全国二卷立体几何真题及模拟题(理科)

1、1 立体几何（理科）立体几何解题中常用的判定定理及性质定理1。直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 （线线平行线面平行）若 a错误 !，b?,ab，则 a 2.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 （线面平行线线平行）若 a ,a? ， ? b，则 ab3.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直若 m? ，n? ，m? no，lm,ln,则 l 4.直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行若 a ，b,

2、 则 ab5.平面与平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 （线面平行面面平行）若 a，b，a? ba,a ，b ，则 6.平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行若 ， a, b，则 ab7.两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直若 l ，l，则 8。两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面若 ， l，a，al，则 a 空间角的计算(1)两条异面直线所成角的求法2 设直线 a，b 的方向向量为 a，b

3、，其夹角为 ，则cos |cos 错误 !(其中 为异面直线 a，b 所成的角 )(2）直线和平面所成角的求法如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为 ，两向量 e 与 n 的夹角为 ，则有 sin |cos |错误 !.(3)二面角的求法利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，m，n即为所求二面角的平面角对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时， 可以利用这两个平面的法向量的夹角来求如图所示，二面角 l ，平面 的法向量为 n1,平面 的法向量为 n2, n1，n2 ，则二面有 l-的大小为 或 .空间距离的计算直线到

4、平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离点 p 到平面 的距离， dpmnn（其中 n 为 的法向量， m 为 内任一3 点)空间角的范围(1)异面直线所成的角 ( ） ：0 错误 !；(2)直线与平面所成的角 ( )：0 错误 !；（3)二面角（ )：0 .历年高考真题及解析(2013 课标全国 ，理 18）如图,直三棱柱111abca bc 中，d e 分别是1，ab bb 的中点,122aaaccbab.（1)证明：1bc 平面1acd ；（2)求二面角1dace的正弦值解：(1)连结 ac1交 a1c 于点 f，则 f 为 ac1中点又 d 是 ab 中点，连结 df，则

5、bc1df.因为 df平面 a1cd，bc1平面 a1cd，所以 bc1平面 a1cd。（2）由 accb22ab得，acbc。以 c 为坐标原点， ca的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz。设 ca2,则 d（1,1,0)，e （0，2,1） ，a1(2,0,2)，cd （1,1,0）,ce（0，2,1） ，1ca (2，0，2)设 n(x1,y1,z1）是平面 a1cd 的法向量，则10,0,cdcann即11110,220.xyxz可取 n(1，1,1)同理，设 m 是平面 a1ce 的法向量，则10,0,cecamm可取 m(2，1，2)4 从而 cosn,m3

6、|3n mn m，故 sin63。即二面角 da1ce 的正弦值为63.（2014课标全国 ，理 18）如图，四棱锥 p-abcd 中，底面 abcd 为矩形 ,pa平面 abcd，e 为 pd 的中点 .（）证明 ：pb平面 aec;( ）设二面角 d-ae-c 为 60 ，ap=1,ad=3 ,求三棱锥 e-acd 的体积 .解： （）设 ac 的中点为 g， 连接 eg。在三角形 pbd 中，中位线 eg/pb，且 eg在平面 aec 上，所以 pb/平面 aec。（） 设 cd=m，分别以 ， ab，ad，ap 为 x，y,z轴建立坐标系，则zxyabcdegp5 。的体积为所以，三棱

7、锥的高即为三棱锥面且的中点，则为设解得解得一个则法向量为同理设平面解得一个则法向量为设平面83-.8321323213131.-,212,/.23,21333|,cos|3cos).3- ,3- ,(,0, 0),().0 ,1 ,0(,0,0),().0 ,3(),21,0,23(),0 ,0,3().0,3(),21,0,23(),0,0,3(),0,0, 0(-2222222222222221111111acdeefsvacdeacdefefpaefpaadfmmmnnnnnnmmnaenacnzyxnacenaenadnzyxnademacaeadmcedaacdacde=?=?=+=

8、?=（ 2015 课 标 全 国 ， 理19 ） 如 图 ， 长 方 体1111dcbaabcd，, 8,10,161aabcab点 e，f分别在,11ba11cd上，411fdea. 过点 e，f 的平面与此长方体的面相交 ,交线围成一个正方形 .（i）在图中画出这个正方形，不必说明画法和理由；（ii）求直线 af 与平面所成角的正弦值。解： （）交线围成的正方形ehgf 如图:( ）作emab，垂足为m,则14amae，18emaa， 因 为 ehgf 为 正 方 形 , 所 以10ehefbc于是226mhehem，所以10ah以d为坐标原点，da的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间

9、直角坐标系dxyz,则(10,0,0)a，(10,10,0)h，(10, 4,8)e，(0,4,8)f，(10,0,0)fe，6 (0,6,8)he 设( , , )nx y z是 平 面 ehgf 的 法 向 量 ， 则0,0,n fen he即100,680,xyz所以可取(0,4,3)n又( 10,4,8)af，故4 5cos,15n afn afnaf所以直线af与平面所成角的正弦值为4 515（2016课标全国 ，理 19） （本小题满分 12 分）如图，菱形 abcd 的对角线 ac 与 bd 交于点 o,5ab，6ac，点 e,f 分别在ad,cd 上，54aecf,ef 交 b

10、d 于点 h。将 def 沿 ef 折到d ef的位置10od.（i)证明：d h平面 abcd；(ii）求二面角bd ac的正弦值。（）证明：54aecf，aecfadcd，efac四边形abcd为菱形 ,acbd，efbd,efdh，efd h6ac，3ao；又5ab，aoob,4ob,1aeohodao，3dhd h，222odohd h，d hoh7 又ohefh，d h面abcd（）建立如图坐标系hxyz500b， ，130c， ， 003d， ，,130a，430ab， ，133ad， ，060ac， ，设面abd法向量1nxyz， ，由1100nabnad得430330 xyxy

11、z，取345xyz，1345n，同理可得面ad c的法向量2301n， ，,1212957 5cos255 210nnn n，2 95sin25（2016课标全国 ，理 19)如图，四棱锥 pabcd 中，p a底面abcd,adbc，ab=ad=ac=3，pa=bc=4，m 为线段 ad 上一点，am=2md，n 为 pc 的中点.ndabcpm8 （）证明 :mn平面 pab；（）求直线与平面所成角的正弦值解: （) 由已知得232adam，取bp的中点t，连接tnat,，由 n 为 pc中点知bctn /，221bctn。又bcad /，故 tn 平行且等于am，四边形 amnt 为平行

12、四边形，于是atmn /。因为at平面pab， mn平面pab，所以/mn平面pab.（ ） 取 bc 的 中 点e， 连 结ae， 由acab得bcae，从而adae，且5)2(2222bcabbeabae.以a为坐标原点，ae的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyza，由题意知，)4,0 ,0(p，)0,2,0(m，)0, 2,5(c，)2 , 1 ,25(n，(0, 2,4)pm,5(,1, 2)2pn,5(,1,2)2an.设( , )nx y z为平面 pmn 的法向量，则00n pmn pn，即0225042zyxzx，可取(0, 2,1)n，于是|8 5|cos,|

13、25|n ann annan。anpmn9 高考模拟题1 如图， 已知四棱锥 pabcd， 底面 abcd 为菱形 ,pa平面 abcd,abc=60 ，e，f 分别是 bc，pc 的中点（1)证明： aepd;（2）若 pa=ab=2，求二面角 eafc 的余弦值2如图，在四棱锥pabcd 中,底面 abcd 是菱形 ,dab=60 ，pd平面abcd,pd=ad=1 ，点 e，f 分别为 ab 和 pd 中点（) 求证：直线 af平面 pec；（）求 pc 与平面 pab 所成角的正弦值10 3.在长方体 abcda1b1c1d1中，ab=2， ad=1， aa1=1， 点 e 在棱 ab

14、 上移动(1)探求 ae 等于何值时，直线d1e 与平面 aa1d1d 成 45 角;（2)点 e 移动为棱 ab 中点时，求点 e 到平面 a1dc1的距离11 高考模拟题答案1.（1）证明 :四棱锥 pabcd ，底面 abcd 为菱形 ,abc=60 ，e，f 分别是 bc，pc 的中点，abc 是等边三角形，aebc，aead，pa平面 abcd ，ae? 平面 abcd,aepa，ae ad=a ，ae平面 pad，pd? 平面 pad，aepd（2)解：由（ 1)知 ae、ad、ap 两两垂直，以 a 为坐标原点 ,建立如图所示的空间直角坐标系，e，f 分别为 bc,pc 的中点

15、,pa=ab=2，a（0,0，0)，b(，1，0）,c（，1，0） ，d(0，2，0） ，p（0，0,2),e（，0，0） ，f（）,，设平面 aef 的一个法向量为，则取 z1=1，得 =(0，2， 1） ，bdac，bdpa，pa ac=a，bd平面 afc，为平面 afc 的一法向量又,cos =二面角 eafc 为锐角，12 所求二面角的余弦值为2。解： （）证明：作 fmcd 交 pc 于 m点 f 为 pd 中点，点 e 为 ab 的中点,又 aefm，四边形 aemf 为平行四边形，afem，af? 平面 pec，em? 平面 pec,直线 af平面 pec（）已知 dab=60 ，进一步求得： dedc，则:建立空间直角坐标系 ,则 p（0，0，1） ，c（0，1，0） ，e（,0，0） ，a（，0） ，b（，0） 所以：，设平面 pab 的一个法向量为 :,13 ，则:，解得：,所以平面 pab 的法向量为：,设向量和的夹角为 ，cos=，pc平面 pab所成角的正弦值为3.解:（1）解法一：长方体 abcda1b1c1d1中，因为点 e 在棱 ab 上移动，所以 ea平面 aa1d1d，从而 ed1a 为直线 d1e 与平面 aa1d1d 所成的平面