全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导三角恒等式和三角不等式

1、全国高中数学联赛金牌教练员讲座兰州一中数学组第七讲三角恒等式和三角不等式知识、方法、技能三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则,又有三角所特有的规律。三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时,首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形,从而逐步消除差异，统一形式，完成证明.“和差化积 、 “积化和差” 、 “切割化弦 、 “降次”等是我们常用的变形技巧.当然有时也可以利用万能公式“弦化切割”,将题目

2、转化为一个关于2tanxt的代数恒等式的证明问题. 要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式. 为此，同学们要熟练掌握各公式及各公式的来龙去脉和变形形式. 上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础 . 此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法. 三角不等式首先是不等式,因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放缩tt22cs222tcs万能公式cscs相除相除相除33cs积化和差和差化积相加减2t法、基本不等式法、数学归纳法等。其次 ,三角不等式又有自己的特点

3、-含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器。三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角形内角和等于180这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角,则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一。求三角形面积的海伦公式)(21 )()(cbapcpbpapps其中，大家往往不甚熟悉，但十分有用。赛题精讲例 1：已知.cossin)tan(:, 1|),sin(sinaaa求证【 思 路 分 析 】 条 件 涉 及 到 角、,而 结 论 涉 及 到 角，.故 可 利 用)()(或消除条件与结论间

4、角的差异，当然亦可从式中的“a”入手 . 【证法 1】),sin(sina),sin()sin(a),cos(sin)(cossin(),sin(sin)cos(cos)sin(aa.cossin)tan(,0)cos(,0cos, 1|aaa从而【证法 2】sin)sin(cossin)sin()sin(sincossinsinsina).tan(sin)cos(sin)sin()sin()sin(cossin)sin(例 2:证明：.cos64cos353215cos77cos7xxxocsxx【思路分析】 等号左边涉及角7x、 5x、 3x、 x 右边仅涉及角x， 可将左边各项逐步转化为

5、xsin、xcos的表达式 ,但相对较繁。观察到右边的次数较高，可尝试降次。【证明】因为,cos33coscos4,cos3cos43cos33xxxxxx所以从而有xxxxx226cos9cos3cos63coscos16)2cos1(29)2cos4(cos326cos1xxxxxxxxxxxxxxxxxcos20cos2cos30cos4cos12cos6cos2cos64,2cos992cos64cos66cos1cos3276.cos353cos215cos77coscos20cos153cos153cos65cos65cos7cosxxxxxxxxxxx【评述】 本题看似 “化简为

6、繁 ，实质上抓住了降次这一关键,很是简捷 . 另本题也可利用复数求解。令77)1(cos128,1cos2,sincoszzzziz从而则，展开即可 . 例 3：求证：.112tan312tan18tan18tan3【 思 路 分 析 】 等 式 左 边 同 时 出 现12tan18tan、12tan18tan， 联 想 到 公 式tantan1tantan)tan(。【证明】12tan312tan18tan18tan3112tan18tan)12tan18tan1)(1218tan(312tan18tan)12tan18(tan3【评述】本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证)43tan1()

7、2tan1)(1tan1(222)44tan1(等. 例 4：已知.20012tan2sec:,2001tan1tan1求证【证明】)4tan()22sin()22cos(12cos2sin12tan2sec.2001tan1tan1例 5：证明:.3sin)60sin()60sin(sin4【证明】3sin4sin33sin)60sin()60sin(sin4)sin60coscos60)(sinsin60coscos60(sinsin4)sin21()cos23(sin4)sin41cos43(sin4)sin43(sin422222【评述】 这是三倍角的正弦的又一表示。类似地， 有)60

8、cos()60cos(cos43cos)60tan()60tan(tan3tan。 利用这几个公式可解下例。例 6:求证：16178cos66cos42cos6cossin1sin2sin3 sin89=.106)41(45【证明】 cos6cos42 cos66cos78=cos6cos54cos6654cos78cos42cos.16154cos4)183cos(4154cos478cos42cos18cossin1sin2sin3 sin89=（sin1sin59sin61） （sin2sin58sin62)(sin29sin31sin89)sin30sin60=4387sin6sin3

9、sin)41(2960sin30sin)87sin33sin27(sin)66sin54sin6)(sin63sin57sin3(sin3)41(3045sin)54sin36)(sin63sin27)(sin72sin18)(sin18sin9(sin3)41(81sin18sin9sin3)41(404036sin18cos223)41(54cos72sin223)41(54cos18sin36cos18cos223)41(54cos72cos36cos18cos223)41(18cos36cos54cos72cos223)41(72sin54sin36sin18sin223)41(434

10、342424242又)72cos1)(36cos1(41)36sin18(cos2165)72cos36cos1(41)72cos36cos72cos36cos1(41即.4536sin18cos所以.106)41(89sin2sin1sin45例 7:证明：对任一自然数n 及任意实数mnkmxk,2, 1 , 0(2为任一整数），有.2cotcot2sin14sin12sin1xxxxxnn【思路分析】本题左边为n项的和 ,右边为 2 项之差 ,故尝试将左边各项“裂成两项之差 ,并希冀能消去其中许多中间项. 【证明】,2cotcot2sin2coscossin2cos22sin2coscos

11、22sin122xxxxxxxxxxx同理xxx4cot2cot4sin1xxxnnn2cot2cot2sin11【评述】本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得. “裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：nnnntantantan) 1tan(3tan2tan2tantan. 1cot1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos1.2cot2cot2tan22tan22tan2tan1122nnnn例 8:证明：.2sin21sin)2sin()sin()2sin()sin(sinnnn【证明】),2cos()2cos(212sinsin)sin()2sin()

12、sin(sin2sin,)212cos()212cos(212sin)sin(,)23cos()25cos(212sin)2sin(),2cos()23cos(212sin)sin(nnnn各项相加得类似地.21sin)2sin()2cos()212cos(21nnn所以，.2sin21sin)2sin()sin()sin(sinnnn【评述】本题也可借助复数获证。类似地，有.2sin)2cos(21sin)cos()cos(cosnnn利用上述公式可快速证明下列各式：2sin21cos2sincos3cos2coscosnnn.2197cos95cos93cos9cos.2175cos73cos9cos等针对性训练题1证明： sin47 +sin61 sin11 sin25=cos7. 2证明：.sinsin)cos(2sin)2sin(3已知： sina+sinb+sinc=0，cosa+cosb+cosc=0。求证 :sin2a+sin2b+sin2c=0,cos2a+cos2b+cos2c=0。4已知.03sin312sin21sin:),0(求证5已知求且,tan3tan,20的最大值。6已知、sinsinsinsin.),2,0(y求且的最大值 .