高中数学必修一3.2　第2课时　习题课　指数函数及其性质的应用

1、1 / 5 3 指数函数 3.1 指数函数的概念指数函数的概念 3.2 指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质 第 2 课时 习题课 指数函数及其性质的应用 课后篇巩固提升巩固提升 必备知识基础练 1.当 x-2,2)时,函数 f(x)=3-x-1 的值域是( ) a.(-89,8 b.-89,8 c.(19,9) d.19,9 解析-2x2,-2-x2,3-23-x32, -891 时,指数函数 y=ax为增函数,所以在区间-1,1上的最大值 ymax=a,最小值 ymin=1.所以a+1=52,解得 a=2,或 a=12(舍去);当 0a0),则 t2+2t-3=0,解得 t=1 或 t

2、=-3(舍去),即 2x=1,解得 x=0. 答案 x=0 5.若函数 y=-1的定义域是(-,0,则 a 的取值范围是 . 解析由 ax-10,知 ax1.又 x0,所以 0a1. 答案(0,1) 6.函数 y=(13)-2的定义域是 ,值域是 . 解析由 x-20得 x2,所以定义域为x|x2.当 x2时,-20.又 0131,所以 y=(13)-2的值域为y|0y1. 答案x|x2 y|02 的解集为 . 解析f(x)是偶函数,且 f(12)=2,又 f(x)在(-,0上单调递减,f(x)在区间0,+)上单调递增. 由 f(2x)2得 2x12,即 2x2-1,x-1,即不等式 f(2x

3、)2的解集是(-1,+). 答案(-1,+) 8.已知函数 f(x)=ax-1(x0)的图象经过点(2,12),其中 a0,且 a1. (1)求 a的值; (2)求函数 y=f(x)+1(x0)的值域. 解(1)因为函数 f(x)=ax-1(x0)的图象经过点(2,12),所以 a2-1=a=12. (2)由(1)得 f(x)=(12)-1(x0),所以 f(x)在区间0,+)上为减函数,当 x=0 时,函数取最大值 2,于是f(x)(0,2,故函数 y=f(x)+1(x0)的值域为(1,3. 关键能力提升练 9.设函数 f(x)=(12)-7, 0, 0,若 f(a)1,则实数 a 的取值范

4、围是( ) a.(-3,1) b.(-,-3)(1,+) c.(-,-3) d.(1,+) 3 / 5 解析当 a0 时,f(a)1,即(12)-71(12)82-a23-a-3,-3a0.当 a0时,f(a)1,即1a1,0a1.综上,-3a0),则 t2-kt-1,化简得 kt+1. 因为 t+121=2,当且仅当 t=1 时,等号成立,所以 k2. 答案(-,2 12.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4(x0),则当 x0的解集为 . 解析设 x0,f(-x)=2-x-4. 又 f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=2-x-4. 于是 f(x-2)0可化为-2 0,2-2-4

5、0或-2 0, 解得 x4或 x0. 答案 2-x-4 x|x4 13.解下列关于 x 的不等式: (1)123x-12; (2)2-3+10,且 a1). 解(1)不等式123x-12,即为 21-3x2,故 1-3x1,解得 x0, 不等式的解集为x|x0. (2)当 a1时,有 x2-3x+1x+6,解得-1x5;当 0ax+6,解得 x5. 所以,当 a1 时,不等式的解集为x|-1x5; 4 / 5 当 0a1 时,不等式的解集为x|x5. 14.已知函数 f(x)=1-21+2. (1)判断 f(x)的奇偶性并证明; (2)当 x(1,+)时,求函数 f(x)的值域. 解(1)函数

6、 f(x)是奇函数,证明如下: 对任意 xr,2x+11 恒成立,且 f(-x)=1-2-1+2-=2-2-22+2-2=2-12+1=-f(x), f(x)是奇函数. (2)令 2x=t,则 f(x)可化为 g(t)=1-+1=-1+2+1,x(1,+),t2,t+13. 02+123,-1g(t)-13, f(x)的值域是(-1,-13). 15.已知函数 f(x)=a-12+1(xr), (1)用定义证明:不论 a 为何实数,f(x)在(-,+)上为增函数; (2)若 f(x)为奇函数,求 a 的值; (3)在(2)的条件下,求 f(x)在区间1,5上的最小值. (1)证明 f(x)的定

7、义域为 r,任取 x1,x2r,且 x1x2, 则 f(x1)-f(x2)=a-121+1-a+122+1=21-22(1+21)(1+22). x1x2,21 220, f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)0恒成立,求实数 m 的取值范围. (1)解f(x)是奇函数,定义域为 r, f(1)+f(-1)=0,可得1+4+-12+1=0, 解得 a=2.经检验,a=2符合题意. (2)证明由(1)得,f(x)=2-12+2+1,令 t=2x,则 f(x)可化为 g(t)=-12+2=12-1+1=12(1-2+1) =121+1. 设 x1r,x2r,且 x1x2, t=2x在 r 上是增函数, 021 22,即 0t1t2. g(t1)-g(t2)=1211+1 (12-12+1) =12+111+1=1-2(1+1)(2+1). 0t1t2,t1-t20,t2+10, g(t1)0等价于 f(mx2+1)f(mx-1). f(x)在 r 上是增函数, mx2