全等三角形经典例题(含答案)

1、第1页（共 28页）全等三角形证明题精选一解答题（共30 小题）1四边形abcd 中， ad=bc,be=df ，aebd ，cfbd,垂足分别为e、f(1）求证： ade cbf；(2）若 ac 与 bd 相交于点o，求证： ao=co 2如图，已知点b，e，c，f 在一条直线上，ab=df ， ac=de ， a= d（1）求证： acde; （2）若 bf=13,ec=5 ，求 bc 的长3如图， bd ac 于点 d,ceab 于点 e，ad=ae 求证： be=cd 第2页（共 28页）4如图 ,点 o 是线段 ab 和线段 cd 的中点（1)求证： aod boc；（2）求证 :a

2、d bc5如图：点c 是 ae 的中点， a= ecd,ab=cd ，求证： b=d6 如图，已知 abc 和 dae ， d 是 ac 上一点 ,ad=ab,de ab ， de=ac 求证：ae=bc 7如图， ab cd，e 是 cd 上一点， be 交 ad 于点 f，ef=bf 求证： af=df 第3页（共 28页）8如图，点b、e、c、 f 在同一条直线上，ab=de ，ac=df ，be=cf ，求证 :ab de9如图 ,点 d 是 ab 上一点 ,df 交 ac 于点 e,de=fe,fc ab 求证： ae=ce 10如图， 点 a、c、d、b 四点共线， 且 ac=bd

3、 ，a= b，ade= bcf,求证： de=cf第4页（共 28页）11如图，点a，b，c，d 在同一条直线上，cedf， ec=bd ，ac=fd 求证： ae=fb 12已知 abn 和 acm 位置如图所示,ab=ac ，ad=ae ， 1=2（1)求证： bd=ce ；（2)求证： m=n第5页（共 28页）13如图， beac，cdab ，垂足分别为e，d，be=cd 求证： ab=ac 14如图，在abc 和 ced 中， ab cd， ab=ce ，ac=cd 求证： b= e15如图，在abc 中,ad 平分 bac ，且 bd=cd ，deab 于点 e，dfac 于点 f

4、（1)求证 :ab=ac ；（2）若 ad=2， dac=30 ，求 ac 的长16如图 ,rtabc rtdbf ， acb= dfb=90 ,d=28 ,求 gbf 的度数第6页（共 28页）17如图，已知acbc，bd ad,ac 与 bd 交于 o,ac=bd 求证： abc bad 18已知：如图，点b、f、 c、e 在一条直线上 ,bf= ce，ac=df ，且 acdf求证： abc def19已知：点a、c、b、 d 在同一条直线，m= n， am=cn 请你添加一个条件，使abm cdn ，并给出证明第7页（共 28页）（1）你添加的条件是：；（2）证明：20如图 ,ab=a

5、c,ad=ae求证： b=c21如图，在abc 中， ad 是 abc 的中线，分别过点b、 c 作 ad 及其延长线的垂线be、cf,垂足分别为点e、f求证： be=cf22一个平分角的仪器如图所示，其中ab=ad ，bc=dc 求证 :bac= dac 第8页（共 28页）23在数学课上， 林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中点 b、f、c、e 在同一直线上） ,并写出四个条件： ab=de ， bf=ec ， b=e, 1=2请你从这四个条件中选出三个作为题设,另一个作为结论, 组成一个真命题，并给予证明题设 :；结论： （均填写序号）证明 : 24如图，在abc 和 def 中， a

6、b=de ，be=cf ， b=1求证： ac=df （要求 :写出证明过程中的重要依据) 25如图，已知ab=dc,ac=db 求证 :1=2第9页（共 28页）26如图， d、e 分别为 abc 的边 ab、ac 上的点， be 与 cd 相交于 o 点现有四个条件： ab=ac ； ob=oc ； abe= acd ； be=cd (1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：命题的条件是和，命题的结论是和(均填序号）；(2）证明你写出的命题27如图 ,已知 abde ，ab=de ，af=dc, 请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明28如图所示，在

7、梯形abcd 中， ad bc， b= c，点 e 是 bc 边上的中点第10页（共 28页）求证： ae=de 29如图，给出下列论断: de=ce, 1=2, 3=4请你将其中的两个作为条件,另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明30已知：如图,acb=90 ,ac=bc ，cd 是经过点c 的一条直线，过点a、b 分别作 aecd、bfcd，垂足为e、f，求证： ce=bf 第11页（共 28页）全等三角形证明题精选参考答案与试题解析一解答题（共30 小题）1 （ 2016?连云港）四边形abcd 中， ad=bc ，be=df ，aebd ，cfbd ，垂足分别为e、f（1）求证

8、:ade cbf；（2)若 ac 与 bd 相交于点o，求证 :ao=co 【分析】（1)根据已知条件得到bf=de, 由垂直的定义得到aed= cfb=90 ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2)如图，连接ac 交 bd 于 o，根据全等三角形的性质得到ade= cbf，由平行线的判定得到 ad bc，根据平行四边形的性质即可得到结论【解答】 证明： （1） be=df ，beef=df ef，即 bf=de ，aebd ，cfbd ， aed= cfb=90 ，在 rtade 与 rtcbf 中,，rtade rtcbf；（2）如图 ,连接 ac 交 bd 于 o，rtade rt

9、cbf, ade= cbf, ad bc，四边形 abcd 是平行四边形，ao=co 【点评】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键2(2016?曲靖 )如图 ,已知点 b，e，c，f 在一条直线上,ab=df ，ac=de ， a= d（1）求证： acde；第12页（共 28页）（2）若 bf=13，ec=5，求 bc 的长【分析】（1）首先证明abc dfe 可得 ace= def，进而可得acde；（2）根据 abc dfe 可得 bc=ef ，利用等式的性质可得eb=cf ，再由 bf=13，ec=5进而可得 eb 的长

10、 ,然后可得答案【解答】 (1）证明：在 abc 和 dfe 中， abc dfe（sas） ， ace= def，ac de；（2）解 : abc dfe, bc=ef, cbec=efec，eb=cf ，bf=13,ec=5 ，eb=4，cb=4 +5=9【点评】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件3(2016?孝感）如图， bd ac 于点 d，ceab 于点 e，ad=ae 求证： be=cd 第13页（共 28页）【分析】 要证明 be=cd, 只要证明ab=ac 即可，由

11、条件可以求得aec 和 adb 全等 ,从而可以证得结论【解答】 证明 ;bdac 于点 d，ceab 于点 e， adb= aec=90 ，在 adb 和 aec 中, adb aec （asa ）ab=ac, 又 ad=ae ，be=cd 【点评】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件4 （ 2016?湘西州 )如图，点o 是线段 ab 和线段 cd 的中点（1)求证： aod boc; (2)求证： ad bc【分析】 (1)由点 o 是线段 ab 和线段 cd 的中点可得出ao=bo ，co=do, 结合对顶角相等，即可利用全等三角形的判定定理（

12、sas）证出 aod boc；(2）结合全等三角形的性质可得出a= b，依据 “ 内错角相等， 两直线平行 ” 即可证出结论【解答】 证明： （1）点 o 是线段 ab 和线段 cd 的中点，ao=bo ， co=do在 aod 和 boc 中，有， aod boc（sas） （2) aod boc, a=b, ad bc第14页（共 28页）【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定定理，解题的关键是:(1)利用 sas 证出 aod boc； （2）找出 a=b本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时 ,根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等，结合全等三角形的性质找出相

13、等的角，再依据平行线的判定定理证出两直线平行即可5(2016?云南）如图：点c 是 ae 的中点， a=ecd,ab=cd ，求证： b=d【分析】 根据全等三角形的判定方法sas,即可证明 abc cde，根据全等三角形的性质：得出结论【解答】 证明 :点 c 是 ae 的中点 , ac=ce, 在 abc 和 cde 中， abc cde, b=d【点评】 本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法：sss，sas，asa,aas ，直角三角形还有hl6（2016?宁德）如图，已知 abc 和 dae ， d 是 ac 上一点，ad=ab ， deab， de=ac 求证： a

14、e=bc 【分析】 根据平行线的性质找出ade= bac ，借助全等三角形的判定定理asa 证出ade bac ，由此即可得出ae=bc 【解答】 证明： deab ， ade= bac 在 ade 和 bac 中， ade bac （asa ） ，ae=bc 【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键7 （ 2016?十堰 )如图， abcd,e 是 cd 上一点 ,be 交 ad 于点 f,ef=bf求证： af=df 第15页（共 28页）【分析】 欲证明 af=df 只要证明 abf def 即可解决问题【解答】 证明： abcd， b=fed

15、，在 abf 和 def 中， abf def，af=df 【点评】 本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判断和性质，熟练掌握平行线的性质，属于基础题，中考常考题型8(2016?武汉）如图，点b、e、c、f 在同一条直线上,ab=de ，ac=df,be=cf ，求证：abde【分析】 证明它们所在的三角形全等即可根据等式的性质可得bc=ef运用 sss证明abc 与 def 全等【解答】 证明： be=cf，bc=ef ，在 abc 与 def 中， abc def(sss） ， abc= def，ab de【点评】 本题考查了全等三角形的性质

16、和判定全等三角形的判定定理有sas，asa,aas,sss ，全等三角形的对应角相等9 （ 2016?昆明）如图，点d 是 ab 上一点 ,df 交 ac 于点 e，de=fe ，fc ab 第16页（共 28页）求证： ae=ce 【分析】 根据平行线的性质得出a= ecf，ade= cfe,再根据全等三角形的判定定理aas 得出 ade cfe，即可得出答案【解答】 证明： fcab， a=ecf， ade= cfe，在 ade 和 cfe 中， ade cfe(aas ） ，ae=ce 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理sss、 sas、 asa 、aas

17、 、hl 是解题的关键10 （2016?衡阳） 如图， 点 a、c、d、b 四点共线， 且 ac=bd ，a= b，ade= bcf，求证： de=cf【分析】 求出 ad=bc ，根据 asa 推出 aed bfc，根据全等三角形的性质得出即可【解答】 证明： ac=bd ，ac +cd=bd +cd，ad=bc, 在 aed 和 bfc 中，, aed bfc（asa ）, de=cf 【点评】 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用,能求出 aed bfc 是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等11 （2016?重庆）如图，点a，b，c，d 在同一条直线上，cedf， ec=bd,

18、ac=fd 求证： ae=fb 第17页（共 28页）【分析】 根据 cedf，可得 ace= d,再利用 sas 证明 ace fdb ，得出对应边相等即可【解答】 证明： cedf, ace= d，在 ace 和 fdb 中, ， ace fdb （sas） ，ae=fb 【点评】 此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质,证明三角形全等是解决问题的关键12 （2016?南充）已知abn 和 acm 位置如图所示，ab=ac ，ad=ae, 1=2（1）求证： bd=ce ；(2）求证： m=n【分析】（1)由 sas 证明 abd ace ，得出对应边相等即

19、可(2） 证出 ban= cam ， 由全等三角形的性质得出b=c， 由 aas 证明 acm abn ，得出对应角相等即可【解答】（1）证明 :在 abd 和 ace 中， abd ace （sas） ，bd=ce ；（2）证明：1=2， 1+dae= 2+dae ，即 ban= cam ，由(1）得： abd ace, b=c，第18页（共 28页）在 acm 和 abn 中,， acm abn （asa ） ， m=n【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键13 (2016?恩施州）如图 ,be ac，cdab, 垂足分别为e，d，be=cd 求证 :a

20、b=ac 【分析】 通过全等三角形（rtcbe rtbcd ）的对应角相等得到ecb= dbc，则ab=ac 【解答】 证明 :beac ，cdab， ceb=bdc=90 在 rtcbe 与 rtbcd 中，, rtcbertbcd （hl）, ecb=dbc ，ab=ac 【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定在应用全等三角形的判定时 ,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造三角形14 （2016?重庆 )如图 ,在 abc 和 ced 中，ab cd，ab=ce ，ac=cd 求证 :b=e【分析】 根据两直线平行,内错角相等可得bac= ecd

21、， 再利用 “ 边角边 ” 证明 abc 和ced 全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可【解答】 证明： abcd, bac= ecd, 在 abc 和 ced 中，, abc ced（sas）, b=e【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质， 熟练掌握三角形全等的判定方法并找出两边的夹角是解题的关键第19页（共 28页）15(2016?湖北襄阳）如图，在abc 中，ad 平分 bac ，且 bd=cd ，deab 于点 e，dfac 于点 f(1）求证 :ab=ac ；（2)若 ad=2， dac=30 ，求 ac 的长【分析】（1）先证明 deb dfc 得 b=

22、c 由此即可证明(2)先证明 ad bc，再在 rtadc 中,利用 30 角性质设cd=a，ac=2a，根据勾股定理列出方程即可解决问题【解答】 (1）证明 :ad 平分 bac ，deab 于点 e， dfac 于点 f，de=df ， deb= dfc=90 ，在 rtdeb 和 rtdfc 中， deb dfc, b=c, ab=ac （2)ab=ac ， bd=dc, ad bc, 在 rtadc 中, adc=90 ，ad=2,dac=30 ，ac=2cd, 设 cd=a，则 ac=2a，ac2=ad2+cd2，4a2=a2+（2）2, a0，a=2，ac=2a=4 【点评】 本题

23、考查全等三角形的判定和性质、直角三角形30 性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，记住直角三角形30 角所对的直角边等于斜边的一半,属于中考常考题型第20页（共 28页）16(2016?吉安校级一模）如图，rtabc rtdbf， acb= dfb=90 ，d=28 ，求gbf 的度数【分析】 根据全等三角形的性质得到cd=af, 证明 dgc agf ，根据全等三角形的性质和角平分线的判定得到cbg=fbg,根据三角形内角和定理计算即可【解答】 解： rtabc rtdbf ， acb= dfb=90 , bc=bf ，bd=ba ，cd=af ，在 dgc 和 agf 中，

24、 dgc agf ，gc=gf，又 acb= dfb=90 ， cbg=fbg， gbf=(90 28 ） 2=31 【点评】 本题考查的是全等三角形的性质角平分线的判定，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键17 （2016?武汉校级四模） 如图， 已知 acbc，bd ad ，ac 与 bd 交于 o，ac=bd 求证： abc bad 【分析】 由垂直的定义可得到c=d，结合条件和公共边，可证得结论【解答】 证明： acbc,bd ad ， c=d=90，在 rtacb 和 rtbda 中, ， acb bda （hl） 【点评】本题主要考查全等三角形的判定,掌握全等三角形的

25、判定方法是解题的关键，即 sss、sas、asa 、aas 和 hl 18 （2016?济宁二模）已知：如图，点b、f、c、e 在一条直线上，bf= ce,ac=df, 且 acdf第21页（共 28页）求证： abc def【分析】 求出 bc=fe, acb= dfe，根据 sas 推出全等即可【解答】 证明： bf=ce，bf+fc=ce+fc，bc=fe ，ac df， acb= dfe，在 abc 和 def 中, ， abc def（sas)【点评】 本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键 ,注意：全等三角形的判定定理有sas， asa，aa

26、s ， sss 19 （2016?诏安县校级模拟）已知： 点 a、 c、b、d 在同一条直线， m= n，am=cn 请你添加一个条件,使 abm cdn，并给出证明(1）你添加的条件是：mab= ncd；（2）证明：在 abm 和 cdn 中 m=n，am=cm, mab= ncd abm cdn（asa ） 【分析】 判定两个三角形全等的一般方法有：asa 、sss 、 sas、aas 、hl ，所以可添加条件为 mab= ncd ，或 bm=dn或 abm= cdn 【解答】 解： （1）你添加的条件是： mab= ncd；（2)证明：在 abm 和 cdn 中 m=n，am=cm ，

27、mab= ncd abm cdn（asa ） ，故答案为： mab= ncd; 在 abm 和 cdn 中 m=n,am=cm ， mab= ncd abm cdn（asa) 第22页（共 28页）【点评】 本题考查三角形全等的性质和判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有：asa 、sss、sas、aas 、hl （在直角三角形中)判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件,再去证什么条件20 （2016?屏东县校级模拟）如图，ab=ac ， ad=ae 求证： b= c【分析】 要证 b=c，可利用判定两个三角形全等的方法“ 两边

28、和它们的夹角对应相等的两个三角形全等” 证 abe acd, 然后由全等三角形对应边相等得出【解答】 证明：在 abe 与 acd 中, ， abe acd(sas) ， b=c【点评】 本题主要考查了两个三角形全等的其中一种判定方法，即“ 边角边 ” 判定方法观察出公共角 a 是解决本题的关键21 （2016?沛县校级一模）如图,在 abc 中，ad 是 abc 的中线，分别过点b、c 作 ad及其延长线的垂线be、cf，垂足分别为点e、f求证： be=cf【分析】 易证 bed cfd，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题【解答】 解: beae,cfae， bed= cfd=90 ，在

29、 bed 和 cfd 中， bed cfd(aas ） ，第23页（共 28页）be=cf 【点评】 本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等的性质,本题中找出全等三角形并证明是解题的关键22 （2016?福州 )一个平分角的仪器如图所示,其中 ab=ad ， bc=dc 求证：bac= dac 【分析】 在 abc 和 adc 中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（sss）证得 abc adc ，再由全等三角形的性质即可得出结论【解答】 证明：在 abc 和 adc 中，有， abc adc （sss）, bac= dac 【点评】 本题考查了全等三角形的判定及性质

30、，解题的关键是证出abc adc 本题属于基础题，难度不大,解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键23 (2012?漳州）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点b、f、c、e在同一直线上） ，并写出四个条件： ab=de ， bf=ec ， b=e， 1=2请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明题设：可以为 ；结论： (均填写序号）证明 : 【分析】 此题可以分成三种情况：情况一:题设： ;结论 : ,可以利用sas 定理证明abc def；情况二： 题设：;结论： ，可以利用 aas 证明 abc def；情况三

31、：题设 :;结论： ,可以利用 asa 证明 abc def，再根据全等三角形的性质可推出结论【解答】 情况一：题设 :；结论： 证明 :bf=ec ，bf+cf=ec +cf，即 bc=ef在 abc 和 def 中，第24页（共 28页） abc def(sas), 1=2；情况二：题设：;结论： 证明：在 abc 和 def 中， abc def(aas ） ，bc=ef ，bcfc=ef fc，即 bf=ec ；情况三：题设 :；结论： 证明： bf=ec，bf+cf=ec +cf, 即 bc=ef，在 abc 和 def 中， abc def(asa ）, ab=de 【点评】 此题

32、主要考查了全等三角形的判定与性质，此题为开放性题目，需要同学们有较强的综合能力，熟练应用全等三角形的全等判定才能正确解答24 (2009?大连）如图，在abc 和 def 中 ,ab=de ，be=cf， b=1求证： ac=df （要求 :写出证明过程中的重要依据）【分析】 因为 be=cf ，利用等量加等量和相等,可证出 bc=ef ，再证明 abc def，从而得出 ac=df 【解答】 证明 :be=cf，be+ec=cf +ec（等量加等量和相等)即 bc=ef在 abc 和 def 中，ab=de, b=1，bc=ef，第25页（共 28页） abc def（sas） ac=df

33、（全等三角形对应边相等）【点评】 解决本题要熟练运用三角形的判定和性质判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件，再去证什么条件25 （2006?平凉）如图 ,已知 ab=dc,ac=db求证： 1=2【分析】 探究思路：因为abo 与 dco 有一对对顶角，要证1=2，只要证明a= d,把问题转化为证明abc dcb ，再围绕全等找条件【解答】 证明 :在 abc 和 dcb 中， abc dcb a=d又 aob= doc, 1=2【点评】 本题是全等三角形的判定，性质的综合运用,可以由探究题目的结论出发，找全等三角形 ,再寻找判

34、定全等的条件26 （2006?佛山）如图，d、 e 分别为 abc 的边 ab 、 ac 上的点， be 与 cd 相交于 o 点现有四个条件： ab=ac ； ob=oc; abe= acd ； be=cd （1）请你选出两个条件作为题设,余下的两个作为结论,写出一个正确的命题：命题的条件是和，命题的结论是和(均填序号）；（2)证明你写出的命题【分析】本题实际是考查全等三角形的判定，根据条件可看出主要是围绕三角形abe 和 acd全等来求解的已经有了一个公共角a，只要再知道一组对应角和一组对应边相等即可得出三角形全等的结论可根据这个思路来进行选择和证明【解答】 解： （1）命题的条件是 和

35、，命题的结论是 和 第26页（共 28页）（2)已知： d,e 分别为 abc 的边 ab,ac 上的点 , 且 ab=ac ， abe= acd 求证： ob=oc ，be=cd 证明如下：ab=ac ， abe= acd, bac= cab ， abe acd be=cd 又 bcd= acb acd= abc abe= cbe ， boc 是等腰三角形ob=oc 【点评】 本题主要考查了全等三角形的判定，要注意的是aaa 和 ssa 是不能判定三角形全等的27 （2005?安徽）如图，已知ab de，ab=de ，af=dc ，请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明【分析】 本题是开放题 ,应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难,不重不漏【解答】 解:此图中有三对全等三角形分别是：abf dec、abc def、bc