高中数学必修一第二章 2.3 第1课时 (2)

1、1 / 15 23 二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式 第第 1 课时课时 二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式 学习目标 1.从函数观点看一元二次方程了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 知识点一 一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2bxc0，ax2bxc0 0 0)的图象 一元二次方程 ax2bx

2、c0(a0)的根 有两个不相等的实数根 x1，x2(x10(a0)的解集 x|xx2 x xb2a r ax2bxc0)的解集 x|x1xx2 预习小测 自我检验 1下面所给关于 x 的几个不等式：3x40；ax24x70；x20的解集为_ 答案 x|0 x2 解析 原不等式可化为 x(x2)0，0 x2. 3不等式 4x290 的解集是_ 答案 x 32x32 解析 原不等式可化为 x294，即32x32. 4已知一元二次不等式 ax22x10 的解集为 r，则 a的取值范围是_ 答案 a|a1 解析 由题意知 a0，0， a0，44a0，a0； (2)3x25x20； (3)x24x50.

3、 解 (1)不等式可化为 x25x60，所以方程 x25x60有两个实数根：x12，x23. 由二次函数 yx25x6的图象(如图)，得原不等式的解集为x|2x0， 所以方程 3x25x20的两实根为 x12，x213. 由二次函数 y3x25x2的图象(图)，得原不等式的解集为x x2或x13. (3)方程 x24x50 无实数解，函数 yx24x5 的图象是开口向上的抛物线，与 x 轴无交点(如图)观察图象可得，不等式的解集为 r. 反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤 第一步：把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正，右边为 0 的形式)；第二步：求b24ac；第三步：若 0； (2

4、)x26x100. 解 (1)方程 4x24x10 有两个相等的实根 x1x212.作出函数 y4x24x1 的图象如图由图可得原不等式的解集为x x12. (2)原不等式可化为 x26x100， 364040 的解集为x|3x0 的解集为x|3x2， 所以3,2 是方程 ax2(b8)xaab0 的两根， 所以 32b8a，32aaba，解得 a3，b5， 所以 y3x23x18. (2)因为 a30 的解集为x 13x0. 解 (1)当 a0时，不等式可化为 x20，解得 x2，即原不等式的解集为x|x2 6 / 15 (2)当 a0时，方程 ax2(12a)x20的两根分别为 2和1a.

5、 当 a12时，解不等式得1ax2， 即原不等式的解集为x 1ax2； 当 a12时，不等式无解， 即原不等式的解集为； 当12a0 时，解不等式得 2x1a， 即原不等式的解集为x 2x0 时， 解不等式得 x2， 即原不等式的解集为x x2. 反思感悟 解含参数的一元二次不等式的步骤 特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式 ，用求根公式计算 跟踪训练 3 (1)当 a12时，求关于 x的不等式 x2a1ax10的解集； 7 / 15 (2)若 a0，求关于 x的不等式 x2a1ax10 的解集 解 (1)当 a12时，有 x252x10，即 2x25x20，解得

6、12x2， 故不等式的解集为x 12x2. (2)x2a1ax10 x1a(xa)0， 当 0a1 时，a1 时，a1a，不等式的解集为x 1axa. 综上，当 0a1时，不等式的解集为x 1axa. 1不等式 9x26x10的解集是( ) a.x x13 b.x 13x13 c d.x x13 答案 d 解析 原不等式可化为(3x1)20， 3x10，x13. 8 / 15 2如果关于 x的不等式 x2axb的解集是x|1x3，那么 ba等于( ) a81 b81 c64 d64 答案 b 解析 不等式 x2axb可化为 x2axb0， 其解集是x|1x0 的解集是( ) ax|x2或 x0

7、 bx|x2或 x0 cx|0 x2 dx|0 x0，即 x(x2)0， 得 x2或 x0，故选 b. 4不等式 x23x100的解集是_ 答案 x|2x5 解析 由于 x23x100的两根为2,5，故 x23x100的解集为x|2x0(a0)或 ax2bxc0)； 求方程 ax2bxc0(a0)的根，并画出对应函数 yax2bxc 图象的简图； 由图象得出不等式的解集 (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解 2方法归纳：数形结合，分类讨论 3常见误区：当二次项系数小于 0时，需两边同乘1，化为正的 1(2019 全国)已知集合 mx|4x2，nx|x2x60，则 mn等

8、于( ) ax|4x3 bx|4x2 cx|2x2 dx|2x3 答案 c 解析 nx|2x3，mx|4x2， mnx|2x2，故选 c. 2若 0m1，则不等式(xm)x1m0 的解集为( ) a.x 1mx1m或xm或x1m d.x mx1m 10 / 15 答案 d 解析 0m1m， 故原不等式的解集为x mx1m，故选 d. 3二次方程 ax2bxc0 的两根为2,3，如果 a0 的解集为( ) ax|x3或 x2或 x3 cx|2x3 dx|3x0可化为 ax2ax6a0， 又 a0，x2x60，(x3)(x2)0， 2x3，故选 c. 4若不等式 5x2bxc0的解集为x|1x3，

9、则 bc的值是( ) a5 b5 c25 d10 答案 b 解析 由题意知1,3为方程 5x2bxc0 的两根， 13b5，3c5， b10，c15，bc5.故选 b. 5若关于 x 的二次不等式 x2mx10的解集为 r，则实数 m的取值范围是( ) am|m2或 m2 bm|2m2 cm|m2 dm|2m2 11 / 15 答案 b 解析 x2mx10的解集为 r， m240，2m2，故选 b. 6不等式 x24x40的解集是_ 答案 2 解析 原不等式可化为(x2)20，x2. 7不等式 x23x40的解集为_ 答案 x|4x1 解析 易得方程 x23x40 的两根为4,1，所以不等式

10、x23x40 的解集为x|4x0，若此不等式的解集为x 1mx2，则 m 的取值范围是_ 答案 m|m0 的解集为x 1mx2， 方程(mx1)(x2)0 的两个实数根为1m和 2， 且 m0，1m2，解得 m0，m的取值范围是 m0. 9已知不等式 x22x30 的解集为 a，不等式 x2x60的解集为 b. (1)求 ab； (2)若不等式 x2axb0的解集为 ab，求不等式 ax2xb0 的解集 解 (1)由 x22x30，得1x3， ax|1x3 12 / 15 由 x2x60，得3x2， bx|3x2，abx|1x2 (2)由题意，得 1ab0，42ab0，解得 a1，b2. x2

11、x20， 1870 的解集为 r. 10若不等式(1a)x24x60的解集是x|3x0； (2)b 为何值时，ax2bx30的解集为 r? 解 (1)由题意知 1a0，且3 和 1是方程(1a)x24x60 的两根， 1a0，即为 2x2x30， 解得 x32. 所求不等式的解集为x x32. (2)ax2bx30，即为 3x2bx30， 若此不等式解集为 r， 则 b24330，6b6. 11下列四个不等式： 13 / 15 x2x10；x22 5x 50；x26x100；2x23x40，解集不为 r； 中 624100.满足条件； 中不等式可化为 2x23x30，所对应的二次函数开口向上，

12、显然不可能故选 c. 12在 r 上定义运算“”：abab2ab，则满足 x(x2)0 的实数 x 的取值范围为( ) ax|0 x2 bx|2x1 cx|x1 dx|1x2 答案 b 解析 根据给出的定义得，x(x2)x(x2)2x(x2)x2x2(x2)(x1)， 又 x(x2)0，则(x2)(x1)0， 故不等式的解集是x|2x1 13若关于 x的方程(a2)x22(a2)x10 无实数解，则 a的取值范围是_ 答案 2a3 解析 若 a20，即 a2 时，原方程为 10不合题意， a2 满足条件， 若 a20，则 4(a2)24(a2)0， 解得 2a3， 综上有 a的取值范围是 2a3. 14 / 15 14已知不等式 x22x5a23a 对xr 恒成立，则 a 的取值范围为_ 答案 a|1a4 解析 x22x5(x1)24a23a 恒成立， a23a4，即 a23a40， (a4)(a1)0，1a4. 15在 r 上定义运算：a bc dadbc.若不等式x1 a2a1 x1 对任意实数 x 恒成立，则实数 a的最大值为_ 答案 32 解析 原不等式等价于 x(x1)(a2)(a1)1， 即 x2x1(a1)(a2)对任意 x恒成立， 因为 x2x1x1225454， 所以54a2a2，解得12a32. 16已知不等式 a