得出结果. 【详解】因为10 xax ex x=，2,0,2,4b = ， 所以2,0ab

2、= ， 因此其子集个数为224=. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查集合子集的个数，考查交集的概念，以及指数不等式的解法，属于基础题型. 2. 某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比为9:8:8，教务处为了解学生“停课不停学”期间在家的网络学习情况，现采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取容量为 100的样本进行调查，则应从高三年级抽取_名学生 【答案】32 【解析】 【分析】 先计算高三学生占的比例，再计算高三年级抽取的学生人数即可. 【详解】解：因为高一、高二、高三年级的学生人数之比为9:8:8， 所以高三年级学生占比为：8898825=+ +， 所以根据分层抽样的方法，高三年级抽

3、取81003225=名学生. 故答案为：32. 【点睛】本题考查分层抽样的知识，是基础题. 3. 已知复数 z满足()14i zai+=+（i为虚数单位），且2 2z =，则实数a=_ 【答案】0 2 / 24 【解析】 【分析】 先化简4422aazi+=+，再利用2 2z =建立方程22222442aa+=，最后解得实数a的值. 【详解】解： ()14i zai+=+， ()()4 (1)4(4)(4)4411(1)222aiiaiaa iaaziiii+=+ 2 2z =， 2244222 2aaz+=+= 解得：0a =， 故答案为：0. 【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义求参

4、数，是基础题. 4. 若从 2 个白球，2个红球，1 个黄球这 5个球中随机取出 2个球，则所取 2个球颜色相同的概率是_ 【答案】15 【解析】 【分析】 列举所有的基本事件，从中找出符合条件的基本事件，根据古典概型概率计算即可. 【详解】从 5 个球中随机取出 2个球，共有 10种基本事件，其中取出 2球颜色相同的只有 2种，所以取出两个颜色相同球的概率为15. 故答案为：15. 【点睛】本题注意考查古典概型的概率. 5. 在平面直角坐标系中，抛物线24yx=的焦点 f在双曲线()222104xyaa=上，则焦点 f 到该双曲线的渐近线的距离为_ 【答案】2 55. 【解析】 【分析】 3

5、 / 24 求出抛物线的焦点坐标，代入双曲线方程，求出双曲线方程，进而求出渐近线方程和距离. 【详解】抛物线24yx=焦点坐标为(1,0)f，(1,0)f在双曲线上2222110114= = =xyaaa 2214=yx，渐近线为2yx= ，(1,0)f到2yx= 距离为22 555d = 故答案为：2 55 【点睛】本题考查了抛物线和双曲线标准方程，点到直线距离，考查了运算求解能力，属于一般题目. 6. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 s 为_ 【答案】19 【解析】 【分析】 根据程序框图，我们知i从 1 开始在 1 至 9 中每次间隔 3 取值，故i的取值为 1,4,7，所以循环体

6、执行 3次；将i的取值分别代入，最后算出正确答案即可. 【详解】解：根据程序框图可知，循环体要执行三次循环， 第一次，11i =，10121ssi=+=， 第二次，24i =，21222 146ssi=+= +=， 第三次，37i =，32322 6719ssi=+= +=， 4109i =，故循环体结束， 最后输出19s =. 故答案为：19. 【点睛】本题主要考查程序框图、循环体相关知识，考查运算求解能力，属于基础题型. 7. 函数( )()()sin0,0f xaxa=+的部分图象如图所示，若函数( )yf x=在区间,m n上的值域为1,2，则nm的最小值是_ 4 / 24 【答案】8

7、3 【解析】 【分析】 由函数的最值求出a，由周期求出，由五点法作图求出的值，求得( )2sin()4f xx=根据函数在2，143上是减函数，f（2）2=，1413f= ，由此求得nm的最小值 【详解】由函数的最大值为 2，可得2a= 由1 26242=，可得4= 由五点法作图可得242+=，0=， 函数( )2sin()4f xx= 由于函数在2，143上减函数， 2x =时，f（2）2=，143x =时，1413f= ， 所以，若函数( )yf x=在区间,m n上的值域为1,2， 则nm的最小值是148233=， 故答案为：83 【点睛】本题主要考查由函数sin()yax=+的部分图象

8、求解析式，正弦函数的单调性的应用，属于中档题 8. 已知正六棱柱的侧面积为236cm，高为3cm，则它的外接球的体积为_3cm 【答案】1256 【解析】 【分析】 由侧面积求其底面的边长，根据正六棱柱的外接球的直径2r是其对角线的长，从而可得外接球的半径，利用外接球体积公式计算即可得到答案. 5 / 24 【详解】设正六棱柱的底面正六边形的边长为a,则根据侧面积为6336a =，可得边长为 2， 正六棱柱的外接球的直径2r是其对角线的长，则()222231695ra=+=+=， 得52r =，故外接球的体积为3441251253386vr=（cm3）， 故答案为：1256. 【点睛】本题考查

9、正六棱柱的结构特征，考查棱柱的外接球的体积问题，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题. 9. 已知函数( )| 3f xx xx=+,若()2( )20f af a+,则实数a的取值范围为_. 【答案】( 2,1) 【解析】 分析】 首先判断函数( )fx为奇函数，然后判断出( )fx的单调性，由此化简不等式()2( )20f af a+，求得实数a的取值范围. 【详解】f(x)=x|x|3x=x|x|3x=f(x),即函数 f(x)为奇函数, 当 x0 时,f(x)=x2+3x在(0,+)上为增函数, 故函数 f(x)在 r 上为增函数, f(a)+f(a22)0等价于 a2a2,解得2a

10、1. 故答案为:( 2,1). 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性和奇偶性解不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 10. 已知实数, x y满足约束条件20202xyxyx+，则2242 2xxymx+=+的最大值是_ 【答案】92 【解析】 【分析】 先将22422xxymx+=+变形为()22242ymxx=+，令22yzx=+，再根据其几何意义可得当6 / 24 2,4xy=时，()22x+和22yzx=+同时取得最大值，进而计算可得答案. 【详解】解：()()()22224222422224222xxyxxyymxxxx+=+ 令22yzx=+，则z表示可行域中的点(

11、), x y与点()2,2d 所在直线的斜率， 如图，当点(), x y为()2,4b时，22yzx=+有最大值max421222z=+=， 且此时2x =，()22x+也取得最大值8， 故当2,4xy=时， ()22242ymxx=+取最大值()4292 224222m=+=+. 故答案为： 92. 【点睛】本题考查线性规划的斜率型问题的最值求解，是中档题. 11. 已知等比数列 na的公比2q，且123301a aaa=，则36930aaaa=_ 【答案】1024 【解析】 【分析】 利用等比数列的通项公式11nnaa q=化简可得 【详解】123301a aaa=，所以229301 2

12、32911111a a q a qa qaq+ + +=3043512a=1，所以1014512a=， 所以10155369301aaaaa q=1015512a,所以1451553693022a a aa=1021024=. 故答案为：1024. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式11nnaa q=及等差数列 na的通项公式1(1)naand=+及指数运算，计算量较大，属于中档题 7 / 24 12. 在平面四边形 abcd中，已知点 e，f 分別在边 ad，bc上，3adae=，3bcbf=，3ab =，2ef =，3dc =，则向量ab与dc的夹角的余弦值为_ 【答案】5 312 【解

13、析】 【分析】 连结 ac，取点 g，使得 ac=3ag，连结 eg,fg，利用余弦定理求出角egf的余弦值，即可得出结果. 【详解】 如图，连结 ac，取点 g，使得 ac=3ag，连结 eg,fg， 则egf为ab与dc所成交的补角， 在egf中，2 31,23=egfgef由余弦定理可得, 2222 31()25 33cos122 32 13+= egf，所以ab与dc所成交角的余弦值为5 312. 故答案为：5 312. 【点睛】本题考查了余弦定理，考查解决问题能力和数学运算能力，属于一般题目. 13. 若在rtabc中，90abc=，2ab =，3bc =在abd中，45adb=，则

14、 cd 的取值范围是_ 【答案】52, 172+ 【解析】 【分析】 建立平面直角坐标系，设( , )d x y ，d 在第一象限或第二象限，根据=45adb，求出 d 的轨迹方程为圆，进而求出圆上的点到 c的距离的最大最小值. 8 / 24 【详解】 以点 b为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，a（0，2），c（3，0）， 设( , )d x y，点 d 在y轴右侧和左侧=45adb，2,=adbdyykkxx， 点 d 在y轴右侧时，22tan4512(2)1+1=+bdadbdadyykkxxy yy ykkxxxx 化简可得，22(1)(1)2,0 xyx+= 22min(3 1)(

15、0 1)252=+=cd， d 在第二象限时，22tan4512(2)1+1=+adbdbdadyykkxxy yy ykkxxxx 化简可得，22( +1)(1)2,0 xyx+=， 22max(3+1)(0 1)2172=+=+cd 所以 cd 的取值范围为： 52, 172+ 故答案为： 52, 172+ 【点睛】本题考查了用坐标法求距离的取值范围，考查了数学运算能力和转化的数学思想，属于难题. 14. 已知0 x ，0y ，43 11522xyyx+=，则xy的最小值为_ 【答案】-1 【解析】 【分析】 由已知可得15314222xyxyxy+=+（关键转化），进而利用基本不等式求解

16、. 9 / 24 【详解】15314314 2?2?72222xyxyxyxyxy+=+=, 当且仅当1,2xy=时取“=”， 1522xy+最小值为 7，xy最小值为1. 故答案为：1. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，关键在于化归与转化，属较难试题. 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤 15. 在如图所示的空间几何体中，abc是以 bc为底边的等腰三角形，m是 bc 的中点，da、eb 都垂直于平面 abc求证： （

17、1）am 平面 ebc； （2）/ /da平面 ebc 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）分别证明ambc，ebam即可； （2）证明/ /daeb即可. 【详解】（1）因为abc是以bc为底边的等腰三角形，m是bc的中点， 所以ambc， 因为eb 平面abc，am 平面abc， 所以ebam， 又因为,bc eb 平面ebc，ebbcb=， 2x. +2y. =7 10 / 24 所以am 平面ebc; （2）因为 da、eb 都垂直于平面 abc， 所以/ /daeb， 因为eb 平面 ebc，da平面 ebc， 所以/ /da平面 ebc 【点睛】

18、本题主要考查线面垂直的证明以及线面平行的证明，证明线线之间的垂直平行是关键. 16. 已知3 3cos,0,3142+= （1）求cos的值； （2）若()5 3tan,0,112+=，求的值 【答案】（1）4 37；（2）6 = 【解析】 【分析】 （ 1 ） 根 据0,2， 得 到5,336+， 由3 3cos314+=利 用 平 方 关 系 求 得13sin314+=，然后由coscoscoscossinsin333333=+=+求解. （2）由（1）知3tan12=，然后由()()()tantantantan1tantan+=+=+求解. 【详解】（1）因为0,2， 所以5,336+，

19、又3 3cos314+=， 所以13sin314+=， 所以coscoscoscossinsin333333=+=+， 3 311334 31421427=+=. 11 / 24 （2）由（1）知3tan12=， 所以()()()5 33tantan31112tantan1tantan35 3311112+=+=+， 因为0,2， 所以6 = 【点睛】本题主要考查两角和与差的三角恒等变换的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 17. 已知数列 na是公差不为零的等差数列，且11a =，4a，6a，9a成等比数列，数列 nb满足()11 21nni iiabn=+ （1）求数列 na的通项

20、公式； （2）求证：数列 nb是等比数列； （3）若数列 nc满足nnnacb=，且()*mcmn为整数，求 m 的值 【答案】（1）nan=；（2）证明见解析；（3）1m =或2m =. 【解析】 【分析】 （1）根据4a，6a，9a成等比数列可求出等差数列公差，即可求出通项公式； （2）根据()11 21nni iiabn=+及nan=可求出 nb的通项公式，即可求证； （3）由nnnacb=，分析出3n 时1nc ，1,2n =符合题意. 【详解】（1）因为11a =，4a，6a，9a成等比数列，设公差为 d， 所以2649aaa= 即()()2(1 5 )1 31 8ddd+=+, 1

21、2 / 24 解得：1d =或0d =（舍去） 所以11nann= + =， （2）因为()11 21nni iiabn=+， 所以()1 12 21 21nnnaba ba bn+=+， ()11 12 211221nnnaba babn+=+(2)n 得：()()111 2222nnnnna bnnn=(2)n , 又nan=， 所以nb=2n-1(n2)， 当1n =时，1 11a b =，即11b =，也适合12nnb=， 所以12()nnbnn=, 由11222nnnnbb+=知数列 nb是公比为 2 的等比数列. （3）12nnnnancb=， 当1n =时，11c =，2n =时

22、，21c =， 当3n 时，由12nn知1nc ，不是整数， 所以()*mcmn为整数则1m =或2m =. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比中项，等比数列的定义，数列的递推关系，考查了运算能力，属于中档题. 18. 如图，某湖有一半径为 1百米的半圆形岸边，现决定在圆心 o处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距 2 百米的点 a 处安装一套监测设备为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点 b以及湖中的点 c处，再分別安装一套监测设备，且满足abac=，90bac=定义：四边形 oacb及其内部区城为“直接监测覆盖区域”；oc的长为“最远直接监测距离”设aob= 1

23、3 / 24 （1）求“直接监测覆盖区城”的面积的最大值； （2）试确定的值，使得“最远直接监测距离”最大 【答案】（1）552+；（2）2 21+ 【解析】 【分析】 （ 1 ） 先 用表 示54 cosab= ， 再 用表 示 出s四边形oacb=sin -2cos + ，最后运用两角和差的正余弦公式求最值即可； （2）先建立直角坐标系表示出各点坐标，再用表示出点c的坐标，最后表示出94 2sin()4oc=+，最后再求最值. 【详解】解：（1）在oab中，aob=，1ob =，2oa =， 2222cosaboboaob oaaob=+即54 cosab= ， 211sin22oacbo

24、ababcsssoa obab=+=+， 5sin2cos2oacbs=+ 令tan2=，则55sin()2oacbs=+， “直接监测覆盖区城”的面积的最大值：552+. （2）以o点为坐标原点，以oa方向为x轴正方向，以垂直于oa的正北方向为y轴正方向，建立直角坐s四边形oacb s四边形oacb s四边形oacb 14 / 24 标系如图：则 o(0,0)，(cos ,sin )b，(2,0)a，设点( , )c x y， 由题意有：1abacabackk= ，即2222(2)(2cos )sinsin12 cos2xyyx+=+= 解得：2sin2cosxy=+=， 22(2sin )

25、(2cos )94sin4cos94 2sin()4oc=+=+=+， 当sin()14 =，即34=时，oc取得最大值：max94 2oc=+， ()()222max94 22 22 2 2 1 12 212 21oc=+=+ +=+=+（百米）. 当34=时，使得“最远直接监测距离”最大为：2 21+. 【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式、求sincosab+的最值，是偏难题. 19. 如图，在平面直角坐标系 xoy中，已知椭圆()2222:10 xycabab+=的离心率为12，右准线的方程为4x =，点 a 为椭圆 c的左顶点，点1f、2f分别为椭圆 c 的左，右焦点 （1）求椭

26、圆 c 的标准方程； （2）过点()(),0t tta作斜率为()0k k 的直线 l交椭圆 c于 m，n 两点（点 m在点 n的左侧），且12/ /fmf n若mamt=，求 t的值 【答案】（1）22143xy+=；（2）3t =或5t = 15 / 24 【解析】 【分析】 （1）由椭圆的离心率和准线方程可解出, a c的值，再利用222bac=可求出2b的值，从而求出椭圆方程；（2）设直线mn的方程()yk xt=，与椭圆联立可求出1212,xxx x+，由12fmf n，可得12xx，利用两根的关系建立等式22121212(=-4xxxxx x+） （），可求出()22449kt =

27、；又因为mamt=，可得makk= ，设直线ma的方程与椭圆联立可解mx，又22mtx=，可以得到224432kt=+，联立两个方程可以解出t的值. 【详解】解：（1）由条件可知：2124caac=，解得：12ca=，又2223bac=，所以方程为：22143xy+=. （2）设()()1122,m x yn xy，直线mn：()yk xt=联立方程可得： ()22143yk xtxy=+=，即()2222 23484120kxk txk t+=， ()22221222 212212 34083441234kt kk txxkk tx xk =+=+=+ ， 12fmf n，()()121,0

28、 ,1,0ff，121211yyxx=+，代入()yk xt=，有122634xxk=+, 22121212(=-4xxxxx x+） （），()22449kt= mamt=，0mamtkk+=，即makk= ，则直线ma的方程为：(2)yk x= + 联立直线和椭圆方程22(2)143yk xxy= +=得：()2222341616120kxk xk+=, ， . 16 / 24 直线和椭圆均过()2,0，所以22161234amkx xk=+，解得：226834mkxk=+, 又m为直线at的中垂线，所以22268234mtkxk=+，解得：224432kt=+ 由解得：28150tt+=

29、，即3t =或5t =，经检验，当3t =或5t =时，都成立. 所以3t =或5t =. 【点睛】本题考查由椭圆的性质求方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查学生的计算能力和转化能力，属于难题. 20. 已知函数( )()(),xf xxa eb a b=+r （1）讨论函数( )fx单调性； （2）对给定的a，函数( )fx有零点，求b的取值范围； （3）当2a =，0b =时，( )( )lnf xfxxx=+，记( )yf x=在区间1,14上的最大值为 m，且),1 ,mn nn+z，求 n 的值 【答案】（1）(),1xa ，函数( )fx单调递减；()1,xa+

30、，函数( )fx单调递增； （2）当1abe时，函数( )fx有零点； （3）4n = 【解析】 【分析】 （1）函数的定义域为r，求导得( )()1xfxxae=+，再根据( )0fx 和( )0fx 求单调区间即可； （2）结合（1）得函数( )fx在1xa=时取得最小值，且当x+时，( )f x +，故满足题意需满足( )()min10f xf a=，进而求得b的取值范围； （3）根据题意得( )()2lnxf xxexx=+，研究函数的单调性得函数( )f x在01,4x上单调递增，在()0,1x上单调递减，且01,12x，001xx e=，故()000212mf xxx=，01,12

31、x，再令17 / 24 ( )212h xxx=，1,12x，即可求得43m ，进而得4n = . 【详解】解：（1）函数( )fx的定义域为r， ( )()()1xxxxa eeefaxx+=+， 令( )0fx 得1xa，所以函数( )fx在()1,xa+上单调递增； 令( )0fx 得1xa，所以函数( )fx在(),1xa 上单调递减. （2）对给定的a，当x+时，( )f x +， 又因为函数( )fx在(),1xa 上单调递减，在()1,xa+上单调递增 所以函数( )fx在1xa=时取得最小值， 故函数( )fx要有零点，则需有( )()min10f xf a=， 即：10aeb

32、+，故1abe， 所以对给定的a，函数( )fx有零点，b的取值范围为(1,ae （3）当2a =，0b =时，( )()2xf xxe=， 所以( )( )()ln2lnxf xf xxxxexx=+=+， 所以( )()()()1111111xxxxxefxxexexxxx= +=+=， 令( )1xg xxe=，则( )()10 xgxxe=+在1,14上成立， 所以( )1xg xxe=在1,14单调递增， 由于111ln222211111=2 =02222geeee=，( )110ge= ， 所以存在01,12x，使得()00g x=，即001xx e=. 所以存在01,14x，使得

33、( )g x在01,4x上满足( )0g x ， 18 / 24 在()0,1x上满足( )0g x 所以( )fx在01,4x上满足( )0fx ，在()0,1x上满足( )f0 x ， 所以函数( )f x在01,4x上单调递增，在()0,1x上单调递减， 所以( )()()000000max022ln12xf xemf xxxxxx=+，01,12x 令( )212h xxx=，1,12x， 则( )22222220 xhxxx=在1,12x成立， 所以( )212h xxx=在1,12x单调递增， 由于11 4 142h= = ，( )11 223h= = ， 所以43m ， 因为),

34、1 ,mn nn+z 所以4n = . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点，函数的最值，考查数学运算求解能力，属于较难题. 南通市南通市 2020 届高考考前模拟卷（九）届高考考前模拟卷（九） 数学数学（附加题）（附加题） 21.21.【选做题】本题包括【选做题】本题包括 a、b、c 三小题，三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答答，若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤，若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 【选修【选修 42：矩阵与变换】：矩阵与变换】 a

35、. 已知矩阵13amb=，所对应的变换mt将直线:23lxy=变换为自身，求实数 a，b 的值 【答案】10ab= 19 / 24 【解析】 【分析】 设 p(x,y)为直线:23lxy=上任意一点其在 m 的作用下变为(),x y，再利用矩阵变换求解. 【详解】设 p(x,y)为直线:23lxy=上任意一点，其在矩阵 m的作用下变为(),x y 由矩阵的乘法可得：3xxayybxy=+=+， 代入直线:23lxy=整理得：()()2233b xay+=， 因为与:23lxy=完全一样， 所以22231ba= ， 解得10ab= 【点睛】本题主要考查矩阵变换，属于基础题. b.b.【选修【选修

36、 44：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】 在极坐标系中，已知曲线:2ccos=，直线32:12txlty= +（t是参数），且直线 l与曲线 c交于 a，b两点 （1）求曲线 c 的直角坐标方程； （2）设定点()0, 1p，求()()11papb+的值 【答案】（1）()2211xy+=；（2）33+ 【解析】 【分析】 (1)曲线c的极坐标方程两边同时乘以，再化简求解即可. (2)联立直线的参数方程与曲线c的直角坐标方程， 设a、b两点对应的参数分别为1t，2t，再利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）曲线22o:c sc=，化简得直角坐标方程为：2220 xyx+=；即22(1)1

37、xy+= ， . 20 / 24 （2）因为(0, 1)p，所以直线l过p点.将直线l的参数方程代入曲线c的方程22(1)1xy+=中， 得2231(1)( 1+)122tt+ =，即()23+110tt+ =. 设a、b两点对应的参数分别为1t，2t， 所以123+1tt+=，1 21t t =，所以()()1212+31+113t ttpabtp+=+= 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化以及直线参数方程的几何意义，属于中档题. c.c.【选修【选修 45：不等式选讲】：不等式选讲】 已知222xy+=，且xy，求()()2211xyxy+的最小值 【答案】1 【解析】 【分析】

38、 令,uxy vxy=+=，得224uv，利用柯西不等式可以求出. 【详解】令,uxy vxy=+=，则,22uvuvxy， 222xy+=，22()()8uvuv+=，得224uv， 由柯西不等式可得+)(u2+v2)4, 即+)1， 当且仅当222uv=，即 x=2,y=0 或 x=0,y=2 时，等号成立， 故()()2211xyxy+的最小值为 1. 【点睛】本题考查柯西不等式的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力. 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域内作答，解答内作答，解答时应

39、写出文字说明、证明过程或演算步骤时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22. 已知抛物线()2:20c ypx p= （1）若抛物线 c经过点()1,2，求抛物线 c的方程及其准线方程； （2）设 o为原点，过抛物线 c 的焦点作斜率不为 0的直线交抛物线 c 于 m、n两点，直线2px = 分别交直线 om，on 于点 a 和点 b求证：以 ab为直径的圆经过 x 轴上的两个定点 21 / 24 【答案】（1）24yx=，1x = ；（2）,02p或3,02p，证明见解析 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线 c 经过点()1,2，代入抛物线方程求解得到p，进而求得抛物线方程及准线方程. （

40、2）抛物线 c焦点,02p，设直线 l的方程为2pyk x=,0k ，与抛物线方程联立，由直线 om的方程为11yyxx=，令2px = ，得112apyyx= ，同理222bpyyx= ，设(),0d a，然后由0ad bd=，结合韦达定理求解. 【详解】（1）因为抛物线 c 经过点()1,2， 所以p=2， 所以抛物线 c 的方程24yx=及其准线方程为1x = ； （2）抛物线 c 的焦点()1,0， 当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为2pyk x=0k ，()()1122,m x yn xy， 由222pyk xypx=，得()22222420kkppxpkx+=+， 所以2124px x =，y1y2=-p2,直线 om的方程为11yyxx=， 令2px = ，得112apyyx= ，同理222bpyyx= ， 设(),0d a，则11,2 2pypadax=+，22,2 2pypbdax=+， 所以2222212121202422p y ypppad bdaay yapx x=+=+=+=， 解得2pa =，32pa = 22 / 2