高中数学必修二第六章 6.2.4

1、1 / 14 6.2.4 向量的数量积向量的数量积 学习目标 1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力 f 的作用下产生位移 s 所做的功.2.掌握向量数量积的定义及投影向量.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握向量数量积的运算律及常用的公式. 知识点一 两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量 a 和 b，o 是平面上的任意一点，作oaa，obb，则aob(0)叫做向量 a与 b 的夹角(如图所示). 当 0 时，a与 b 同向；当 时，a 与 b反向. 2.垂直：如果 a与 b 的夹角是2，则称 a与 b垂直，记作 ab. 知识点二 向量数量积的

2、定义 非零向量 a，b的夹角为 ，数量|a|b|cos 叫做向量 a 与 b的数量积(或内积)，记作 a b，即a b|a|b|cos ，规定：零向量与任一向量的数量积等于 0. 思考 若 a0，且 a b0，是否能推出 b0. 答案 在实数中，若 a0，且 a b0，则 b0；但是在数量积中，若 a0，且 a b0，不能推出 b0.因为其中 a有可能垂直于 b. 知识点三 投影向量 在平面内任取一点 o，作oma，onb，过点 m作直线 on 的垂线，垂足为 m1，则om1就是向量 a在向量 b上的投影向量. 设与 b 方向相同的单位向量为 e，a 与 b 的夹角为 ，则om1与 e，a，

3、之间的关系为om1 2 / 14 |a|cos e. 知识点四 平面向量数量积的性质 设向量 a 与 b 都是非零向量，它们的夹角为 ，e 是与 b 方向相同的单位向量.则 (1)a ee a|a| cos . (2)aba b0. (3)当 ab 时，a b |a|b|，a与b同向，|a|b|，a与b反向. 特别地，a a|a|2或|a| a a. (4)|a b|a|b|. 知识点五 平面向量数量积的运算律 1.a bb a(交换律). 2.(a) b(a b)a (b)(数乘结合律). 3.(ab) ca cb c(分配律). 思考 若 a bb c，是否可以得出结论 ac? 答案 不可

4、以. 已知实数 a，b，c(b0)，则 abbcac，但是 a bb c 推不出 ac.理由如下： 如图，a b|a|b|cos |b|oa|， b c|b|c|cos |b|oa|. 所以 a bb c，但是 ac. 1.向量 a 在向量 b 上的投影向量一定与 b 共线.( ) 3 / 14 2.若 a b0两向量夹角为锐角，a b0两向量夹角为钝角. 9 / 14 1.已知|a|1，|b|2，a与 b 的夹角为3，则 a b 等于( ) a.1 b.2 c.3 d.4 答案 a 解析 a b|a|b|cos 312cos 31. 2.在等腰直角三角形 abc中，若c90 ，ac 2，则b

5、a bc的值等于( ) a.2 b.2 c.2 2 d.2 2 答案 b 解析 ba bc|ba|bc|cosabc2 2cos 45 2. 3.已知 a，b方向相同，且|a|2，|b|4，则|2a3b|等于( ) a.16 b.256 c.8 d.64 答案 a 解析 方法一 |2a3b|24a29b212a b1614496256，|2a3b|16. 方法二 由题意知 2ab， |2a3b|4b|4|b|16. 4.已知|a|8，与 a同向的单位向量为 e，|b|4，a，b 的夹角为 120 ，则向量 b 在向量 a方向上的投影向量为( ) a.4e b.4e c.2e d.2e 答案 d

6、 解析 向量 b 在向量 a 方向上的投影向量为|b|cos 120 e4cos 120 e2e. 5.设向量 a，b 满足|ab| 10，|ab| 6，则 a b等于( ) a.1 b.2 c.3 d.5 10 / 14 答案 a 解析 |ab|2(ab)2a22a bb210， |ab|2(ab)2a22a bb26， 由得 4a b4，a b1. 6.已知在abc中，abac4，ab ac8，则abc的形状是_. 答案 等边三角形 解析 ab ac|ab|ac|cosbac， 即 844cosbac，于是 cosbac12， 因为 0 bac1 (kr)，求 k的取值范围. (1)证明 因为|a|b|c|1， 且 a，b，c之间的夹角均为 120 ， 14 / 14 所以(ab) ca cb c |a|c|cos 120 |b|c|cos 120 0， 所以(ab)c. (2)解 因为|kabc|1，所