北京市东城区高三数学上学期期末考试试题理

1、东城区 2016-2017 学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）本试卷共6 页， 150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分 （选择题共 40 分）一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。）（ 1）已知集合a x | (x1)( x3)0 ， b x | 2x4 ，则 ab（ a） x |1（ c） x | 2x3x3（ b） x |1（ d） x | 2x 4x4（ 2）抛物线（ a）y22 x 的准线方程是y1（ b） y12（ c）

2、x1（ d） x12（ 3）“ k1”是“直线kxy320 与圆 x2y29 相切”的（ a）充分而不必要条件（ b）必要而不充分条件（ c）充分必要条件（ d）既不充分也不必要条件（ 4）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ a） 6（ b） 8（ c） 10（ d） 12开始s0, k0是11s12否ss1kkk2输出k结束（ 5）已知x, yr ，且 xy0 ，则（ a） tan xtan y0（ b） x sin xy sin y0（ c） ln xln y0（ d） 2x2 y0（ 6）已知f ( x) 是定义在 r 上的奇函数，且在0,) 上是增函数，则f (x1)0 的解集为

3、（ a） (,1（b） (,1（c） 1,)（ d） 1,)（ 7）某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（ a） 23（ b） 43（ c） 28211正（主）视图2侧（左）视图（ d）3俯视图*（ 8 ） 数 列 an 表 示 第 n 天 午 时 某 种 细 菌 的 数 量 细 菌 在 理 想 条 件 下 第 n 天 的 日 增 长 率rn0.6 ( rnan 1anan ， nn) 当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率rn 会发生变化下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量q 随时间的变化规律那么，对这种细菌在实际条件下日增长率rn 的规律描述正确的是第二部分 （非选择题

4、共 110 分） 二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。（ 9）若复数 (2i)( a2i)是纯虚数，则实数ax20,（ 10）若x, y 满足xy0,则 x2 y 的最大值为x3 y40,x2（ 11）若点p (2,0)到双曲线a 2y21(a0) 的一条渐近线的距离为1，则 a （ 12）在abc 中，若ab2 ，ac3 ，a60，则bc；若adbc ，则ad （ 13 ）在abc 所在平面内一点p ，满足ap2 ab1ac ，延长bp 交 ac 于点 d ，若55adac ，则 （ 14）关于 x 的方程g( x)t (tr)的实根个数记为f (t ) 若g(x)ln x ，

5、则f (t ) = ；若g( x)x, x x0,2axa, x(ar ) ，存在 t 使得0,f (t2)f (t ) 成立， 则 a 的取值范围是2 三、解答题（共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。）（ 15）（本小题13 分）已知 an 是等比数列，满足a13，a424，数列 anbn 是首项为 4 ，公差为 1的等差数列（）求数列 an 和 bn的通项公式；（）求数列 bn 的前 n 项和（ 16）（本小题13 分）已知函数f ( x)2sin(2 x) (|) 部分图象如图所示2（）求f (x) 的最小正周期及图中x0 的值；（）求f (x) 在区间 0,

6、 上的最大值和最小值2y21ox0x（ 17）（本小题14 分）如图，在四棱锥pabcd 中，底面abcd 为矩形，平面pcd平面 abcd ， bc1，ab2 ，pcpd2 ， e 为 pa 中点（）求证：pc 平面 bed ；（）求二面角apcd 的余弦值；（）在棱pc 上是否存在点m ，使得 bmac ？若存在，求pmpc的值；若不存在，说明理由pedcab（ 18）（本小题13 分）设函数f ( x)ln( x1)ax(a x1r ) （）若f (0) 为f ( x)的极小值，求a 的值；（）若f ( x)0 对 x(0,) 恒成立，求a 的最大值（ 19）（本小题14 分）x2y21

7、已知椭圆c : a 2b21(ab0) 经过点m (2,0)，离心率为 a, b 是椭圆 c 上两点，且2直线 oa, ob 的斜率之积为34， o 为坐标原点（）求椭圆c 的方程；（）若射线oa上的点 p 满足 | po |3|oa | ，且 pb 与椭圆交于点q ，求| bp | bq |的值（ 20）（本小题13 分）已知集合an( x1 , x2 , xn ) | xi1,1( i1,2, n) x, yan ，x( x1 , x2 , xn ) ， y( y1, y2 , yn ) ，其中xi , yi1,1 (i1,2, n) 定义 xyx1 y1x2 y2xn yn 若 xy0

8、，则称 x 与 y 正交（）若x(1,1,1,1)，写出a4 中与 x 正交的所有元素；（） 令 b xy | x, yan 若 mb，证明： mn为偶数；（）若aan ，且 a 中任意两个元素均正交，分别求出n8,14 时， a 中最多可以有多少个元素东城区 2016-2017学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共 40 分）（ 1） c（ 2） d（ 3） a（ 4） b（ 5） d（ 6） c（ 7） b（ 8） b二、填空题（共6 小题，每小题5 分，共 30 分）（ 9）1（ 10） 6（ 11）3（ 12）7 ， 32

9、17（ 13） 13（ 14）1， (1,)三、解答题（共6 小题，共80 分）（ 15）（共 13 分）解：（）设等比数列an的公比为 q 由题意，得q3a48 ， q2 a1所以 aa qn 13 2n 1 (n1,2,) 3 分n1又数列 anbn 是首项为 4 ，公差为 1的等差数列，所以 anbn4(n1) 1 从而 bn( n3)32 n1 ( n1, 2,) 6 分（）由（）知bn( n3)32 n1 (n1,2,)数列 n3 的前 n 项和为n(n27) 9 分数列 32 n1 的前 n 项和为3(12n )1232n3 12 分所以，数列 bn 的前 n 项和为n(n27)3

10、2 n3 13 分（ 16）（共 13 分）解：（）由题意t22， t2 分因为点 (0,1) 在f (x)2sin(2 x) 图象上，所以 2sin(20)=1 又因为 |2 ，所以4 分6所以 x076 分6（）由（）知f ( x)2sin(2 x) ，6因为 0x，所以262x66当 2x，即 x62时 ， f6(x) 取得最大值2 ；当 2x，即 x66时， f2(x) 取得最小值1 13 分（ 17）（共 14 分）解：（）设ac 与 bd 的交点为f ，连结 ef 因为 abcd为矩形，所以f 为 ac 的中点在 pac 中，由已知e 为 pa 中点， 所以 ef pc 又 ef平

11、面 bed ，pc平面 bed ，所以 pc 平面 bed 5 分（）取 cd 中点 o，连结 po 因为 pcd 是等腰三角形，o 为 cd 的中点，z所以 pocd p又因为平面pcd平面 abcd ，po平面 pcd ，me所以 po平面 abcd ocy取 ab 中点 g ，连结 og ，由题设知四边形abcd为矩形，所以 ofcd dfagbx所以 poog 1 分如图建立空间直角坐标系oxyz ，则 a(1,1,0) ， c (0,1,0)， p(0,0,1)， d (0,1,0) ，b (1,1,0) ， o (0,0,0) ， g(1,0,0) ac(1,2,0) ， pc(0

12、,1,1) 设平面 pac 的法向量为n(x, y, z) ，nac则0,x2 y0,，即npc0,yz0.令 z1 ，则 y1， x2 所以 n(2,1,1) 平面 pcd 的法向量为 og(1,0,0) 设 n, og 的夹角为，所以cos6 3由图可知二面角apcd 为锐角，所以二面角apcb 的余弦值为6 10 分3（）设 m 是棱 pc 上一点，则存在0,1 使得 pmpc因此点m (0,1) ， bm(1,1,1) ， ac(1,2,0) 由 bmac0 ，即1 2因为10,1 ，所以在棱pc 上存在点 m ，使得 bmac 2此时， pmpc114 分2（ 18）（共 14 分）

13、解：（）f ( x)的定义域为(1,) 因 为 f所 以 f(x)ln( x1)1'( x)ax，x1a2 x1(x1)因 为 f (0) 为f ( x)的极小值，所 以 f'(0)0 ，即1a0 所以 a101(01)2此时，f '(x)( xx1)2当 x(1,0) 时，f '( x)0 ，f ( x)单调递减；当 x(0,) 时，f '(x)0 ，f (x)单调递增所以 f( x) 在 x0 处取得极小值，所以 a1 5 分（）由（）知当a1时，f (x)在0,) 上为单调递增函数，所以 f( x)f (0)0 ，所 以 f(x)0 对 x(0,)

14、 恒成立因此，当 a1 时，f ( x)ln( x1)axln( x1)x0 ，f ( x)0 对 xx1x1(0,) 恒成立当 a1 时，f '( x)1x1( xax(a1) ，1)2( x1)2所以，当x(0, a1) 时，f '( x)0 ，因为f ( x)在0, a1) 上单调递减，所 以 f (a1)f (0)0 所以当 a1 时，f ( x)0 并非对 x(0,) 恒成立综上， a 的最大值为 113 分（ 19）（共 13 分）解：（）由题意得a2，c1 ，a2a 2b2c2 .解得 b3 x2y2所以椭圆 c 的方程为431. 5 分（）设a( x1, y1

15、), b(x2 , y2 ), q( x3 , y3 ) 因为点 p 在直线 ao 上且满足 | po |3| oa|，所以 p(3 x1 ,3 y1 ) 因为 b,q, p三点共线，所以 bpbq所以3x1 3 y1(3x1x2 y2x2 ,3 y1( x3( y3y2 )( x3x2 ),y2 ).x2 , y3y2 ) ，x 3 x1 x ,312解得y 3 y1 y .312x 2y 2因为点 q 在椭圆 c 上，所以331 43所以 (3131x2y1x2 )(1y2 )2143229xy1x 2y 26(1)x xy y即(11)()2 (22)(1 212 )1 ，24343因为

16、 a, b 在椭圆 c 上，243x 2y 2x 2y 2所以111，43221 43因为直线oa, ob 的斜率之积为3 ，4y1y2所以3 ，即 x1x2y1 y20 x1x244391 2所以2()1 ，解得5所以 | bp|5 14 分| bq|（ 20）（共 13 分）解：（）a4 中所有与x 正交的元素为(1,1,1,1)， (1,1, 1, 1) ， (1,1, 1,1)， (1,1,1, 1) ，(1, 1,1,1)， (1, 1,1, 1) 3 分（）对于mb，存在 x( x1 , x2 , xn ), xi1,1 ，y( y1, y2 , yn ), yi1,1 ；使得 xym1，xi令i0,xiyi ,， kyini ；当 xii 1yi 时xi yi1 ，当 xiyi 时xi yi1 .n那么 xyxi yik(nk)2kn .i 1所以 mn2k 为偶数8 分（） 8 个， 2 个n8 时，不妨设x1(1,1,1,1,1,1,1,1，)x2(1,1,1, 1,1,1,1,1)11111111在考虑 n4 时，共有四种互相正交的情况即：11111111，分别与x1 , x2 搭配，可形成8 种情况所以 n8 时， a 中最多可以有8 个元素10 分n14 时，不妨设 y1(1,1,1) ， y114个(1,1,1,1,1,1)，则7个7