第2章 2.3.4　圆与圆的位置关系高中数学选择性必修第一册讲义

1、1 / 9 2.3.4 圆与圆的位置关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1掌握圆与圆的位置关系及判定方法(重点) 2了解两圆相离、相交或相切时一些简单的几何性质的应用(重点) 3掌握利用圆的对称性灵活解决问题的方法(难点) 1通过学习圆与圆的位置关系，培养直观想象的核心素养 2借助圆与圆的位置关系的判断，培养数学运算的核心素养 奥运五环象征着什么？圆与圆的位置关系有哪些？ 1圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含 2圆与圆的位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为 r1、r2，两圆的圆心距为 d，则两圆的位置关系的判断方法如表： 位置关系 外离

2、外切 相交 内切 内含 图示 d与 r1、r2的关系 dr1r2 dr1r2 |r1r2| dr1r2 d|r1r2| d|r1r2| (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断 2 / 9 圆c1方程圆c2方程消元 一元二次方程 0相交0内切或 外切0外离或 内含 思考：用代数法消元后若 0成立，是否两圆相离？ 提示 相离或内含 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切 ( ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交 ( ) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方

3、程 ( ) 答案 (1) (2) (3) 提示 (1)错误，还可能是内切 (2)错误，还需要大于两半径之差的绝对值 (3)错误，在相交的情况才是 2两圆 x2y24x6y90 和 x2y212x6y190 的位置关系是( ) a外离 b外切 c相交 d内切 b 两圆的圆心分别为(2,3)，(6，3)，半径分别为 2,8所以两圆的圆心距 d (26)2(33)210，1028，即 dr1r2 3两圆 x2y2r2与(x2)2(y1)2r2(r0)外切，则 r 的值是( ) a 5 b5 c52 d2 5 c 两圆外切， 3 / 9 圆心距 d (02)2(01)22r， 解得 r52 4已知两圆

4、 x2y24x6y100 与 x2y22x8y60 相交于 a，b两点，则直线 ab的方程为 3xy20 两圆的方程相减得 6x2y40，即 3xy20 圆与圆位置关系的判定 【例 1】 已知圆 c1：x2y22mx4ym250，圆 c2：x2y22x2mym230 (1)当 m为何值时，圆 c1与圆 c2外切？ (2)当圆 c1与圆 c2内含时，求 m的取值范围？ 思路探究 本题主要考查两圆的位置关系，关键将圆的方程表示为标准方程，然后再利用外切、内含的条件列出方程或不等式即可 解 对于圆 c1与圆 c2的方程，经配方后，有 c1：(xm)2(y2)29c2：(x1)2(ym)24 两圆的圆

5、心 c1(m，2)，c2(1，m)，半径 r13，r22，且|c1c2|(m1)2(m2)2 (1)若圆 c1与圆 c2相外切，则|c1c2|r1r2， 即 (m1)2(m2)25 解得 m5或 m2 (2)若圆 c1与圆 c2内含，则 0|c1c2|r2r1|1， 即 (m1)2(m2)21 解得2m1 1判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围问题有以下几个步骤： (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径； (2)计算两圆圆心的距离 d； 4 / 9 (3)通过 d，r1r2，|r1r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合 2应用几何法判定两

6、圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系 跟进训练 1当实数 k 为何值时，两圆 c1：x2y24x6y120，c2：x2y22x14yk0相交、相切？ 解 将两圆的一般方程化为标准方程，c1：(x2)2(y3)21， c2：(x1)2(y7)250k 圆 c1的圆心为 c1(2,3)，半径 r11； 圆 c2的圆心为 c2(1,7)，半径 r2 50k(k50) 从而|c1c2| (21)2(37)25 当 1 50k5，k34时，两圆外切 当| 50k1|5，50k6，k14 时，两圆内切 当|r2r1|c1c2|r2r1， 即 14k34时，两圆相交

7、两圆相交的有关问题 【例 2】 已知圆 c1：x2y210 x10y0 和圆 c2：x2y26x2y400 相交于 a，b两点，求弦 ab的长 思路探究 本题主要考查两圆的相交弦问题，关键是要寻找关于弦 ab 的相交量由于两圆方程已知，可先求 a，b 的坐标，再求弦长，也可转化为直线 ab与圆 c1或圆 c2的相交问题 解 法一：两圆方程相减得 4x3y100，此即为两圆相交弦所在直线ab的方程 由 4x3y100，x2y210 x10y0， 解得 x2，y6或 x4，y2. 5 / 9 a，b的坐标分别为(2,6)，(4，2) |ab|(24)2(62)210 即弦 ab的长为 10 法二：

8、由解法一得直线 ab为 4x3y100 圆心 c1(5,5)到直线 ab的距离为 d|201510|55， 而圆 c1的半径为 r5 2 由圆的性质可知 |ab|2 r2d22 502510 即弦 ab的长为 10 1求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数 2求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解 3已知圆 c1：x2y2d1xe1yf10 与圆 c2：x2y2d

9、2xe2yf20 相交，则过两圆交点的圆的方程可设为 x2y2d1xe1yf1(x2y2d2xe2yf2)0(1) 跟进训练 2(1)圆 o1：x2y24x6y0 和圆 o2：x2y26x0 交于 a，b 两点，则线段 ab的垂直平分线的方程是 (2)经过两圆 x2y26x40 和 x2y26y280 的交点且圆心在直线 xy40上的圆的方程为 (1)3xy90 (2)x2y2x7y320 (1)两圆的方程相减得 ab 的方程为 x3y0，圆 o1的圆心为(2，3)，所以线段 ab 的垂直平分线的方程为y33(x2)，即 3xy90 6 / 9 (2)解方程组 x2y26x40，x2y26y2

10、80，得两圆的交点 a(1,3)，b(6，2) 设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线 xy40上，故 ba4 则有 (a1)2(a43)2 (a6)2(a42)2， 解得 a12，故圆心为12，72， 半径为12127232892 故圆的方程为x122y722892， 即 x2y2x7y320 圆与圆的相切问题 探究问题 1圆与圆相切是什么意思？ 提示 两圆相切指的是内切和外切两种情况 2两圆相切可用什么方法求解？ 提示 (1)几何法利用圆心距 d与两半径 r，r 之间的关系求得， drr 为外切，d|rr|为内切 (2)代数法将两圆联立消去 x或 y得到关于 y 或 x的一元二次方程，利

11、用 0 求解 【例 3】 求与圆 x2y22x0 外切且与直线 x 3y0 相切于点 m(3， 3)的圆的方程 思路探究 设圆的方程，利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得 解 设所求圆的方程为 (xa)2(yb)2r2(r0)， 由题知所求圆与圆 x2y22x0 外切， 则 (a1)2b2r1 又所求圆过点 m的切线为直线 x 3y0， 7 / 9 故b 3a3 3， |a 3b|2r 解由组成的方程组得 a4，b0，r2 或 a0，b4 3，r6故所求圆的方程为(x4)2y24 或 x2(y4 3)236 1将本例变为“求与圆 x2y22x0 外切，圆心在 x 轴上，且过点(3， 3)的

12、圆的方程”，如何求？ 解 因为圆心在 x轴上， 所以可设圆心坐标为 (a,0)，半径为 r， 则所求圆的方程为(xa)2y2r2， 又因为与圆 x2y22x0外切，且过点(3， 3)， 所以 (a1)202r1，(3a)2( 3)2r2， 解得 a4，r2， 所以圆的方程为(x4)2y24 2将本例改为“若圆 x2y22x0 与圆 x2y28x8ym0 相外切，试求实数 m的值” 解 圆 x2y22x0 的圆心为 a(1,0)，半径为 r11，圆 x2y28x8ym0的圆心为 b(4,4)，半径为 r2 32m因为两圆相外切， 所以 (41)2(40)21 32m，解得 m16 处理两圆相切问

13、题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论 (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时) 8 / 9 1本节课的重点是理解并掌握圆与圆的位置关系，会利用方程判断圆与圆的位置关系，以及解决有关问题，难点是利用方程判断圆与圆的位置关系及利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题 2本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断两圆位置关系的方法及应用 (2)求两圆公共弦长的方法 3本节课的易错点是判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而丢解 1两圆 x2(y2)21和(x2)2

14、(y1)216 的位置关系是( ) a相离 b相交 c内切 d外切 b 两圆圆心分别为(0,2)和(2，1)，半径分别为 1 和 4，圆心距 d49 13，|r1r2|d|r1r2|，故两圆相交 2若圆 c1：x2y21与圆 c2：x2y26x8yn0内切，则 n( ) a21 b9 c19 d11 d c2化为标准方程(x3)2(y4)225n， 其圆心为(3,4)，半径 r 25n，c1圆心为(0,0)，半径为 1 若两圆内切，则有 (30)2(40)2 25n1，解得 n11 3已知两圆的圆心距为 6，两圆的半径分别是方程 x26x80 的两个根，则两圆的位置关系为( ) a外离 b外切 c相交 d内切 b 由题意知 r1r266(两圆圆心距)， 两圆外切 9 / 9 4圆 x2y28与圆 x2y24x160的公共弦长为 4 两圆方程作差得 x2，当 x2 时，由 x2y28 得 y2844，即 y 2，即两圆的交点坐标为 a(2,2)，b(2，2)，则|ab|2(2)4 5已知圆 c1：x2y22x6y10，圆 c2：x2y