选择性必修第一册第二章 2.3.2 两点间的距离公式

1、1 / 8 23.2 两点间的距离公式两点间的距离公式 学习目标 1.掌握两点间距离公式并会应用.2. 用坐标法证明简单的平面几何问题 知识点 两点间的距离 公式：点 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)间的距离公式|p1p2| (x2x1)2(y2y1)2. 特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关 (2) 原点 o(0,0)与任一点 p(x，y)的距离|op| x2y2. 1点 p1(0，a)，点 p2(b，0)之间的距离为 ab.( ) 2当 a，b两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用( ) 3点 p1(x1，y1)，点 p2(x2，y2)，当直线平行于坐标轴时|p

2、1p2|x1x2|.( ) 一、两点间的距离 例 1 如图，已知abc的三个顶点 a(3,1)，b(3，3)，c(1,7)，试判断abc的形状 解 方法一 |ab| (33)2(31)2 522 13， |ac| (13)2(71)2 522 13， 又|bc| (13)2(73)2 1042 26， |ab|2|ac|2|bc|2，且|ab|ac|， abc是等腰直角三角形 方法二 kac711(3)32，kab313(3)23， kac kab1，acab. 又|ac| (13)2(71)2 522 13， |ab| (33)2(31)2 522 13， 2 / 8 |ac|ab|，abc

3、 是等腰直角三角形 延伸探究 题中条件不变，求 bc 边上的中线 am的长 解 设点 m 的坐标为(x，y)，因为点 m为 bc 的中点，所以 x3122，y3722，即点 m 的坐标为(2,2)由两点间的距离公式得|am| (32)2(12)2 26，所以 bc 边上的中线 am的长为 26. 反思感悟 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点 p1(x1，y1)和 p2(x2，y2)，则|p1p2| (x2x1)2(y2y1)2. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解 跟踪训练 1 已知点 a(1,2)，b(2， 7)，在 x轴上求一点 p，使|pa|

4、pb|，并求|pa|的值 解 设 p(x，0)，|pa| (x1)2(2)2， |pb|(x2)2( 7)2， |pa|pb|， (x1)24 (x2)27， 解得 x1，p(1,0)， |pa| (11)242 2. 二、运用坐标法解决平面几何问题 例 2 在abc中，ad 是 bc 边上的中线，求证：|ab|2|ac|22(|ad|2|dc|2) 证明 设 bc 边所在直线为 x轴，以 d为原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 设 a(b，c)，c(a，0)，则 b(a，0) 因为|ab|2(ab)2c2， |ac|2(ab)2c2， |ad|2b2c2， |dc|2a2， 所以|ab|2

5、|ac|22(a2b2c2)， |ad|2|dc|2a2b2c2， 所以|ab|2|ac|22(|ad|2|dc|2) 反思感悟 利用坐标法解平面几何问题常见的步骤： (1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； (2)用坐标表示有关的量； (3)将几何关系转化为坐标运算； 3 / 8 (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系 跟踪训练 2 已知等腰梯形 abcd中，abdc，对角线为 ac和 bd. 求证：|ac|bd|. 证明 如图所示，建立平面直角坐标系，设 a(0,0)，b(a，0)，c(b，c)， 则点 d的坐标是(ab，c) |ac| (b0)2(c0)2 b2c2， |bd|

6、(aba)2(c0)2 b2c2. 故|ac|bd|. 1已知 m(2,1)，n(1,5)，则|mn|等于( ) a5 b. 37 c. 13 d4 答案 a 解析 |mn| (21)2(15)25. 2直线 yx上的两点 p，q 的横坐标分别是 1,5，则|pq|等于( ) a4 b4 2 c2 d2 2 答案 b 解析 p(1,1)，q(5,5)，|pq| 42424 2. 3到 a(1,3)，b(5,1)的距离相等的动点 p 满足的方程是( ) a3xy80 b3xy40 c3xy60 d3xy20 答案 b 解析 设 p(x，y)， 则 (x1)2(y3)2 (x5)2(y1)2， 即

7、 3xy40. 4(多选)直线 xy10上与点 p(2,3)的距离等于 2的点的坐标是( ) a(4,5) b(3,4) c(1,2) d(0,1) 答案 bc 解析 设所求点的坐标为(x0，y0)，有 4 / 8 x0y010，且 (x02)2(y03)2 2， 两式联立解得 x03，y04或 x01，y02. 5已知abc 的顶点坐标为 a(1,5)，b(2，1)，c(2,3)，则 bc 边上的中线长为_ 答案 17 解析 bc的中点坐标为(0,1)， 则 bc边上的中线长为 (10)2(51)2 17. 1知识清单：两点间的距离公式 2方法归纳：待定系数法、坐标法 3常见误区：已知距离求

8、参数问题易漏解 1已知 a(1,0)，b(5,6)，c(3,4)，则|ac|cb|等于( ) a.13 b.12 c3 d2 答案 d 解析 |ac|4 2，|cb|2 2，故|ac|cb|2. 2已知abc的顶点 a(2,3)，b(1,0)，c(2,0)，则abc 的周长是( ) a2 3 b32 3 c63 2 d6 10 答案 c 解析 由两点间距离公式得 |ab| (21)2(30)23 2， |bc| (12)2(00)23， |ca| (22)2(30)23. 故abc的周长为 63 2. 3已知坐标平面内三点 a(3,2)，b(0,5)，c(4,6)，则abc的形状是( ) a直

9、角三角形 b等边三角形 c等腰三角形 d等腰直角三角形 5 / 8 答案 c 解析 由两点间的距离公式， 可得|ab| 18，|bc|ca| 17， 且|bc|2|ca|2|ab|2， abc为等腰三角形 4在abc 中，已知 a(4,1)，b(7,5)，c(4,7)，d 为 bc 边的中点，则线段 ad 的长是( ) a2 5 b3 5 c.5 52 d.7 52 答案 c 解析 由中点坐标公式可得，bc 边的中点 d32，6 . 由两点间的距离公式得|ad|4322(16)25 52. 故选 c. 5两直线 3axy20和(2a1)x5ay10 分别过定点 a，b，则|ab|的值为( )

10、a.895 b.175 c.135 d.115 答案 c 解析 直线 3axy20过定点 a(0，2)，直线(2a1)x5ay10过定点 b1，25， 由两点间的距离公式，得|ab|135. 6已知点 a(2，1)，b(a，3)，且|ab|5，则 a的值为_ 答案 1或5 解析 由两点间距离公式得 (2a)2(13)252， 所以(a2)232， 所以 a2 3，即 a1或 a5. 7在 x 轴上找一点 q，使点 q 与 a(5,12)间的距离为 13，则 q点的坐标为_ 答案 (10,0)或(0,0) 解析 设 q(x0,0)，则有 13 (5x0)2122，得 x00或 x010. 8直线

11、 2x5y100与坐标轴所围成的三角形面积是_ 答案 5 6 / 8 解析 令 x0，则 y2；令 y0，则 x5. s12|2|5|5. 9已知直线 ax2y10 和 x 轴、y轴分别交于 a，b 两点，且线段 ab的中点到原点的距离为24，求 a 的值 解 由题易知 a0，直线 ax2y10中，令 y0，有 x1a，则 a1a，0 ， 令 x0，有 y12，则 b0，12， 故 ab的中点为12a，14， 线段 ab的中点到原点的距离为24， 12a02140224，解得 a 2. 10已知直线 l1：2xy60和点 a(1，1)，过 a 点作直线 l与已知直线 l1相交于 b点，且使|a

12、b|5，求直线 l的方程 解 当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y1k(x1)， 解方程组 2xy60，ykxk1，得 x7kk2，y4k2k2， 即 b7kk2，4k2k2. 由|ab|7kk2124k2k2125， 解得 k34， 直线 l的方程为 y134(x1)， 即 3x4y10. 当过 a点的直线的斜率不存在时，方程为 x1. 此时，与 l1的交点为(1,4)，也满足题意， 综上所述，直线 l的方程为 3x4y10 或 x1. 11以点 a(3,0)，b(3，2)，c(1,2)为顶点的三角形是( ) a等腰三角形 b等边三角形 7 / 8 c直角三角形 d以上都不是 答案

13、 c 解析 |ab| (33)222 364 402 10， |bc| (13)2(22)2 1616 324 2， |ac| (13)222 82 2， |ac|2|bc|2|ab|2， abc为直角三角形故选 c. 12已知 x，yr，s (x1)2y2 (x1)2y2，则 s 的最小值是( ) a0 b2 c4 d. 2 答案 b 解析 s (x1)2y2 (x1)2y2可以看作是点(x，y)到点(1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为 2. 13设点 a在 x轴上，点 b在 y轴上，ab的中点是 p(2，1)，则|ab|_. 答案 2 5 解析 设 a(a，0)

14、，b(0，b)， 由中点坐标公式，得 a022，b021，解得 a4，b2， |ab| (40)2(02)22 5. 14在直角三角形 abc 中，点 d是斜边 ab 的中点，点 p 为线段 cd的中点，则|pa|2|pb|2|pc|2_. 答案 10 解析 以 c为原点，ac，bc 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)， 设 a(4a，0)，b(0,4b)，则 d(2a，2b)，p(a，b)， 所以|pa|29a2b2，|pb|2a29b2，|pc|2a2b2， 于是|pa|2|pb|210(a2b2)10|pc|2， 即|pa|2|pb|2|pc|210. 8 / 8 15光线从 b(3,5)射到 x 轴上，经反射后过点 a(2,10)，则光线从 b 到 a 经过的路程为_ 答案 5 10 解析 b(3,5)关于 x 轴的对称点为 b(3，5)，ab交 x 轴于 p 点， 所以|pa|pb|ab| (23)2(1