高中数学必修一第4课时　指数函数与对数函数

1、1 / 5 第 4 课时 指数函数与对数函数 课后训练课后训练巩固提升巩固提升 a组 1.化简2lg(lg 100)2+lg(lg)的结果为( ) a.1 b.2 c.3 d.0 解析:2lg(lg 100)2+lg(lg)=(lg2 100lg)2+lg(lg)=2lg100+lg(lg)2+lg(lg)=2. 答案:b 2.关于函数 f(x)=(12)与函数 g(x)=log12|x|在区间(-,0)内的单调性的描述正确的是( ) a.f(x)和 g(x)都单调递增 b.f(x)和 g(x)都单调递减 c.f(x)单调递增,g(x)单调递减 d.f(x)单调递减,g(x)单调递增 解析:f

2、(x)=(12)在区间(-,0)内单调递减,g(x)=log12|x|为偶函数,当 x(0,+)时,g(x)=log12x 单调递减,所以 g(x)在区间(-,0)内单调递增. 答案:d 3.已知 f(x)是函数 y=log2x的反函数,则 y=f(1-x)的图象是( ) 解析:因为 f(x)是函数 y=log2x 的反函数, 所以 f(x)=2x. 所以 y=f(1-x)=21-x=(12)-1,其函数的图象可由函数 y=(12)的图象向右平移 1 个单位长度得到,故选 c. 答案:c 4.函数 f(x)=x+log2x 的零点所在区间为( ) a.0,18 b.18,14 c.14,12

3、d.12,1 解析:因为在 4 个选项中,只有 f(14)(12)bc b.acb c.cab d.cba 解析:因为 y=log0.6x 在区间(0,+)内为减函数,所以 log0.60.61. 同理,ln 0.5ln 1=0,即 b0. 又 00.60.50.60,所以 0ccb. 答案:b 6.已知关于 x的方程|3x+1-2|=m有两个实数解,则实数 m 的取值范围是( ) a.(0,+) b.0,2 2 / 5 c.(0,2) d.(2,+) 解析:画出函数 f(x)=|3x+1-2|的图象(图略),由图象可知,要使直线 y=m 与 f(x)的图象有两个不同的交点,需满足 0m 1,

4、则函数 f(x)的零点为 . 解析:当 x1 时,由 f(x)=2x-1=0,解得 x=0; 当 x1时,由 f(x)=1+log2x=0,解得 x=12, 又因为 x1,所以此时方程无解. 综上,函数 f(x)的零点只有 0. 答案:0 8.函数 f(x)=log2 log2(2x)的最小值为 . 解析:由题意得 x0,所以f(x)=log2 log2(2x)=12log2x log2(4x2)=12log2x (log24+2log2x)=log2x+(log2x)2=(log2 +12)214-14. 当且仅当 x=22时,有 f(x)min=-14. 答案:-14 9.已知函数 f(x

5、)=ax-x-a(a0,且 a1)有且仅有两个零点,则实数 a的取值范围是 . 解析:分 a1与 0a1时,两个函数的图象有两个交点;当 0a0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 abf(x)的解集. 解:(1)当 a0,b0时,因为 y1=a 2x,y2=b 3x在 r 上都单调递增,所以函数 f(x)在 r 上单调递增; 当 a0,b0 时,函数 f(x)在 r 上单调递增. (2)f(x+1)-f(x)=a 2x+2b 3x0. 当 a0 时,(32)-2,解得 xlog32(-2); 当 a0,b0 时,(32)-2,解得 xlog32(-2). 故当 a0 时,所求的解集为 x

6、| xlog32(-2) ; 当 a0,b0时,所求的解集为 x| x0),且关于 x的方程 g(x)=m+f(x)在区间1,2上有解,求 m的取值范围. (1)证明:任取 x1,x2(-,+),且 x1x2, 则 f(x1)-f(x2)=log2(2x1+1)-log2(2x2+1)=log221+122+1. 因为 x1x2,所以 021+122+11, 3 / 5 所以 log221+122+10,所以 f(x1)f(x2). 所以函数 f(x)在区间(-,+)内单调递增. (2)解:因为 g(x)=m+f(x),所以 g(x)-f(x)=m. 设 h(x)=g(x)-f(x)=log2

7、(2x-1)-log2(2x+1)=log22-12+1=log2(1-22+1). 设 1x1x22,则 32x1+1122+115, 即-23-221+1-222+1-25, 131-221+11-222+135, log213h(x1)h(x2)log235, 即 h(x)在区间1,2上单调递增且值域为log213,log235. 要使 g(x)-f(x)=m 有解,需 m log213,log235. 故 m 的取值范围为log213,log235. b 组 1.下列区间中,函数 f(x)=|ln(2-x)|在其上单调递增的是( ) a.(-,1 b.-1,43 c.0,32 d.1,

8、2) 解析:当 2-x1,即 x1时,f(x)=|ln(2-x)|=ln(2-x),此时函数 f(x)在区间(-,1上单调递减. 当 02-x1,即 1x2时,f(x)=|ln(2-x)|=-ln(2-x),此时函数 f(x)在区间1,2)内单调递增,故选 d. 答案:d 2.两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同形”函数,给出下列四个函数:f1(x)=2log2(x+1),f2(x)=log2(x+2),f3(x)=log2x2,f4(x)=log2(2x),则是“同形”函数的是( ) a.f2(x)与 f4(x) b.f1(x)与 f3(x) c.f1(x)与 f4(x) d

9、.f3(x)与 f4(x) 解析:因为 f4(x)=log2(2x)=1+log2x,所以 f2(x)=log2(x+2)的图象沿着 x轴先向右平移 2个单位长度得到y=log2x 的图象,再沿着 y轴向上平移 1 个单位长度可得到 f4(x)=log2(2x)=1+log2x 的图象,根据“同形”函数的定义,f2(x)与 f4(x)为“同形”函数.f3(x)=log2x2=2log2|x|与 f1(x)=2log2(x+1)不“同形”,故选 a. 答案:a 3.已知函数 f(x)=|ln|,0 e,若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),则 abc的取值范围是 . 解析:

10、画出函数 f(x)的图象如图所示. 设 f(a)=f(b)=f(c)=m,不妨设 abc,则直线 y=m与函数 f(x)的图象交点的横坐标从左到右依次为 a,b,c. 由图象易知 0a1bece2,所以 f(a)=|ln a|=-ln a,f(b)=|ln b|=ln b. 因此-ln a=ln b,ln a+ln b=0,ln ab=ln 1,于是 ab=1.所以 abc=c(e,e2). 答案:(e,e2) 4.如图,矩形 abcd的三个顶点 a,b,c分别在函数 y=log22x,y=12,y=(22)的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点 a 的纵坐标为 2,则点 d 的坐标为

11、. 4 / 5 解析:由题中图象可知,点 a(xa,2)在函数 y=log22x 的图象上,所以 2=log22xa,xa=(22)2=12. 点 b(xb,2)在函数 y=12的图象上, 所以 2=12,即 xb=4. 由点 b为(4,2),可知点 c 为(4,yc). 又点 c(4,yc)在函数 y=(22)的图象上,所以 yc=(22)4=14. 又 xd=xa=12,yd=yc=14,所以点 d的坐标为(12,14). 答案:(12,14) 5.已知函数 f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0a 0, + 3 0,解得-3x1. 故函数 f(x)的定义域为(-3,1).

12、(2)函数 f(x)可化为 f(x)=loga(1-x)(x+3) =loga(-x2-2x+3)=loga-(x+1)2+4. 因为-3x1,所以 0-(x+1)2+44. 因为 0a0,解得-1x1,故函数 f(x)的定义域为(-1,1). (2)函数 f(x)为奇函数.理由如下: f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称, 对任意的 x(-1,1),有 f(-x)=2-12-+1+log21-1+=1-21+2-log21+1-=-f(x),f(x)为奇函数. (3)要求函数 g(x)的零点,即求方程 g(x)=0的解. 由 f(1-x2)+f(32)=0 及 f(x)为奇函数,可得 f(32)=-f(1-x2)=f(x2-1),任取 x1,x2(-1,1),且 x1x2, f(x1)-f(x2)=(21-121+1+ log21+11-1) (22-122+1+ log21+21-2) =2(21-22)(21+1)(22+1)+log2(1+11-11-21+2). -1x1x21,2(21-22)(21+