选择性必修第一册第一章 章末复习

1、1 / 11 章末复习章末复习 一、空间向量的概念及运算 1空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础 2向量的运算过程较为繁杂， 要注意培养学生的数学运算能力 例 1 (1)已知正方体 abcda1b1c1d1中，a1e14a1c1，若aexaa1y(abad)，则 x_，y_. (2)(多选)如图，在四棱锥 sabcd中，底面 abcd 是边长为 1的正方形，s到 a，b，c，

2、d的距离都等于 2.下列选项中，正确的是( ) 2 / 11 a.sasbscsd0 b.sasbscsd0 c.sasbscsd0 d.sa sbsc sd 答案 (1)1 14 (2)cd 解析 (1)由题意知aeaa1a1eaa114a1c1aa114(abad)，从而有 x1，y14. (2)因为sasbscsdbadc0，所以 c 正确；又因为底面 abcd 是边长为 1 的正方形，sasbscsd2，所以sa sb22cos asb，sc sd22cos csd，而asbcsd，于是sa sbsc sd，因此 d正确，其余两个都不正确 反思感悟 空间向量的数乘运算及向量共面的充要条

3、件 (1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的 (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点 p 位于平面 abc 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使apxabyac. 跟踪训练 1 (1)在空间直角坐标系中，已知 a(1，2,1)，b(2,2,2)，点 p在 z轴上，且满足 |pa|pb|，则 p点坐标为( ) a(3,0,0) b(0,3,0) c(0,0,3) d(0,0，3) 答案 c 解析 设 p(0,0，z)，则有 (10)2(20)2(1z)2 (20)2(20)2(2z)2，解

4、得 z3. (2)如图所示，在平行六面体 abcda1b1c1d1中，以顶点 a为端点的三条棱长度都为 1，且两两夹角为 60 . 求ac1的长； 3 / 11 求bd1与ac夹角的余弦值 解 记aba，adb，aa1c，则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60 ， a bb cc a12. |ac1|2(abc)2 a2b2c22(a bb cc a) 11121212126， |ac1| 6. bd1bca，acab， |bd1| 2，|ac| 3， bd1 ac(bca) (ab) b2a2a cb c1， cosbd1，acbd1 ac|bd1|ac|66. 二、利用空间向量证明位

5、置关系 1用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明 2将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力 例 2 在四棱锥 pabcd 中，abad，cdad，pa底面 abcd，paadcd2ab2，m 为 pc 的中点 (1)求证：bm平面 pad； (2)平面 pad 内是否存在一点 n，使 mn平面 pbd？若存在，确定 n 的位置；若不存在，说明理由 (1)证明 以 a 为原点，以 ab，ad，ap 所在直线分别为

6、 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 b(1,0,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)，c(2,2,0)，m(1,1,1)， 4 / 11 bm(0,1,1)，平面 pad 的一个法向量为 n(1,0,0)， bm n0，即bmn， 又 bm平面 pad， bm平面 pad. (2)证明 由(1)知，bd(1,2,0)，pb(1,0，2)， 假设平面 pad内存在一点 n，使 mn平面 pbd. 设 n(0，y，z)，则mn(1，y1，z1)， 从而 mnbd，mnpb， mn bd0，mn pb0，即 12(y1)0，12(z1)0， y12，z12， n0，12，12， 在平

7、面 pad内存在一点 n0，12，12，使 mn平面 pbd. 反思感悟 利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证) 跟踪训练 2 在直三棱柱 abca1b1c1中，ac3，bc4，ab5，aa14. (1)求证：acbc1； (2)请说明在 ab 上是否存在点 e，使得 ac1平面 ceb1. (1)证明 在直三棱柱 abca1b1c1 中，因为 ac3，bc4，ab5，所以 ac，bc，cc1两两垂直，以 c为坐标原点，直线 ca，cb，cc1分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 5 /

8、11 则 c(0,0,0)，a(3,0,0)，c1(0,0,4)，b(0,4,0)，b1(0,4,4) 因为ac(3,0,0)，bc1(0，4,4)， 所以ac bc10，所以acbc1，即 acbc1. (2)解 假设在 ab上存在点 e，使得 ac1平面 ceb1， 设aetab(3t，4t，0)，其中 0t1. 则 e(33t，4t，0)，b1e(33t，4t4，4)， b1c(0，4，4) 又因为ac1mb1enb1c成立， 所以 m(33t)3，m(4t4)4n0， 4m4n4， 解得 t12. 所以在 ab上存在点 e，使得 ac1平面 ceb1，这时点 e 为 ab 的中点 三、

9、利用空间向量计算距离 1空间距离的计算思路 (1)点 p 到直线 l 的距离：已知直线 l 的单位方向向量为 u，a 是直线 l 上的定点，p 是直线 l外一点，设向量ap在直线 l 上的投影向量为aqa，则点 p 到直线 l 的距离为 a2 (a u)2 (如图) (2)设平面 的法向量为 n，a 是平面 内的定点，p 是平面 外一点，则点 p 到平面 的距离为|ap n|n|(如图) 2通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力 6 / 11 例 3 在三棱锥 bacd 中，平面 abd平面 acd，若棱长 accdadab1，且bad30 ，求点 d 到平面 ab

10、c 的距离 解 如图所示，以 ad 的中点 o为原点，以 od，oc所在直线为 x轴、y 轴，过 o作 om平面 acd交 ab 于 m，以直线 om为 z轴建立空间直角坐标系， 则 a12，0，0 ，b312，0，12，c0，32，0 ，d12，0，0 ， ac12，32，0 ，ab32，0，12，dc12，32，0 ， 设 n(x，y，z)为平面 abc的一个法向量， 则 n ab32x12z0，n ac12x32y0， y33x，z 3x，可取 n( 3，1,3)， 代入 d|dc n|n| ，得 d3232133913， 即点 d到平面 abc的距离是3913. 反思感悟 利用向量法求

11、点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可 跟踪训练 3 已知正方体 abcda1b1c1d1的棱长为 1，若点 p 满足ap35ab13ad14aa1，则点 p 到直线 ab 的距离为( ) a.25144 b.512 c.1320 d.10515 答案 b 解析 以点 a 为原点，分别以直线 ab，ad，aa1 为 x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系如图， 7 / 11 易知 a(0,0,0)，b(1,0,0)，d(0,1,0)，a1(0,0,1)，则向量ap35，13，14，ab(1,0,0). 则点 p到直线 ab的距离为ap2ap abab

12、219116512. 四、利用空间向量求空间角 1空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线 l1，l2的方向向量分别为 m1，m2，则 l1与 l2的夹角 满足 cos |cosm1，m2|. (2)设直线 l的方向向量和平面 的法向量分别为 m，n，则直线 l 与平面 的夹角 满足 sin |cosm，n|. (3)设 n1，n2分别是两个平面 ，的法向量，则两平面 ，夹角 满足 cos |cosm，n|. 2通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力 例 4 如图，在长方体 ac1中，abbc2，aa1 2，点 e，f 分别是平面 a1b1c1d1，平面 bcc1b

13、1的中心以 d 为坐标原点，da，dc，dd1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系试用向量方法解决下列问题： (1)求异面直线 af和 be所成的角； (2)求直线 af和平面 bec所成角的正弦值 解 (1)由题意得 a(2,0,0)，f1，2，22，b(2,2,0)，e(1,1， 2)，c(0,2,0) af1，2，22，be(1，1， 2)， af be1210. 直线 af和 be所成的角为 90 . (2)设平面 bec 的法向量为 n(x，y，z)， 又bc(2,0,0)，be(1，1， 2)， 则 n bc2x0，n bexy 2z0， 8 / 11 x0，取

14、 z1，则 y 2， 平面 bec 的一个法向量为 n(0， 2，1) cosaf，naf n|af| |n|5 22222 35 3333. 设直线 af和平面 bec 所成的角为 ，则 sin 5 3333， 即直线 af和平面 bec 所成角的正弦值为5 3333. 反思感悟 (1)在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标 (2)直线和平面所成的角、两个平面的夹角类问题有两种思路：转化为两条直线所成的角、利用平面的法向量 跟踪训练 4 如图，在四棱锥 pabcd 中，底面 abcd 为正方形，平面 pad平

15、面abcd，papd 6，ab4. (1)求平面 bdp 与平面 pad的夹角的大小； (2)若 m是 pb的中点，求直线 mc与平面 bdp所成角的正弦值 解 (1)取 ad的中点 o，设 acbde，连接 op，oe. 因为 papd，所以 opad， 又因为平面 pad平面 abcd，且 op平面 pad， 所以 op平面 abcd. 因为 oe平面 abcd，所以 opoe. 因为四边形 abcd是正方形， 所以 oead， 如图，建立空间直角坐标系 oxyz， 则 p(0,0， 2)，d(2,0,0)，b(2,4,0)，bd(4，4,0)，pd(2,0， 2) 设平面 bdp 的法向

16、量为 n(x，y，z)， 9 / 11 则 n bd0，n pd0，即 4x4y0，2x 2z0， 令 x1，则 y1，z 2. 于是 n(1,1， 2) 平面 pad的法向量为 p(0,1,0)， 所以 cosn，pn p|n|p|12. 所以平面 bdp与平面 pad的夹角为3. (2)由题意知 m1，2，22，c(2,4,0)， mc3，2，22. 设直线 mc 与平面 bdp 所成的角为 ， 则 sin |cosn，mc|n mc|n|mc|2 69. 所以直线 mc与平面 bdp所成角的正弦值为2 69. 1.(2019 全国改编)如图，长方体 abcda1b1c1d1的底面 abc

17、d 是正方形，点 e 是棱 aa1的中点，beec1，求平面 bec 和平面 ecc1夹角的余弦值 解 以点 b 为坐标原点，以 bc，ba，bb1 分别为 x，y，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 10 / 11 设 bca，bb1b， 则 b(0,0,0)，c(a，0,0)，c1(a，0，b)，e0，a，b2 ， 因为 beec1 ， 所以be ec100，a，b2 (a， a，b2)0a2b240b2a ， 所以 e(0，a，a) ，ec(a，a，a)，cc1(0,0,2a)，be(0，a，a) ， 设 m(x1，y1，z1) 是平面 bec 的法向量， 所以 m be0，

18、m ec0 ay1az10，ax1ay1az10m(0,1，1) ， 设 n(x2，y2，z2) 是平面 ecc1 的法向量， 所以 n cc10，n ec0 2az20，ax2ay2az20n(1,1,0) ， 所以平面 bec和平面 ecc1夹角的余弦值为 m n|m| |n|12 212. 2(2019 天津改编)如图，ae平面 abcd，cfae，adbc ，adab，abad1，aebc2. (1)求证：bf平面 ade； (2)求直线 ce与平面 bde所成角的正弦值 (1)证明 依题意，可以建立以 a 为原点，分别以ab，ad，ae的方向为 x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系(如图)， 11 / 11 可得 a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,