初二八年级数学下册易错知识点总结

1、方法1:列代数式的常用方法列代数式的常用方法IOaVab-5(1)直接法:根据问題的语喜叙述直接写岀代数 式.(2)公式法:根据公式列出代;琛究规律法:将直含在一组:7组图形中的排列规徉用代数式表示出来.方法2 :综合法已知X为任意实数化简:Jx2-2x + 1÷ 2 + 6x + 9-方法号引：I分畀方I W4l*"r" 合 一 (I)K-It (2)-KrCh (>)»1*nt 一丹三IMIl况分H化H=(KtaP×5÷15) ab -÷当 a=6.b=8 时.原式=竺空 6Vg=160 ×43=6403

2、.3类比法二次根式乘除混合运算的运算方法与整式乗除 混合运算的运算方法相司蓉式乘除法中的一些 公式、法则在二次根式乘除法中仍然适用在运 算时更注意运算符号和运算顺序,若彼开方数JI 带分数要先化为假分数.方法5 :比较两个二次根式大小的方法比较大小：(1)72 3TT;(2)-2VTr-35.+ 3)2=IX 叫+×÷3.当 x<3 时,×-l<0,x÷3<0, 原式=(I-X)÷(-x-3)=-2×-2 当-3xIX-I0,x÷30, 原式=l-x+×+34.当 x>lftlx-l>

3、Olx÷3>Or.JC=x-l ÷x+3=2x÷2.方法3 :判断二次根式晟不是最简二次很式的方 法利断二;欠根式是不Jue简二欠根式的方法 判断二次根式是不屋晟简二次根式,首先看被开 方数中是否有分母，如栗有分母,那么一定不是 锻简二次根式;如果没有分母,再看玻开方数中 是否含有开得尽方的因数或因式,如果有,那么 一定不是最简二次根式,如果没有,那么它就煨 吊简二次根式.先根据二次根式乘除运算法则把原式化简,然后 代入求值.解:IW)-： 72=7t32=98,3TT32× ll=99r且 98<99.98 < 99r.72 <

4、 3 解法二:.7>0,3>0,且(7)2=72()2 =49x2=98X3TT)2=3×(TT)2=9×11=99, 98<99,(7)zW (3E. .72 W 3T.(2)-2 11 = -44f - 3 vl5=- v,r45 .44<45f'44<45 > 7转即2 >-35.比较两个二根式大小的方法比役两个二次根式的大小,可转化为比校两个二 次根式中被开方数的大小,即可先将根引卜的正 因数平方后移到根号内,计算出被开方数I然后 比较被开方数的大小,被开方数大的,其算术平 方根也尢反之,真算术平方根就小,由此可得两

5、 个二次很艺的大小;若两个二次根式同号,也可 将两个二次根式分别平方,比较计算出的结樂即 可.方法6 :作差法与作商法比较大小 例比较4 曲与2+曲的大小. 解：(4-3)23)=4-3-2-3=2-23=2(1-3). vV3>lrJ(l.V3)<0.,.4-3<23 例2比较与¥的大小.思路点拨：先计算两个二次根式的商,并通过比较这个商与 1的大小关系来确宦这两个二次根式的大小解：7Lg 722r7 28287 5 55 525v25J25 1"'52 "2作差法与作商法比较大小作差法:如果两个式子中出现某些被开方数 相同的最简二欠根

6、式,堆采用作差法比较大小. 对 a,b 来说,若 a-b> 0,则 a>b;S a-b=0,则 a=b; 若 a-b<0f 则 a<b作商法:a,b都是正甑若半> 1,则a>b;若汐， 则 a=b;若 <UJa<b.方法7:整体代入法已知 x=j(7+5),y=j(7-5)tmc ×2-xy 纱2的值思路点拨：根据,y的特殊结构,可以先求出+y与Xy的值 再将所求代数式转化为含有×÷y与Xy的形式， 最后将所求的÷y,y的值代入化简后的结果进 行计算求值.解：×=(7+5),y=(7-5),.-.

7、×+y=7,xy=-L 13 11.2 xy+y2(x+y)2-3×y(7)2-3-7-=-.曲代入法用整体代入法求代数式的值如果所求代数式中含有某些持殊的整体,并且这 些整体的取值已短或者能够很容易地求得,那么 我们可以将这些整体的值直接代入求值从而简 化计算过程.方法8:对比呈现法阅读下列材料,并解答问题1 2?2-逅22+ (2+2)(2-2)22 ,132-2332-2332÷23 (32+23)(32-23)62 32 3 '14r3-344f3-3443+3V4*(43+34)(43-34) 123 4 =I34154-4554-455Q+4(

8、5v+4Vs)(5*4-4*5)'204 5=若n为正整数,用含n的等式衰示你发现的规 律； 利用你发酗规律计算越T祐丽1 143+34*2524+2425解：1Vrn n+l(n+l)v,H+nn+l n n+12+*3+25°45+3h *25vr24 + 2452 23 424 25=1÷-÷ + 22334242525=11=174本題中对比呈现i去2 1 1可写成丽TlTrT,这样规褻题中给出的四个式子及化简结果 易得出规律.(2)遇到此类规律探究题时,要注意对比呈现这 样更易找到规律.方法9 :代换法已知仮W=2,求卜+吉+14的值.方法导引：

9、OI W.*>X为(0S2I FI代” fl1 砂 PM订钩"+网解:.x=2fVX2（低） S1/.x+-=6.y2+占+Wy（x +驴+ 12,把x+i=6代入上式,得X方法1:构造法已知在 ABC 中lzB=60,AC=50fAB=20,求 BC的长.恩路理拨：通过作BC边上的高AD可以将原ABC转化 为两个自角三角形利用直角三角形的相关性质 及勾股定理求岀BD和DC的长,最后求和即可 得到BC第长.解：作出示意图如下图,过点A作AD丄BC于点D.62 ÷ 12=48=43.Jx2+14=43.VZB=60oADB=90°.zBAD=30of.-.BD

10、=-AB=IO.2在RuABD中.AD2=AB2-BD2=23102=300,在RtmDC中.DuJAC JAD ' = 50人300=10,.BC=BD+DC=10+1022.构造法利用勾股定理求域段的氏是勾股定理的一个重 要应用当题目中没有直角三角形时,往往作垂 线构造直角三角形,然后利用勾股定理可求得找 段的长但是构造言角三角形时,尽不要破坏 已知条件中的特殊角和已知的边方法2:方程（组）法已知一岂角三角形的斜边长为2,周长为2÷6r 求此三角形的面积.解：设这个直用三角形的两条直角边长分别为a,b, 则Z + b + 2 = 2 + VeiDtjfa + b = 6,

11、 （D Ui2 + b2 = 22,（a2 + b2 = 4.将两边平方得a2+2ab+b2=6.,得 2ab=2r -ab=-此三角形的面积为老方程（组）法在几何图形中,要求线段的长,可将其设为未知 數利用相关圈形的性质、几何定理等建立方程 或方程组求解.方法3 :转化法例1：如下图在四边形ABCD中IAB=AD=6,zA=60o,ZADC=I50°,ZABC=90°,求四边形 AB-CD的面积.解题流程：延长ADrBC交于点E,如下图.VZB=90o,zA=60olzE=30o.如下图,连接BD,过点D作DE丄AB于点E.EAB=AD=6,zA=60or上ADB为獰边三

12、角形， zABD=zADB=60o,BD=6,.AE=AB=6=3.O在RaADE中.DE= JAD 2-AE 262-32 3v31 .*SaadbABDE×6×3393.VZADC=150OfZADB=60or zCDB=90o.在 RtaBDC 中" 在 RUABE 中.AB=2,.AE=4 BE=JAE 2-AB 22>3. . S ab=-AB BE=-×2×2z3=23.2 2在 RtaE 4zCDE=90o,CD=L CE=2.DE=JCE 2CD2=3.S-co=E CD=-× vr3×l= 2 2 2

13、S 233形 ABCC=S-ABt-S-CDE转化法不规则图形的面枳不易直浸求得,往往通过转化 法将不规则图形的面积转化为规则圏形面积的 和或空如例1中将四边形面积转化为等边三角 形和直角三角形的面积和,例2中将四边形面枳 转化为两个直角三角形的面积差.方法4 :构造法如下3B,已知AD是'ABC的中耀. 求证:AB2+AC2=2(AD2DC2).ZDBC=ZABC-ZABD=90o-60o = 30ot BC=2DC.由勾股定理丽BCgDC2*BD- 即(2DC)2=DO÷62.DC=23. S 四捉 A8CD = S ADB*S BOC = 9÷63 = 153

14、.名卿导:如何得到AE?答:等边三角形的"三龄一"BC与DC的数量关系的依据是什么？ 答:在直角三角形中,如果一个说角等于30。,那 么它所对的直角边蒔于斜边的一半 例2 :如下圃已知在四边形ABCD中,AB=2, CD=l,zA=60° 上 B=ZD=90°,求四边形 ABCD 的面积.思路点拔：垠据已知条件,延长AQBC交于点E,将原四边 形的面积转化为ABE与CDE的面积差.解：俞顾立煮：本题考查了勾股定理的应用考查转化能力和逻 視准理能力.证明：过点A作A三丄BC垂足为点E如下图在 RtABE,Rt- ACE 和 Rt-ADE 中， AB=AE2

15、÷BEAC2=AE2÷CE AE=ADED.ABUAG= (AEBE)÷(AE+CEO2AE2+BE2+CE2=2(ADEDO÷(DB-EDF÷(DC÷EDP 2AD2-2ED+DB2-2DB ED* ED, * DCf 2DC ED ED =2AD÷D÷D+2ED(DC-DB). 又. AD是ABC的中线，/.DB=DC, AB24AC2=2AD2+2DC2=2(AD2+DC2).构造法构造直角三角形,利用勾股宦理把需要证明的线 段联系起来一般地,当遇到涉及线段之间的平 方关系冋题时,通常沿这个思路去分析问题.方

16、法5:数形结合法如图,一艘海轮位于灯塔P的东北方向.距胡灯402海里的A处它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30。方向上的 B处则海轮行驶的路程AB约为海里（结果保留小数点后两位）解题流程:解析：海轮沿正南方向航行，-AB 丄 Pu.zA=45,zB=30o.-.AC=PC.在Rt -ACP电很据勾股定理,得AG+PG=AP<.AP=402,/AC=PC=40.在 RMBeP 中（ZPCB=90,zB=30, .PB-2PC-2×40-80.由勾股定理,得BC2=PB2PC4即 BC =Nl PB *'-PC 2 =80i-40i=T0 69.282.A

17、B=AC*BC=40+69.282109.28.海轮行驶的路程AB约为109.28海里答案：109.28在解决航海冋題时,常依据航向和F蒯确定已知 边和已知角,然后构造百角三角形利用勾股定理 求解.方法6:几何变换法如下BB,MN表示一条铁路,A,B分别理两个城 市,它们到铁路所在吉线MN的垂首距高分别 为 AA=20 kmfBB40 kn%且 AIBI=80 km. 现要在AbBl之间设一个中转站P,使两个城市 到中转站的距离之和媳短,谴你设计一个方案确 走点P的位,并求这个最短柜海.解题流程：nHM.4M2JU W1JXMM>*WUL 二金応 >K解：如下图,作点A关于育綾MN

18、的对称点A：连接 AB交MN于一為则此点就理要确定的中转站 的位应即点P,连接AP,昴短距圏即为AP÷BP. 过点A作A B,丄BBn交BBl的延长纯于点B*.在 Rt- A BB,AB,=AB=80,BB=BBI+ BlB,= BB÷A1A,=BB1÷AA1=40÷20 =60r所以 A,B2=AB,2÷BB,2802÷602=100 所以 A1B=IOO 由点的对称性知AP÷BP=AP÷BP=AB=1OO. 所以这个最短距离为100 km.几何变换法解决最短距离问题时篇采用几何变换法本題 通过轴对称,使分散的条

19、件（线段AAbBBI,AiBi） 相对集中,再利用勾股定遅求得最短距离.方法7:数学律模法为丰富少年儿畫的业余文化生活,某社区要在如 下图所示的直线AB上建一图书阅览皇该社区 有两所学枝听在的位置分别在点C和点D处. 己知 AC丄AB 于 AiBD丄 AB 于 B,AB25 kmz AC=15 km3D=10 km.试问S书阅览室E建 在距A多少千米处才能使它到C1D两所学校 的距冏相铮？方法导引：H 一 lhM<'AaMf> * t4Cielfn4 AClfJlDiy cr-fl>. Mg-"赳O一旬定力解：设图书阅舷E到A的距高为X ICm则EB= （2

20、5x）km连接CEED,如下圈.在 Rf EAC 和 R"EBD 电CE2=AE2÷AC2=x2÷15<EDEB"BD(25x)*:Ig因为点E到点CQ的距离相等,即CE=EDf 所以 CE2=ED(即 2+152=(25x)2*102,解得 X=I0.所以图书阅览室E建在距AIO km处才能使它 到CQ两所学枝的柜离相停.方法8 :公式法公式法勾股数的求法如果a是一个大于1的奇数c Jl两个连续 的自然数,且有a2=b+c,则a,b,c为一组勾股数. 例如45为两个连续的自然数,且3“4+5,则3, 4,5为一组勾股数;另外站5,12,13;7,

21、24,25;9, 40,41;如果mrn是两个正整敎且m>n,8么m2÷ n2,m2-n2,2mn为一组勾股数.若h>l.fih是整数那么h2+l,h2i,2h为 一组勾股数.方法9 :辅助线法如下图"在*ABC 中rzACB=90o,AC=BC P 星ABC 内一点,且 PA=6,PB=2,CP=4求 fflE：ZBPC=I35AZEPB=90°.AZBPC=ZCPE+zEPB=45o+90o=135o.辅助线法当已知条件比较分散且无法直接使用时,往往通 过作辅助钱将有用条件集中到一个三角形中,再 利用相关知识进行计算或证明.命题立意：本题考直了旦条

22、的性质.全辱三用形的判足和 性质、勾股定理及其逆定理考査综合运用三角 形的相关知识解决问题的能力.证明：如下凰过点C作CE丄CP,使CE=CPM连播PEBE,则 ZCPE=45°.VZACP+zPCB=zPCB+zBCE=90o. .zACP=zBCE.XVCP=CElAC=Be.,AC"ABCE.BE=PA=6 在RuPCE中.PE2=CP2CE24242=32在APEB ,PE+PB32÷22=36.又 vBE2=6236fPE2+PB=BE2. NI"4M £ A K A A方法1：分类法如图,在 ABCD ,EF /AB /DC,AD

23、/GH /PQU BC1EF与GH相交于点M,与PQ相交于点N, 图中有多少个平行四边形?把它们衰示出来.思路点拨：本题可按照分别由一个四边形、两个四边形、 三个四边形、四个四边形、六个四边形组成的 平行四边形的个数进行统计解：图中共有18个平行四边形.单独一个四边形是平行四边形的有6个： DEMHl HMNQ QNFC, EAGMfQMGPM °NPBF.由两个四边形组成的平行四边形有7个： DAGH, HGPQ, QPBC, DENQ HMFC, °EAPN, MGBF.由三个四边形组成的平行四边形有2个： QDEFC EABF.由四个四边形组成的平行四边形有2个：QD

24、APQ =HGBC.由六个四边形组成的平行四边形有1个：-ABCD.分类法数几何圏形的个数数几何图形的个数时,往往带有很大的盲目性 结果不是多数了就期!数了 若特几何闔形分类 （按顺序或大小）数,就能将问题简化.如本题中将 平行四边形分为分别由一4两个、三个、四 个、六个四边形组成的平行四边形,这样就能做 到不堇不滴方法2：方程（组）法如下凰在ABCD中MAuB=40°,求ABCD各 角的度数口解：四边形ABCD 平行四边形， zA+zB=180o.又. zAzB=40: 由可得上A=110o,zB=70o.四边形ABCD是平行四边形， AZC=ZA=IIOOrZD=ZB=70

25、76;.方程（组）法求解本题时,可将ZArZB 乍两个未知釵先 用平行四边形的邻角互补,得zA÷B=180o,再 将上式与ZAjB=40。联立成方程（组）进行求解.方法3:比较法比较法三种距高之间的区别与联系 <.«方法4:分析法如下图,在四边形ABCD中,AD Be,且AD> BCl BC=6 cm,点P,Q分别从A）C同时出发”点P以 1 CmZS的速度由A向D运动点Q以2 cm/s 的速度由C句B运动,经过几秒后四边形AB- QP衆平行囚边形？方法导引：一贰出*車卑分O_HQTT9 fftt）O HReiD*Ra*4-C-<Q. B-2a解：设经过X

26、 S后四边形ABQP是平行四边形,则 AP=BQ.VAP=KBQBC-CQ=6-2×,x=6-2x,解得x=2.经过2 S后四边形ABQP是平行四边形方法5:综合法如下图,已知E为ABCD中DC边的延长线上 的一点,且C=DC旌接AE,分别交BCBD于点 F,G连接AC交BD于点0,连接OF.猜想AB 与OF之间的数童关系并说明理由命题立意：本题考童了平t亍四边形的性质、羽邈的性 质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位 疑理.方法导引：一 q4owh r 亠 倉已出!«诫IUA合ZU>ZifFC. MY，法I含*需密三閔林切»稈4论解：AB=20F理由如下

27、：四边形ABCD是平行四边形，/.AB/Dcab=DCAO=CO .AZBAF=ZCEFIZABF=zECF.VCE=DCAB= DC .AB=CE.MAFB 半 EFC .B"CF由 AO=COZBF=CF得 OF=*AB.AB=20F.方法6 :掏Ifi法如下图,四边形ABCD中,AB=CD点G,H分别 是BcAD的中 BAfCD的延长线分别交GH 的延长线于点E,F.猜想ZAEH与ZF的关系,并 说明理由.gmJab,gmab, zAEH=z2 XvAB=CDt /.GM = HM .l=z2.zAEHzF.构造法 解决含有一个或多个线段中点的几何问題的关 键理恰当地添加辆助线

28、,如延长中线、构造三角 衣的中位线等,然后借助中线或中位&的相关知 识进行解答.方法7:定义法定义法(1) 是义既是性质,也是判迄方法定义的双重性 在解决问题时经常用到,要领会、拿握.(2) 用定义个四边形理矩形必须同时满足 两个条件： 平行四边形； 个角星育角.方法8:图示法1示法判定矩形的划见思路<I g y. 5解题流程:4M4C.K<v t.<W HW方法9 :解决矩形折问题的方法如下图,把一张矩形纸片ABCD沿EF折聲后,点 D1C分别落在点D'C的位置上ED'与BC的交 点为G若ZEFG=55°求/AEG和/EGB的度数解：ZAE

29、H=ZF.3 由如 U连接ACIig AC的中点为M,连接HM,GM,如下 图.点HSAD的中点.HM=D,HMCD,.zF=zl.又点G是BC的中点思路点拨：由矩形的性质可得AD/BC,再通过折叠、平行 线的性质即可求出ZAEG和ZEGB的度数.解：四边形ABCD为矩形，AD/BC.zDEF=zEFG = 55o,zDEG=zEGB. 矩形纸片ABCD沿EF拆工 zDEG=2zDEF=110o.zAEG=180o-DEG=70 ZEGB=ZDEG=110°.解决矩形折ft，可题的方法折*的性质:折*胡后折部分的图形能够 完全重合,且对应边咱等,对应角相等此类问题往往通过图形间的折整

30、找出折整部 分与原图形之间线段或角的联系,从而得 部分与原圉形或其他12形之间的关系 方法10 :转化法如下图，ABCD的对角线AC的垂直平分线与 AD,BC,AC分别交于点E,FQ,连接AF,EC,则四 边形AFCE是羡形吗?为什么？方法导引:I刊出已Idxm对角dC第甲分转O化I为績化 AWBHftBAqfl解：四边形AFCE是菱形理由如下: EF在Ae的垂直平分线上， AE=CElAFCFfzl=z3.四边形ABCD是N行四边形. /.AD BC/.zl=z2 /.z2=z3 /.CE=CF /.AE=CE=CF=AF 四边形AFCE是菱形.方法11:園示法图示法平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化 关系,如下圏所示：/V甘吋号/平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的从属 关系如下囲所示：方法12 :转化法O方形ABCD中MN分别在BcCD上 ZMAN=