2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国Ⅱ卷)理 (2)

1、1 / 14 绝密 启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学(全国卷,理) (本试卷共 4 页,23小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 u=-2,-1,0,1,2,3,a=-1,0,1,b=1,2,则u(ab)=( ) a.-2,3 b.-2,2,3 c.-2,-1,0,3 d.-2,-1,0,2,3 2.若 为第四象限角,则( ) a.cos 20 b.cos 20 d.sin 20,b0)的两条渐近线分别

2、交于 d,e 两点.若ode 的面积为 8,则 c 的焦距的最小值为( ) a.4 b.8 c.16 d.32 9.设函数 f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则 f(x)( ) a.是偶函数,且在(12, + )单调递增 b.是奇函数,且在(-12,12)单调递减 c.是偶函数,且在(-,-12)单调递增 d.是奇函数,且在(-,-12)单调递减 10.已知abc是面积为934的等边三角形,且其顶点都在球 o 的球面上.若球 o的表面积为 16,则 o到平面 abc 的距离为( ) a.3 b.32 c.1 d.32 11.若 2x-2y0 b.ln(y-x+1)0 d.ln|x-

3、y|b0)的右焦点 f 与抛物线 c2的焦点重合,c1的中心与 c2的顶点重合.过 f且与 x 轴垂直的直线交 c1于 a,b两点,交 c2于 c,d两点,且|cd|=43|ab|. (1)求 c1的离心率; (2)设 m是 c1与 c2的公共点.若|mf|=5,求 c1与 c2的标准方程. 20.(12分) 5 / 14 如图,已知三棱柱 abc-a1b1c1的底面是正三角形,侧面 bb1c1c是矩形,m,n分别为 bc,b1c1的中点,p为 am 上一点,过 b1c1和 p的平面交 ab 于 e,交 ac于 f. (1)证明:aa1mn,且平面 a1amn平面 eb1c1f; (2)设 o

4、 为a1b1c1的中心,若 ao平面 eb1c1f,且 ao=ab,求直线 b1e 与平面 a1amn所成角的正弦值. 21.(12分) 已知函数 f(x)=sin2xsin 2x. (1)讨论 f(x)在区间(0,)的单调性; (2)证明:|f(x)|338; (3)设 nn*,证明:sin2xsin22xsin24xsin22nx34. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,并用 2b铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分,如果多做,则按所做第一题计分。 22.选修 44:坐标系与参数方程(10分) 已知曲线 c1,c2的参数方程分别为 c1: = 4

5、cos2, = 4sin2( 为参数),c2: = +1, = -1(t为参数). 6 / 14 (1)将 c1,c2的参数方程化为普通方程; (2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 c1,c2的交点为 p,求圆心在极轴上,且经过极点和 p 的圆的极坐标方程. 23.选修 45:不等式选讲(10 分) 已知函数 f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|. (1)当 a=2时,求不等式 f(x)4的解集; (2)若 f(x)4,求 a的取值范围. 2020 年数学(全国卷,理) 查缺补漏表 题组及考查主题 题型 考查要点和核心素养 查缺补漏 1(集合) 选择题 集合的基本运算

6、(并集、补集);数学运算 9,11,21(函数与导选函数的奇偶性、单调性;数 7 / 14 数) 择题 学运算 选择题 函数的单调性;逻辑推理 解答题 应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的最值;数学抽象、逻辑推理、数学运算 2,17(三角函数与解三角形) 选择题 三角函数在各象限的符号,二倍角公式;数学运算 解答题 正弦定理、余弦定理,两角和与差的正弦公式,正弦函数的性质;数学运算 13(平面向量) 填空题 平面向量的数量积;数学运算 4,6,12(数列) 选择题 等差数列的性质,等差数列的前 n 项和;数学运算 选择题 等比数列的判定,等比数列的前 n 项和;数学运算 选择题 数列的

7、应用;逻辑推理、数学运算 7,10,16,20(空间向量与立体几何) 选择题 求空间几何体的基本元素;直观想象 选择题 球的切接问题,线线、线面的位置关系;直观想象、数学运算 填空题 空间点、线、面的位置关系;直观想象,逻辑推理 解答题 空间线线平行、面面垂直的证明、线面角;直观想象、数学运算 5,8,19(平面解析几何) 选择题 直线与圆的位置关系,点到直线的距离,直观想象、逻辑推理、数学运算 选择题 双曲线的几何性质,基本不等式;直观想象、逻辑推理、数学运算 解答题 求椭圆的离心率,椭圆、抛物线的定义、几何性质、标准方程;逻辑推理、数学运算 续 表 题组及考查主题 题型 考查要点和核心素养

8、 查缺补漏 3,14,18(计数选概率应用,数学 8 / 14 原理与概率统计) 择题 运算 填空题 排列组合;数学运算 解答题 样本估计总体,相关系数,分层抽样;数学建模、数据分析 15(复数) 填空题 复数的运算,复数的模;数学运算 22(坐标系与参数方程) 解答题 极坐标与参数方程;直观想象、数学运算 23(不等式选讲) 解答题 绝对值不等式,分段函数;直观想象、逻辑推理 【试题分析】 2020年全国卷理科数学,突出对基础知识(约占 40%)以及主干内容的考查,如函数与导数(22分),立体几何(27分),解析几何(22分),计数原理与概率统计(22分),三角函数与解三角形(17分).纵观

9、全卷,在稳定中求创新,重视对学生基本数学素养、思想方法与能力的考查,关注学生的应用意识与创新意识,试卷梯度明显,有良好的区分度.试题重视数学本质,突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用,突出对关键能力的考查.第 12题不仅考查学生运用所学知识分析、解决问题的能力,而且也考查了学生的观察能力、运算能力、推断能力与灵活运用知识的综合能力.第 21题考查学生利用导数判断函数单调性的方法、导数公式和导数运算法则,综合考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力、推理论证能力和数学语言表达能力.第 3题以新冠疫情期间,订单配货的概率设计问题,考查学生的逻辑思维能力.第 4题以北京天坛为背景,设计了

10、数列的计算问题,将数列的基本知识与文化遗产有机结合,考查学生的分析能力和提升学生的数学文化素养. 1.a ab=-1,0,1,2,u(ab)=-2,3.故选 a. 2.d 为第四象限角,sin 0, sin 2=2sin cos 0),则(2-a)2+(1-a)2=a2, 解得 a=1或 a=5.当 a=1时,圆心为(1,1),此时圆心到直线 2x-y-3=0的距离为 d1=|2-1-3|5=255. 当 a=5时,圆心为(5,5),此时圆心到直线 2x-y-3=0的距离为 d2=|25-5-3|5=255. 综上,圆心到直线 2x-y-3=0的距离为255.故选 b. 6.c am+n=am

11、 an,令 m=1,又 a1=2,an+1=a1 an=2an, +1=2,an是以 2为首项,2为公比的等比数列, an=2n. ak+1+ak+2+ak+10=2k+1+2k+2+2k+10=2k+11-2101-2=2k+11-2k+1=215-25. + 11 = 15, + 1 = 5,解得 k=4. 7.a 8.b 由题意可知,双曲线的渐近线方程为 y=x. 因为直线 x=a与双曲线的渐近线分别交于 d,e两点, 所以不妨令 d(a,-b),e(a,b), 所以|de|=2b.所以 sode=122b a=ab=8. 所以 c2=a2+b22ab=16,当且仅当 a=b=22时取等

12、号. 所以 c4,所以 2c8.所以双曲线 c的焦距的最小值为 8. 故选 b. 9.d 由题意可知,f(x)的定义域为| 12,关于原点对称. f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|, f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x), f(x)为奇函数. 当 x(-12,12)时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x), f(x)=22+1-21-2=4(2+1)(1-2)0, 10 / 14 f(x)在区间(-12,12)内单调递增. 同理,f(x)在区间(-,-12),(12, + )内单调递减. 故选 d. 10.c 设等

13、边三角形 abc的边长为 a,球 o的半径为 r,abc的外接圆的半径为 r,则 sabc=34a2=934,s球o=4r2=16,解得 a=3,r=2.故 r=2332a=3. 设 o到平面 abc的距离为 d,则 d2+r2=r2, 故 d=2-2= 4-3=1. 故选 c. 【方法速记】在等边三角形中,设其边长为 a,则高 h=32a,面积 s=34a2,外接圆的半径 r=33a,内切圆的半径 r=36a. 11.a 2x-2y3-x-3-y,2x-3-x2y-3-y. f(t)=2t-3-t在 r 上为增函数,且 f(x)f(y), x0,y-x+11, ln(y-x+1)ln 1=0

14、.故选 a. 12.c 周期为 5,m=5. c(k)=1=1aiai+k=15=15aiai+k(k=1,2,3,4). c(k)15(k=1,2,3,4),=15aiai+k1(k=1,2,3,4). 将选项代入验证可知,只有选项 c符合题意.故选 c. 13.22 由题意可知,a b=|a|b|cos 45=22. ka-b 与 a 垂直, (ka-b) a=k|a|2-a b=k-22=0,k=22. 14.36 由题意可知,必有两名同学去同一个小区,故不同的安排方法共有c42a33=36(种). 15.23 设 z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,dr. |z1|=|z2|=

15、2,a2+b2=4,c2+d2=4. 又 z1+z2=(a+c)+(b+d)i=3+i,a+c=3,b+d=1. (a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4. 2ac+2bd=-4. (a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12. |z1-z2|=(-)2+ (-)2=23. 11 / 14 16. p1,p4为真命题,p2,p3为假命题, p2,p3为真命题, p1p4为真命题,p1p2为假命题,p2p3为真命题,p3p4为真命题. 故填. 17.解 (1)由正弦定理和已知条件得 bc 2-ac 2-a

16、b2=ac ab. 由余弦定理得 bc 2=ac 2+ab2-2ac abcos a. 由得 cos a=-12.因为 0a,所以 a=23. (2)由正弦定理及(1)得sin=sin=sin=23,从而 ac=23sin b,ab=23sin(-a-b)=3cos b-3sin b. 故 bc+ac+ab=3+3sin b+3cos b=3+23sin( +3). 又 0b3,所以当 b=6时,abc周长取得最大值 3+23. 18.解 (1)由已知得样本平均数 =120=120yi=60,从而该地区这种野生动物数量的估计值为60200=12 000. (2)样本(xi,yi)(i=1,2,

17、20)的相关系数 r=i=120(-)(-)=120(-)2=120(-)2=800809 000=2230.94. (3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对 200个地块进行分层抽样. 理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计. 19.解 (1)由已知可设 c2的方程为 y2=4cx,其中 c=2-2. 不妨设 a,c在第一象限,由题设得 a,b的纵

18、坐标分别为2,-2;c,d的纵坐标分别为 2c,-2c,故|ab|=22,|cd|=4c. 由|cd|=43|ab|得 4c=823,即 3=2-2()2,解得=-2(舍去),=12.所以 c1的离心率为12. (2)由(1)知 a=2c,b=3c,故 c1:242+232=1. 设 m(x0,y0),则0242+0232=1,02=4cx0,故0242+403=1. 12 / 14 由于 c2的准线为 x=-c,所以|mf|=x0+c,而|mf|=5,故 x0=5-c,代入得(5-)242+4(5-)3=1,即 c2-2c-3=0,解得 c=-1(舍去),c=3. 所以 c1的标准方程为23

19、6+ 227=1,c2的标准方程为 y 2=12x. 20.(1)证明 因为 m,n分别为 bc,b1c1的中点, 所以 mncc1. 又由已知得 aa1cc1,故 aa1mn. 因为a1b1c1是正三角形, 所以 b1c1a1n. 又 b1c1mn,故 b1c1平面 a1amn. 所以平面 a1amn平面 eb1c1f. (2)解 由已知得 ambc.以 m为坐标原点, 的方向为 x轴正方向,|mb |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 m -xyz,则 ab=2,am=3. 连接 np,则四边形 aonp为平行四边形,故 pm=233,e233,13,0 . 由(1)知平面 a1amn

20、平面 abc.作 nqam,垂足为 q,则 nq平面 abc. 设 q(a,0,0), 则 nq=4-(233-)2, b1(,1,4-(233-)2), 故1 = (233-,-23,-4-(233-)2),|1 |=2103. 又 n=(0,-1,0)是平面 a1amn的法向量, 故 sin(2- )=cos 13 / 14 =1 |1 | =1010. 所以直线 b1e与平面 a1amn所成角的正弦值为1010. 21.(1)解 f(x)=cos x(sin xsin 2x)+sin x(sin xsin 2x) =2sin xcos xsin 2x+2sin2xcos 2x =2sin xsin 3x. 当 x(0,3) (23,)时,f(x)0;当 x(3,23)时,f(x)0. 所以 f(x)在区间(0,3),(23,)单调递增,在区间3,23单调递减. (2)证明 因为 f(0)=f()=0,由(1)知,f(x)在区间