二次根式复习讲义

1、二次根式复习讲义知识点一 :二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义【典型例题】【例 1】下列各式 (1 ）22211,2)5,3)2,4)4,5)() ,6)1,7)2153xaaa，其中是二次根式的是_（填序号 ) 举一反三 : 1、下列各式中, 一定是二次根式的是（）a、a b、10 c 、1a d 、21a2、在a、2a b、1x、21x、3中是二次根式的个数有_个【例 2】若式子13x有意义 , 则 x 的取值范围是举一反三：1、使代数式43xx有意义的x 的取值范围是（ ) a 、x3 b、x 3 c、 x4 d

2、 、x3 且 x4 2、使代数式221xx有意义的 x 的取值范围是3、如果代数式mnm1有意义 ,那么， 直角坐标系中点p （m ，n) 的位置在 （）a、第一象限b、第二象限c、第三象限d、第四象限【例 3】若 y=5x+x5+2009，则 x+y= 解题思路 : 式 子a(a 0） ，50,50 xx5x,y=2009 ，则 x+y=2014举一反三：1、若11xx2()xy，则xy的值为 ( ）a 1 b1 c2 d3 2、若 x、y 都是实数，且y=4x233x2, 求 xy 的值3、当a取什么值时，代数式211a取值最小，并求出这个最小值。4、已知 a 是5整数部分， b 是5的小

3、数部分，求12ab的值。5、若3的整数部分是a，小数部分是b, 则ba3。6、若17的整数部分为x, 小数部分为y，求yx12的值。知识点二 :二次根式的性质【知识要点】1。 非负性：a a()0是一个非负数注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到 2. ()()aaa20注意：此性质既可正用, 也可反用， 反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：aaa() ()20 3. aaa aa a200| |()()注意： （ 1) 字母不一定是正数(2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替 (3） 可移到根号内的因式， 必须是非负因式, 如果因

4、式的值是负的, 应把负号留在根号外 4 。 公式aaa aa a200| |()()与()()aaa20的区别与联系（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数（2）()a2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数 (3）a2和()a2的运算结果都是非负的【典型例题】【例 4】若22340abc，则cba举一反三 :1、若0)1(32nm，则mn的值为。2、已知yx,为实数，且02312yx，则yx的值为 ( ）a 3 b 3 c 1 d 1 3、已知直角三角形两边x、y 的长满足 x24652yy0，则第三边长为 . 4、若1ab与24ab互为相反数，则2005_ab。

5、（公式)0()(2aaa的运用）【例 5】化简 :21(3)aa的结果为 ( ）a、42a b 、0 c、2a4 d 、4 举一反三：1、在实数范围内分解因式:23x= ;4244mm= 429_,2 22_xxx2、化简：33 133、已知直角三角形的两直角边分别为2和5，则斜边长为(公式)0a(a)0a(aaa2的应用）【例 6】已知2x,则化简244xx的结果是a、2xb、2xc、2xd、2x举一反三：1、根式2( 3)的值是 ( ）a 3 b3 或 3 c3 d9 2、已知 a 0,那么2a 2a可化简为（）a a b a c 3a d3a 3、若23a，则2223aa等于（ ) a。

6、52a b。12a c. 25a d. 21a4、若 a30，则化简aaa4962的结果是（）(a) 1 (b） 1 (c) 2a7 (d) 72a 5、化简2244123xxx得（）（a) 2 （b）44x（c） 2 （d）44x6、当 al 且 a0 时，化简aaaa22127、已知0a，化简求值 :22114()4()aaaa【例 7】如果表示a， b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简ab+2()ab的结果等于（ ) a 2b b2b c 2a d2a 举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简:21(2)_aa【例 8】化简21816xxx的结果是2x-5，x的取值范围是

7、（）(a）x为任意实数（b）1x4 （ c ）x 1 （d）x 1 1012aoba举一反三：若代数式22(2)(4)aa的值是常数2, 则a的取值范围是 （）4a2a24a2a或4a【例 9】如果11a2aa2，那么 a 的取值范围是 ( ) a。 a=0 b. a=1 c。 a=0 或 a=1 d. a1 举一反三：1、如果2693aaa成立 , 那么实数a 的取值范围是（）.0 .3;.3;.3a ab ac ad a2、若03)3(2xx，则x的取值范围是（）（a）3x (b)3x (c）3x（d)3x【例 10】化简二次根式22aaa的结果是（a）2a（b）2a（c）2a (d）2a

8、1、把二次根式aa1化简 ,正确的结果是（） a。ab. ac. ad. a2、把根号外的因式移到根号内：当b 0 时，xxb；aa11) 1(。知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式: (1) 最简二次根式的定义：被开方数是整数, 因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号2、同类二次根式( 可合并根式） ：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式 , 即可以合并的两个根式。【典型例题】【例 11】在根式 1) 222;2);3);4)275xabxxyabc, 最简二次根式是（） a1) 2) b 3）

9、 4 ） c1) 3) d1） 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件。举一反三：1、)ba(17,54,b40,212,30,a45222中的最简二次根式是。2、下列根式中，不是最简二次根式的是( ）a7b3c12d23、下列根式不是最简二次根式的是( ）a.21ab.21xc。24bd.0.1y4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？（1）ba23（2)23ab (3）22yx（4)(baba (5)5（ 6）xy85、把下列各式化为最简二次根式： (1）12（2）ba245 (3）xyx2【例 12】下列根式中能与3是合并的是（ )a.8 b。27 c。25 d. 21举一反

10、三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（） a 、318和 b 、133和 c、22a bab和 d 、11aa和2、在二次根式：12 ; 32；32；27 中，能与3 合并的二次根式是。3、 如 果 最 简 二 次 根 式83a与a217能 够 合 并 为 一 个 二 次 根 式 ，则a=_. 知识点四：二次根式计算- 分母有理化【知识要点】1分母有理化定义 : 把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式 . 有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用aaa来确定， 如：aa与，abab与，

11、ba与ba等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab与ab，abab与，axbya xby与分别互为有理化因式。3分母有理化的方法与步骤: 先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】【例 13】把下列各式分母有理化（1)148（2）4 33 7（3)11212（4）13550【例 14】把下列各式分母有理化（1）328xx y（2）2ab（3）38xx (4)2525abba【例 15】把下列各式分母有理化: （1）221（2）5353 (3）3 33 22 3举一反三：1、已知

12、2323x，2323y，求下列各式的值： （ 1）xyxy（ 2）223xxyy2、把下列各式分母有理化：（1）ababab（ 2）2222aaaa（ 3）2222babbab小结:一般常见的互为有理化因式有如下几类：与;与; 与；与知识点五 :二次根式计算二次根式的乘除【知识要点】1积的算术平方根的性质：积的算术平方根, 等于积中各因式的算术平方根的积。ab=ab（a 0,b 0）2二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。abab （a0，b0）3 商的算术平方根的性质: 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根ab=ab（a0，b0) 4

13、二次根式的除法法则: 两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。ab=ab（a0，b0）注意 ：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式【典型例题】【例 16】化简(1)9 16（2）1681（ 3）1525（4)229x y（0,0 yx) (5) 12632【例 17】计算 （1） (2) (3 ） (4 ）（5）（6） (7 ）（ 8）【例 18】化简 :（ 1)364（ 2）22649ba)0,0(ba(3 ）2964xy)0,0(yx(4)25169xy)0,0(yx【例 19】

14、计算 : （1)123（2)3128（3）11416（4）648【例 20】能使等式22xxxx成立的的x的取值范围是（）a、2x b、0 x c、02x d、无解知识点六：二次根式计算二次根式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减, 关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数【典型例题】【例 20】计算（ 1)1132752 0.53227；(2）12543102024553457；（3）11113

15、275348532；（4）113326327284814723247【例 21】（ 1）224344xyxyxyxy（2）abababab（3）3213273108334aaaaaaa（4）1142aabbab（5）3538154aa aaa（6)2xyyxxyyxxy知识点七：二次根式计算二次根式的混合计算与求值【知识要点】1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分, 不要盲目有理化；【典型习题】1、abbaabb3)23(2352、 错误 !（2错误 !+4错误 ! 3错误 !）3、132x y （ 42yx）

16、162x y 4、673)32272(5、62332)(62332() 6、)54)(54()523(27、1110)562()562(8、)0()122510(9312mmmmmmm【例 21】 1已知：，求的值2已知, 求的值。3已知：, 求的值4求的值5已知、是实数，且, 求的值知识点八：根式比较大小【知识要点】1、 根式变形法当0,0ab时，如果ab， 则ab； 如果ab， 则ab。2、平方法当0,0ab时，如果22ab，则ab；如果22ab, 则ab。3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法通过分子有理化, 利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法

17、适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质: 0abab; 0abab8、 求商比较法 它运用如下性质： 当 a0,b 0 时， 则： 1aabb； 1aabb【典型例题】【例 22】比较3 5与5 3的大小。 ( 用两种方法解答）【例 23】比较231与121的大小。【例 24】比较1514与1413的大小。【例 25】比较76与65的大小。【例 26】比较73与873的大小二次根式典型习题集一、概念（一）二次根式下列式子， 哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x0)、0、42、2、1xy、xy（x0， y?0)（二）最简二次根式1把二次根式xy（y0）化为最简二次根式结果是（） axy（y0）bxy（y0）cxyy（y0）d以上都不对2化简422xx y=_ （x0）3a21aa化简二次根式号后的结果是_4。 已知xy0,化简二次根式2yxx的正确结果为 _（三) 同类二次根式1以下二次根式：1