二次根式的五重点三难点突破

1、二次根式的“五重点” “三难点 详解一、 五大重点一一攻克1二次根式的概念：重点注意 被开方数是非负数。例 1 判断下列式子哪些是二次根式 (1 ）13;（2）35； （3）9; （4）5x；（5）2x剖析：判断一个带根号的式子是否为二次根式应从二次根式的概念入手，先看根指数是否为 2，被开方数整体是否为非负数解： （1） 被开方数 -13 是负数，13不是二次根式。（2） 根指数是 3 , 35不是二次根式。（3）被开方数 90 9是二次根式。（4） x可取正数、负数、 0; 5x可取正数、负数、 0。即当50 x时,5x是二次根式 ; 当50 x时，5x不是二次根式。（5）20 x，20

2、x, 即当0 x时，2x 是二次根式 ; 当0 x时，2x 不是二次根式。2二次根式的两个重要性质的理解和运用（1） （a）2=a （a0） ； （2）2aa(0)(0)a aa a；例 2 化简（ 1）221x（2）34a剖析： （a）2=a （a0) 的运用主要看被开方数a整体是否为非负数。（1） 中21x无论x取何实数恒为正数 , 故221x=21x；运用2aa(0)(0);a aa a要特别关注a的正负性。（2）34a 中由340a得0,0aa，所以34a =42()aa =22a a=2aa. 3. 最简二次根式的概念的运用例 3在二次根式15453040,，223中, 最简二次根式

3、有 ( ）个 a. 1 b. 2 c。 3 d. 4 剖析：判断一个二次根式是否为最简二次根式应抓住以下两个特点（1）被开方数不含分母；（2)被开方数中 不含能开得尽方的因数或因式例 3 中15,30满足以上两个特点，故15;30都是最简二次根式；而4595;404 10中被开方数分别含有能开得尽方的因数9 和 4，故45;40都不是最简二次根式；28233中被开方数含分母3, 故223不是最简二次根式。故选b。4。运用二次根式乘除法法则计算或化简例 4 化简：12(276)24解：原式 =12122412242427627627642442.933例 5 计算：532332aaba bbb解

4、: 原式= 534423932aaba ba babbbb =22299a baba b abb . 点拨: 运用二次根式乘除法法则进行乘除混合运算时, 一要注意运算顺序，二要注意整体观察被开方数之间的关系，合理搭配，达到简化运算的效果。5。 二次根式加减法法则的运用例 6 计算1120.5183解：原式 =23112 33 223322332=753232点拨：运用二次根式加减法则计算的关键是先把各二次根式化成最简二次根式,再合并同类二次根式。二、三大难点各个击破1二次根式的双重非负性及两个重要性质的条件的使用。例 1 已知3222,xxxx求x的取值范围？剖析：二次根式a中a的取值范围为0

5、a，从而a0 。解：3220;xx20 xx而20,0 xx即0.x又20,2xxx的取值范围是20 x。例 2 数 a、b 在数轴上的位置如图所示，化简：222)() 1() 1(baba. 由图可知：21,12ab；10;10;0abab222)() 1() 1(baba=1111 ()2abababba2逆用二次根式乘除法法则进行化简例 3 计算或化简（ 1）( 9) ( 8); （2）3239x yxy（0;0 xy）解：(1 ）( 9)( 8)=9 89832 26 2.（2)3229x yxy=2239()3()xyxyxy xyxy（0;0 xy）. 3. 灵活运用二次根式加减乘

6、除混合运算化简求值例 4 已知7575,22xy求22xxyy的值. 解：由题可知17;.2xyxy22xxyy=2311()37.22xyxy点拨 : 观察发现已知条件5,2x y5中的与-2是一对相反数 , 而所求式子是这两个数的平方和与这两个数的乘积的差, 故可由已知转变条件, 运用完全平方式简化求值。栏目名：错题集解二次根式常见错误分类解析一、审题不清导致错误例 116的平方根是 _ 。错解：16的平方根是4. 诊断：错把16的平方根当成 16 的平方根。正解：164;16的平方根是2。二、化简不彻底 , 结果不是最简二次根式例 2 化简72。错解: 原式983 8.诊断：化简二次根式

7、的结果一定是最简二次根式，822而。正解：原式9 83 832 262.或原式62.三、分母有理化时，所乘有理化因式可能为0 而导致错误例 3 化简xyxy错解：-x yxyxyxyx yxyx yxyxyxy。诊断 : 题中只隐含0,xy即x0， y 0, 所以x与 y 有可能相等。故应分两种情况。正解： （1）当 xy时, 原式=0；（2）当 xy时, xyxyxyxyxyxyxyxyxyxy四、漏掉括号导致错误例 4 分母有理化121aa错解：原式121aaa。诊断：当一个式子与一个多项式相乘时，多项式应注意添括号. 正解：原式(1)112(1)2aaaa五、忽视a中的隐含条件a0 例

8、5 化简321xxx. 错解：原式21x xxx1xxxxxx33220,0;0;0,.xxxxxxxxx的隐含条件即成立的条件是当时正解：由30,0;xx得原式211().x xxxxxxxxx六、在化简2a 时，忽视字母的具体取值而导致错误例 6 当15a时，求22112aaa的值。错解：原式211()aaa1115aaaa。诊断：由15a, 得15a，则1aa0,2111()aaaaaa。正解：原式211()aaa11214109.55aaaaa七、连用“”号出错例 7 已知 rt abc 中，两条直角边长分别为9,40,ab求斜边. c错解：由勾股定理，222cab2294016814

9、1.诊断：运算法则变了 , 还连用“ =”号出错。正解：由勾股定理，222229401681;cab168141.c诊断： 忽略了八、不管字母正负 ; 滥用积（商）的算术平方根性质而出错例 8 已知2,1,abab求.abba错解：原式()2abababababbaabba。诊断：由1ab0，知,a b同号; 又2,aba0, b 0. 正解 : 原式=22112.abababbabaab九、运算顺序不清导致错误例 9 计算aba1a错解：原式ab1ab. 诊断：忘记乘除是同一级运算, 应按从左到右依次计算。正解：原式11bababaaaa。例 10 计算：523. 错解 : 523333。诊

10、断 : ，实数的加减乘除四则运算法则对于二次根式的运算仍然适用，应先算乘除，再算加减。正解：2 3152 3523533十、乱用运算律导致错误例 11 计算632. 错解：原式636223。诊断：除法没有分配律 , 本题应分母有理化。正解 :632=632618123 22 33232十一、在去括号时出错例 12 计算：557错解：5575577. 诊断 : 去括号法则对二次根式仍然适用，括号前面是负号，去括号时括号内的每一项都改变符号。正解 :5575577十二、用公式时出错例 13 计算：22 33 2错解：2222 33 22 33 2121830诊断：运用完全平方公式丢项出错。正解：2

11、222 33 22 322 33 23 21212 6183012 6。栏目名：期末练兵综合练习题一、选择题（每小题3 分，共 30 分) 1下列各式正确的是（ ) a 42; b. 2( 6)6; c.7575; . d. 2552。下列各式中属于最简二次根式的是（） a 27b5 c12 d123。在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）a3和18b3和13 c 2a b 和2abd1a和1a4. 下列根式 : 12x; 42m；30; 22xy ；36a ；3a, 其中最简二次根式是 ( ）a. b. c 。 d.5. 化简5x的结果是 ( ）a2xx b2xx c2xx d2xx6.2

12、2512的平方根是 ( ) a.13 b.13c.13 d。137. 若把1aa的根号外的a适当变形后移入根号内，得（ ) aa ba ca da 8 。使等式3355xxxx成立的条件是（ ) a. 5x b.x5 c。x3 d 。x3 且x59. 若, x y为任意实数，则下列各式的值一定为正数的是 ( ）a.x+5 b。212y c.2()nxy d.22xy 10 。已知a-2ab+b=0 （a0,b0), 则3534aabbaabb等于 ( ） a。13 b。12； c。23 d.34二、填空题：（每空 2 分，共 26 分） 1 。64的算术平方根是 _. 2 。719的相反数的平

13、方根是 _。 3 。12的绝对值是 _ ，它的倒数 _. 4 。 用“ n 时,2)(mn_;2)23( . 7 。 如图，化简22a b = . 8 。 某精密仪器的一个零件上有一个矩形的孔，其面积是24 2 cm, 它的长为3 cm, 则这个孔的宽为 _cm 9 。当 1x3 时，2(1)3xx=_。 10.若13xx, 则221xx=_. 三、解答题 :( 共 64分）1. 计算、化简 : ( 每小题 5 分共 25 分）（1）2112 62312326; (2）1118482432；（3）0241( 51)2 5151051； (4 ）200720061623323218（5) 219

14、1422aabbaab（a0,b0); 2. 已知x =121, 求111xxx的值.( 6分) 3。 解不等式和方程（每小题 4 分共 8 分) (1 ）)1(6)3(2xx（2）22 23.xx4。 自由下落物体的高度h米与下落的时间t的关系为212hgt 。有一学生不慎把一个铁球从 19.6 米高的楼上自由下落，正好另一学生站在与下落的铁球同一直线的地面上，若在铁球下落的同时楼上的学生惊叫一声，问这时楼下的学生听到惊叫声后能躲开吗？(已知声速为 340 米/ 秒；9.8g米/ 秒2。)( 本题 5 分）5. ( 本题 6 分）若一个直角三角形的两直角边长分别为7,5,cmcm, 求此三角形的周长与面积 . 6、 （本题 8 分) （1）先观察下列分母有理化：111121,32,43,54,.2