高中数学课堂教学中生成性资源开发课例

1、 高中数学课堂教学中生成性资源开发课例 摘要利用已有高中数学课堂的教学资源，开发具 有生成性的教学资源的教学课例. 关键词生成性教学资源周期性 在人教 a版必修四1.1任意角和弧度制的课后练习 题中有一道考察周期性的习题，经过改编成为了很好的生成 性教学资源。 一、提出问题 一位同学2004年3月21日过生日， 这天正好是星期天, 那么 2005年 3月 21日这天能否是星期天？如果不是，那么 还要经过多少年， 这一年的 3月 21日 （他的生日） 又会星 期天呢？现在给出任意一年的任意一个日期，经过多少年这 一日期与原日期的星期重合？ 这个问题提出后， 很多同学立刻给出了第一个问题“不 是”

2、的答案， 因为 2004年 3月 21日到 2005年 3月 21日要 经过 365天，365被 7除等于 52余 1,所以一年后的 3月 21 日不是星期天。第二个问题在第一个问题解决后，有的同学 不假思索的回答是 7年，而有的同学在认真思考、论证后回 答是 6年，显然后一个答案是正确的，前一个答案没有考虑 每四年中有一个闰年，这一年有 366天。两个问题解决完， 同学们都有些意犹未尽的感觉，第三个问题经过分组讨论， 答案集中在 5年、 6年、11年三个结果中，同学们各有各的 理由，但哪一个是正确的呢？ 二、 分析问题 答案为 5年的同学，所选日期都在闰年前一年的 3月 1 日到闰年的 2月

3、 28日这一时间段，在此时间段的日期到下 一年同一日期间隔 366天，接着间隔 3个 365天和一个 366 天，这些天数加在一起正好是 7 的整数倍。间隔天数为 366、 365、365、365、366,可把它们看作整年，对应的年份记为 闰-平-平-平-闰。 答案为 6年的同学， 所选日期都在闰年的 3月 1日到下 一个平年的 2月 28日，或是从下一个平年的 3月 1日到第 二个平年的 2月 28日这两个时间段。间隔天数对应的年份 记为平-平-平-闰-平-平或平-平-闰-平-平-平。 答案为 11年的同学，所选日期都在闰年后的第二个平 年的 3月 1日到第三个平年的 2月 28日。间隔天数

4、对应的 年份记为平-闰-平-平-平-闰-平-平-平-闰-平。 原来这三个答案都正确，用数学的语言对此进行解释， 实际就是一个数学建模过程。 三、 解决问题 1建立模型 这三个问题可抽象为一个求解不定方程的数学问题， 设 经过 m个闰年，n个平年后，两个相同的日期如果星期也一 致，那么它们间隔天数之和一定是 7的整数倍，即求解 366m+365n二 7x0 关于 m、n、x0的整数解的不定方程。 2模型化简 因为 366除以 7等于 52余 2, 365除以 7等于 52余 1, 根据同余原理原不定方程 366m+365n=7x0 可简化为加+n二 7y0 的形式，其中 m、n、y0是所要求的正

5、整数解。 3模型假设 设闰年为第 n1类年，闰年后的第二年为第 n2类年，闰 年后的第三年为第 n3类年，闰年后的第四年为第 n4类年; 再设 n1类年的 3月 1日到其下一年的 2月 28日为 ml区间, 第n2类年的 3月 1日到其下一年的 2月 28日为 m2区间， 间。这样除了 2月 29日这一特殊日期，任一年的任一天的 日期都会找到相对应的区间。 4模型求解 根据模型的化简， 只要考虑每两年间同一日期间隔天数 被7整除的余数，当余数的和等于 7的整数倍时，就可以求 得相应的解。例如：第 ml区间内的日期到其后相同日期， 每两年间隔天数被7整除所得余数对应的数列为1, 1, 1, 2,

6、 1, 1, 1, 2,，第 n3类年的 3月 1 日到其下一年的 2月 28日为 m3区间, 第 n4类年的 3月 1 日到其下一个闰年的 2月 28日为 m4区 前六项的和等于 7,则在第 ml区间的日期 最少要经过六年，星期会与原日期对应的星期相一致，此时 不定方程 2m+n=7y0 的解为 m=l, n=5, yo=l；第 m2区间内 的讨论的结果和 ml区间内的相同；第 m3区间内的日期到其 后相同日期，每两年间隔天数被 7 整除所得余数对应的数列 为1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1,，前一项的和等于 14, 则在第 m3区间的日期最少要经过十一年后，星期会与原日 期对应

7、的星期相一致，此时不定方程 2m+n=7y0 的解为 m=3, n=8, y0=2；第 m4区间内的日期到其后相同日期，每两年 间隔天数被7整除所得余数对应的数列为2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1,，前五项的和为 7,则在第 m4区间的日期最少要经 过五年后，星期会与原日期对应的星期相一致，此时不定方 程 2m+n=7y0的解为 m=2, n=3, yo=l； 2月 29日到下一个 2 月 29日经过四年，经过的天数被 7整除余 5,是 5的倍数且 能被 7整除的最小正整数是 35,也就是要经过 7个四年后星 期相一致，此时不定方程 2m+n=7y0 的解为 m=7, n=21,

8、y0=5o 给出任意一个日期，首先判断是属于哪个区间的，如果 在第 ml、m2 区间，最少经过六年，星期相同；如果在第 m3 区间，最少经过十一年，星期相同；如果在第 m4区间，最 少经过五年，星期相同；如果日期是 2月 29日，最少经过 二十八年，星期相同。 5.模型检验 模型求解的关键是如何将日期进行正确的分区， 有的同 学 是按照整年分区的，这就忽略了闰年 2月 29日前后到下 一年同一日期天数的变化。如在闰年，2 月 29 日前的一天到 下一年的同一天，一定要经过 366天；而 2月 29日后的一 天到下一年的同一天要经过 365天。又因为 2月 29日每四 年出现一次，所以要特殊考虑

9、。 在计算机教室， 学生可以通过计算机的“日期和时间” 应用对本模型进行检验，若检验正确，说明模型成功，若检 验有误，可以再对模型进行修改，直到检验无误。 四、总结 这是一个很典型的具有生成性的教学资源， 学生在解决 这个问题的过程中通过不断的探索，提出一个个新问题，课 堂教学过程呈现一个师生及多种因素间动态的相互作用的 推进过程，问题的最后解决有多种可能性存在，教学过程的 推进就是在多种可能性中作出选择，使新和状态不断生成， 并影响下一步发展的过程。存在问题，四年一闰，百年不闰, 四百年再闰利用上述模型求解连续 8 个平年的问题还要讨论 一些特殊年份，这个问题学生没有讨论出来，可以留作思考 问题让学生进一步的探究。