保险精算练习题

1、1李华 1990 年 1 月 1 日在银行帐户上有5000 元存款, （1）在每年 10的单利下，求 1994 年 1 月 1 日的存款额。（2）在年利率 8% 的复利下，求 1994 年 5 月 1 日的存款额。解：(1 ）5000（1+410% ）=7000（元）（2)5000（1+10% ）4。 33=7556.8（元）2把 5000 元存入银行，前 5 年的银行利率为8% ，后 5 年年利率为 11% ，求 10 年末的存款累计额。解：5000(1+8% ）5（1+11% ）5=12385（元）3李美 1994 年 1 月 1 日在银行帐户上有10000 元存款。 （1）求在复利 11

2、下 1990年 1 月 1 日的现值。（2）在 11% 的折现率下计算1990年 1 月 1 日的现值 .解： （1）10000（1+11)4=5934。51( 元）（2）10000(111% ）4=6274.22（元）4假设 1000 元在半年后成为1200 元，求)2(i， i, )3(d。解：1200)21(1000)2(i；所以4.0)2(i2)2()21(1ii；所以44.0innmmnddimi)1()1(1)1()(1)(；所以，13)3()1()31(id；34335.0)3(d5当1n时，证明 :iiddnn)()(。证明：)(ndd因为，3)(32)(2)(10)()()(

3、1)1(1ndcndcndccnddnnnnnnnnn)(1nd所以得到，)( ndd; )( nd)1()(mnemd;mmcmcmcmennnm1)()()(1443322所以，)1(1)(mmdn)(niininn11)(， 即，)1ln()1ln()(ininn所以，)1()(nnenimmcmcmcmennnn1)()()(1443322 1)1()(nniniin)(ininn11)(，)(2)(2)(10)(1)(11nnnnnnnninicniccni所以，iin)(6证明下列等式成立 , 并进行直观解释：nmmnmavaa；解：ivanmnm1,ivamm1,ivvivvav

4、nmmnmnm1所以 ,nmnmmmnmmaivvvava1nmmnmsvaa；解：ivanmnm1，ivamm1，ivvsvnmmnm所以，nmnmmmnmmaivvvsva1nmmnmaiss)1(；解：iismm1)1(，iiiiiisimnmnmnm)1()1(1)1()1()1 (所以 ,nmmnmmnmmsiiiiais)1()1 (1)1()1(nmmnmaiss)1(。解: （同上题 ) 略. 7某人今年 30 岁, 其计划每年初存300 元，共存 30 年建立个人存款能从60 岁退休开始每年年末得到固定金额，共能领取20 年. 假设存款利率在前十年为6，后 20 年为 12%

5、 ，求每年能取的养老金额。解：210220211012020210301)1 ()1(1)1()1(iiiiisiss所以 60 岁时存款有5.5975930030s（元）由此知 ,2020sax，可得x=7774 。12( 元) 8某单位在 20 年内每年存入银行5000 元建立职工奖励基金。 从存入最后一笔款后的第 2 年起，每年提取固定金额奖励一名有突出贡献的职工，这种奖励形式将永远持续下去。假设存款的利率为8，求每次能够提取的最大金额。解:82.2288095000120sixax。所以79.18304x( 元) 9证明：nnnasaia1；证明：nnnnaiiivva11iis1)1

6、 (1, 所以nnasa1nnea1；nnnnneeiva1)(1)1(111nnes. 证明：11)(1)1(nnnneeis10 假设每年第一年收付200 元，以后每隔一年增加收付100 元,增加到一次收付1000元时不在增加，并一直保持每年1000 元的水平连续收付 .假设年利率为12% ，求这一年金的现值。解：94.436211000)1(8100)1(1001000)(100100988191viiiaiaiaaa1依据生命表的基础填充下表: xxlxdxpxq0 1000 100 0。9 0.1 1 (900 ）(150 ）(5/6 ）（1/6 ）2 750 （150）0。8 （

7、0.2) 3 （600) (300) （0。5) (0 。5) 4 300 (180) （0。4）0.6 5 (120 ）(120 ）（ 0）（1）6 0 3。已知)1201(1000 xlx,计算: 0l，120l，33d，3020p，2030q; 25 岁的人至少再活20, 最多活 25 年的概率；三个 25 岁的人均存活到 80 岁的概率。解: 1000)12001(10000l;0)1201201(1000120l32512011000343333lld9730503020llp;3 .02050202030lllq19125504525520lllq074646449.0)198()

8、(3325802555llp4若)(100000 xcxclx，4400035l，求：c 的值；生命表中的最大年龄；从出生存活到 50 岁的概率 ; 15 岁的人在 4050 岁之间死亡的概率。解：44000)3535(10000035ccl. 所以，c=900)9090(100000 xxlx, 所以，90134050050llp32155040151052lllq。5证明并作直观解释：xmnxnxmnppq；证明：xmnxnxmnxxnxxmnxnxxmnpplllllllqnxxnxnqpq；证明 :nxxnnxnxxnxxnxxnxnxxnqplllllllllq11nxmxnxmnp

9、pp. 证明：nxmxnnxmnxxnxxmnxxmnppllllllp6证明：xxtxtxldtl0；xtxxtdtp01；)(txxxtxtppx；txxtxtppt。证明 : xxxxxxtxtxllllldtl00 xxxxxxtxxxtxtxxtxtxxtllldlldlllldtp0001)(1111；)()()()(2txxxtxxtxtxxtxxtxxtxxtxxxtxxtxxtpldlldlllldlldllldlldlllxpxtxxttxtxxtxxtxxtxxtpldlllldlllxpt)(. 7分别在死亡均匀分布，死亡力恒定和鲍德希假设下, 用课本附表 1 给出的生

10、命表计算：2541q；40215q；3150. 解：00030575. 015.9565049802.1164112525252541ldqtpqxt略。8若774640l，768141l, 计算4140: 死亡均匀分布假设；鲍德希假设；假设xlx1001000解：008409068.0140404140qtq；008426834.0,140414140ellptepxtxt可令008444573.0)1(14140 xxqtq。9证明在鲍德希规律下,xnq与 n 无关。证明：xxsnxsnxsqxxsxn1)()1()(1)(所以 ,xnq与 n 无关 . 1 某人 10 岁买了定期生存保险

11、，这一保险使其从18 岁到 25 岁每年得到 2000 元生存保险金 , 以附表 2 转换函数值计算这一年金现值. 解：5.45522775.0200020002000101881018101088nnna（元）2证明下列等式成立，并解释其含义。1xxxavpa；证明：111xxxxxxxxxavpaddndna11xxxavpa; 证明：11xxxavpa所以 ,11xxxavpa)1 (:xnnxnxeaa；证明：nxxnxxxnxnxxxxnxxnxxxnnxadnnddndndddnnea:1111:)()1()1 (nxxnnxnapva; 证明：nxxnnnxnxxnnxnxnxx

12、nxnxxnapvdnpvednedna111nmxxmmmxmnxapvaa:; 证明：mnxxnmxxxnmxmxxmxxnmxxmmmxxnmxmxmxnmxmxxmnmxxmmxmxxmxxmnxxmnxadnndnndnnapvadnndnneapvdnnadnna:111111:1111:11:11:11)1(xxxaiap证明：1111111111)1(xxxxxxxxxxxxxxaidpvnpdenpdnpap3某人在 50 岁时以 50000 元的趸缴净保费购买了每月给付k 元的生存年金。假设购买后次月开始给付，求k 值。解：62.33850000)241126683.12(

13、12)122112(121250)12(50kkakak4给付 50 岁的人每月 200 元，第一次从 60 岁开始，共付 10 年的生存年金转换函数表达式 . 解：)2413(24002400240070605010)12(10:605010)12(501010aaeaea7以转换函数表达下面变动年金的现值。对（x）第一年末给付 1000 元，以后每年比上年增加给付 500 元， ，当年给付金额达到5000 元时，又以每年1000 元的幅度递减，直到 1000 元后保持不变，直到被保险人死亡为止。解：14144:998 :1000)(1000)(500500 xxxavdaviav8 假设对

14、所有 x, 有xxprp)1(, 证明以利率 i 和xp为基础计算的终身年金现值与以rrii1和xp为基础计算的终身年金现值相等。解：以,xpi为计算基础txxxtttxxxttxttxxpppripppitpvtea1111)1()11()11(以rrii1、xp计算txxxttxxxttxttxxpppirpppitpvtea1111)11()11(1假设10.0),1151(1000ixlx，求 50 岁的人投保 100000元终身寿险的精算现值 . 解：) 1(11510001tlldtxxx115015050)1(1100000100000tttvla2某保单规定，若被保险人在投保后

15、20 年内死亡，则在第 20年末给付 1 单位保险金 ,若被保险人在投保20 年以后死亡，则在死亡年年末给付1 单位保险金。写出对（ x）的保单精算现值的表达式。解：xxttxtttxttaqvqvqva201902020119020)()()(3某人在 30 岁时投保了 10000元延期 25 年的定期寿险，求这一保单的精算现值. 解:xnmxmxxtnmmttnxmdmmqva1:所以 ,80.29835.222867249.4036405.106910000100001000025755520:2530dmma4证明 :1xxxxavpvqa，并说明其意义。证明：111111111111

16、1111111111.)(,xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxapvqvapvldvapvlvdvllvdmpvdcpvdmcvpdmcaddvplvdlvdmcmdvcdmadma即（ x)寿险精算现值等于在第一年内死亡赔付xvq，在一年后死亡赔付的精算现值1xxavp之和。5证明：xxxxadxad)(，并说明其意义。证明：xxyyxxxddyddmaxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyxxxxxyyxallvalvlvlvvaddadddyddddxddydddxad)()(lnln)(26假设死亡概率nxq变成为kqnx（为常数 )，其他年龄的死亡率不变，试证明xa将增加)1(11nxxnnapkv。解：)1()1()(11111111111111111010101nxxnnxxntttxnnxxntttxnnxnnxxntttxnnxntttnxxnnxxntttxxtttttxtxxakpvaqvkpvaqvpkvkpvaqvpkvqvkqpvaqvaqvdvla增加值 :)(1kqpvnxxnn7假设5.15xa，25.0 xa, 求利率 i 的值。解：2115 .151)1 (25.01)1(iiiiaaixx8。假设某人从 30 岁开始投保终身