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1、    浅谈求二面角通法    李伟摘 要：立体几何是中学数学教学的重要内容，也是高考中的必考内容。求二面角作为立體几何的一个难点，也是高考中常考的题型。传统的求二面角的方法既抽象又计算量大，特别是作辅助线，要求空间想象能力很强。因此，找出求二面角的通法也就成了迫切需要解决的问题。关键词：二面角；法向量；共面求二面角是立体几何的一个难点，也是高考中常见的题型，传统方法过于抽象，空间向量的引入巧妙地把空间问题数字化。利用空间向量求二面角大小，教材上也介绍了一些方法，然而当二面角的大小不容易分辨是钝角还是锐角时就难以取舍了，下面介绍两种求二面角的通法。一、利

2、用公共棱法向量的夹角求二面角当二面角公共棱明显时，如图，ab，cd是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的夹角大小=<>，将二面角的大小转化为公共棱法向量的夹角。例1（2011年高考新课标改编）如图，四棱锥p-abcd中，底面abcd为平行四边形，dab=60°，ab=2ad，pd底面abcd，若pd=ad，求二面角a-pb-c的余弦值。解：如图，以d为坐标原点，建立空间直角坐标系，不妨设ad=1，则：d（0，0，0） a（1，0，0） b（0，0） c（-1，0） p（0，0，1）过a作ampb，交pb于m；过c作cnpb，交pb于n设m（x，y，z）m点在

3、pb上，=（x，y，z-1）=（0，-1）x=0y=z=1-又ampb所以·=0解之得x=0y=z=，所以m（0，）同理可得n（0，0）=（1，-，-），=（-1，0，0）cos<，>=-所以二面角a-pb-c的余弦值为-。二、利用空间法向量的夹角求二面角当二面角公共棱不明显时，如图，分别是二面角-l- 的两个半平面，的法向量，则二面角的夹角=-<，>，将二面角的大小转化为平面法向量的夹角的补角。例2（2011年高考新课标改编）如图，四棱锥p-abcd中，底面abcd为平行四边形，dab=60°，ab=2ad，pd底面abcd，若pd=ad，求二面角 bc-p-ad的大小。解：如图，以d为坐标原点，建立空间直角坐标系，不妨设ad=1，则：d（0，0，0） a（1，0，0） b（0，0） c（-1，0） p（0，0，1）过d作dm面pbc交面pbc于m过b作bn面pad交面pad于n设m（x，y，z）m点在面pbc上=+（x，y，z-1）=（0，-1）+（-1，-1）x=-y=（+）z=1-又dmpb，dmpc·=0·=0，解之得x=0y=z=m（0，）同理可求得n（0，0，

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