高中数学必修二第十章 10.1.4

1、1 / 14 10.1.4 概率的概率的基本性质基本性质 学习目标 1.理解概率的基本性质.2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题. 知识点 概率的基本性质 性质 1 对任意的事件 a，都有 p(a)0. 性质 2 必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即 p()1，p()0. 性质 3 如果事件 a 与事件 b 互斥，那么 p(ab)p(a)p(b). 性质 4 如果事件 a 与事件 b 互为对立事件，那么 p(b)1p(a)，p(a)1p(b). 性质 5 如果 ab，那么 p(a)p(b). 性质 6 设 a，b是一个随机试验中的两个事件，我们有 p(a

2、b)p(a)p(b)p(ab). 思考 (1)如果事件 a1，a2，an两两互斥，那么事件 a1，a2，an的和事件的概率等于事件 a1，a2，an的概率和吗？ 答案 相等.p(a1a2an)p(a1)p(a2)p(an). (2)对于任意事件 a，事件 a 的概率的范围是多少？ 答案 因a，0p(a)1. 1.a，b为两个事件，则 p(ab)p(a)p(b).( ) 2.若事件 a，b，c两两互斥，则 p(a)p(b)p(c)1.( ) 3.事件 a，b满足 p(a)p(b)1，则 a，b是对立事件.( ) 4.如果事件 a与事件 b 互斥，那么 p(a)p(b)1.( ) 2 / 14 一

3、、互斥事件与对立事件概率公式的应用 例 1 某射手在一次射击中射中 10 环、9 环、8 环、7 环、7 环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中： (1)射中 10环或 9 环的概率； (2)至少射中 7 环的概率； (3)射中 8 环以下的概率. 解 “射中 10 环”“射中 9 环”“射中 8 环”“射中 7 环”“射中 7 环以下”是彼此互斥的，可运用互斥事件的概率加法公式求解. 设“射中 10 环”“射中 9 环”“射中 8 环”“射中 7 环”“射中 7 环以下”的事件分别为事件 a，b，c，d，e，则 (1)p(ab)p(a)p

4、(b)0.240.280.52，所以射中 10 环或 9环的概率为 0.52. (2)方法一 p(abcd)p(a)p(b)p(c)p(d)0.240.280.190.160.87，所以至少射中 7环的概率为 0.87. 方法二 事件“至少射中 7 环”的对立事件是“射中 7 环以下”，其概率为 0.13，则至少射中 7环的概率为 10.130.87. (3)p(de)p(d)p(e)0.160.130.29，所以射中 8环以下的概率为 0.29. 反思感悟 运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤 (1)确定各事件彼此互斥. (2)求各事件分别发生的概率，再求其和. 注意：(1)是公式使用的

5、前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的. 跟踪训练 1 在数学考试中，小明的成绩在 90 分及 90 分以上的概率是 0.18，在 8089 分(包括 80 分与 89 分，下同)的概率是 0.51，在 7079 分的概率是 0.15，在 6069 分的概率是 0.09,60 分以下的概率是 0.07.计算下列事件的概率： 3 / 14 (1)小明在数学考试中取得 80 分及 80分以上的成绩； (2)小明考试及格(60 分及 60 分以上为及格). 解 分别记小明的成绩“在 90 分及 90 分以上”，“在 8089 分”，“在 7079 分”，“在 6069分”为事件 b

6、，c，d，e，显然这四个事件彼此互斥. (1)小明的成绩在 80 分及 80 分以上的概率是 p(bc)p(b)p(c)0.180.510.69. (2)方法一 小明考试及格的概率是 p(bcde)p(b)p(c)p(d)p(e)0.180.510.150.090.93. 方法二 因为小明考试不及格的概率是 0.07，所以小明考试及格的概率是 10.070.93. 二、互斥、对立事件与古典概型的综合应用 例 2 一盒中装有各色球 12 个，其中 5 个红球、4 个黑球、2 个白球、1 个绿球，从中随机取出 1 球，求： (1)取出 1 球是红球或黑球的概率； (2)取出 1 球是红球或黑球或白

7、球的概率. 解 记事件 a1任取 1球为红球；a2任取 1球为黑球；a3任取 1球为白球；a4任取 1 球为绿球，则 p(a1)512，p(a2)412，p(a3)212，p(a4)112. 根据题意，事件 a1，a2，a3，a4彼此互斥. 方法一 由互斥事件概率公式，得 (1)取出 1 球为红球或黑球的概率为 p(a1a2)p(a1)p(a2)51241234. (2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 p(a1a2a3)p(a1)p(a2)p(a3)5124122121112. 4 / 14 方法二 (1)取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球，即 a1a2的对立

8、事件为 a3a4，所以取出 1 球为红球或黑球的概率为 p(a1a2)1p(a3a4)1p(a3)p(a4) 121211291234. (2)a1a2a3的对立事件为 a4，所以 p(a1a2a3)1p(a4)11121112. 反思感悟 求复杂事件的概率通常有两种方法 (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件. (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率. 跟踪训练 2 某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有 10 名队员，某些队员不止参加了一支球

9、队，具体情况如图所示.现从中随机抽取一名队员，求： (1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率. 解 分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件 a，b，c.由题图知 3支球队共有球员 20 名. 则 p(a)520，p(b)320，p(c)420. (1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件 d. 则 dabc，事件 a，b，c两两互斥， 5 / 14 p(d)p(abc)p(a)p(b)p(c) 52032042035. (2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件 e， 则 e 为“抽取一名队员，该队员属于 3 支球队”，

10、 p(e)1p( e )1220910. 正难则反思想的应用 典例 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取 3次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 abc”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率. 解 (1)由题意知，(a，b，c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(

11、2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共 27 种. 设“抽取的卡片上的数字满足 abc”为事件 a， 则事件 a 包含的样本点有(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共 3个. 所以 p(a)32719. 即“抽取的卡片上的数字满足 abc”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”为事件 b，则事件 b 的对立事件 b 包括的样本点有(1,1,1)，(2,

12、2,2)，(3,3,3)，共 3种. p(b)1p( b )132789. 6 / 14 即“抽取的卡片上的数字 a，b，c不完全相同”的概率为89. 素养提升 当正面考虑所解决的问题比较繁琐复杂时，可以通过逻辑推理，找到所求事件的对立事件，利用对立事件的概率的公式求解. 1.在一个试验中，若 p(ab)p(a)p(b)1，事件 a 与事件 b 的关系是( ) a.互斥不对立 b.对立不互斥 c.互斥且对立 d.以上答案都不对 答案 c 2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是 0.28，那么摸出黑球的概率是( ) a.0.4

13、2 b.0.28 c.0.3 d.0.7 答案 c 解析 摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，摸出黑球的概率是 10.420.280.3，故选 c. 3.在一次随机试验中，彼此互斥的事件 a，b，c，d 的概率分别是 0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( ) a.ab与 c 是互斥事件，也是对立事件 b.bc 与 d是互斥事件，也是对立事件 c.ac 与 bd 是互斥事件，但不是对立事件 d.a与 bcd 是互斥事件，也是对立事件 答案 d 解析 由于 a，b，c，d 彼此互斥，且 p(abcd)p(a)p(b)p(c)p(d)1，知abcd 是一个必然事件，故四个事件的关

14、系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余 3 个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是7 / 14 对立事件，故选 d. 4.从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球，则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是( ) a.110 b.310 c.35 d.910 答案 d 解析 记 3 个红球分别为 a1，a2，a3,2个白球分别为 b1，b2，从 3个红球、2个白球中任取 3个，则样本空间 (a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，

15、(a1，b1，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共含 10 个样本点，样本点出现的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的.用事件 a 表示“所取的 3个球中至少有 1 个白球”，则其对立事件 a 表示“所取的 3 个球中没有白球”，则事件 a包含的样本点有 1个(a1，a2，a3)，所以 p( a )110.故 p(a)1p( a )1110910. 5.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为_. 答案 1928 解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事

16、件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件的概率加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37141928. 1.知识清单： 性质 1 对任意的事件 a，都有 p(a)0. 8 / 14 性质 2 必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即 p()1，p()0. 性质 3 如果事件 a 与事件 b 互斥，那么 p(ab)p(a)p(b). 性质 4 如果事件 a 与事件 b 互为对立事件，那么 p(b)1p(a)，p(a)1p(b). 性质 5 如果 ab，那么 p(a)p(b). 性质 6 设 a，b是一个随机试验中的两个事

17、件，我们有 p(ab)p(a)p(b)p(ab). 2.方法归纳： (1)将所求事件转化为互斥事件的并事件. (2)将求复杂事件的概率转化为求其对立事件的概率. 3.常见误区：将事件拆分成若干个互斥的事件，不能重复和遗漏. 1.p(a)0.1，p(b)0.2，则 p(ab)等于( ) a.0.3 b.0.2 c.0.1 d.不确定 答案 d 解析 由于不能确定 a 与 b 是否互斥，则 p(ab)的值不能确定. 2.(多选)下列四个命题中错误的是( ) a.对立事件一定是互斥事件 b.若 a，b为两个事件，则 p(ab)p(a)p(b) c.若事件 a，b，c两两互斥，则 p(a)p(b)p(

18、c)1 d.事件 a，b满足 p(a)p(b)1，则 a，b是对立事件 答案 bcd 解析 对立事件首先是互斥事件，故 a 正确；只有互斥事件的和事件的概率才适合概率的9 / 14 加法公式，故 b 不正确；概率的加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一定是必然事件，故 c 不正确；对立事件和的概率公式逆用不正确，比如在掷骰子试验中，设事件 a正面为奇数，b正面为 1,2,3，则 p(a)p(b)1.而 a，b 不是对立事件，故 d 不正确. 3.若事件 a和 b 是互斥事件，且 p(a)0.1，则 p(b)的取值范围是( ) a.0,0.9 b.0.1,0.9 c.(0,0.9 d

19、.0,1 答案 a 解析 由于事件 a 和 b 是互斥事件，则 p(ab)p(a)p(b)0.1p(b)，又 0p(ab)1，所以 00.1p(b)1，又 p(b)0，所以 0p(b)0.9，故选 a. 4.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 a“抽到一等品”，事件 b“抽到二等品”，事件 c“抽到三等品”.已知 p(a)0.65，p(b)0.2，p(c)0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( ) a.0.20 b.0.39 c.0.35 d.0.90 答案 c 解析 抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而 p(a)0.65，抽到的不是一等品的概率是 10.650.35. 5.从一批

20、羽毛球产品中任取一个，其质量小于 4.8 g的概率为 0.3，质量小于 4.85 g的概率为0.32，那么质量在 4.84.85 g范围内的概率是( ) a.0.62 b.0.38 c.0.02 d.0.68 答案 c 解析 设“质量小于 4.8g”为事件 a，“质量小于 4.85 g”为事件 b，“质量在 4.84.85 g”为事件 c，则 acb，且 a，c 为互斥事件，所以 p(b)p(ac)p(a)p(c)，则p(c)p(b)p(a)0.320.30.02. 6.某城市 2018年的空气质量状况如下表所示： 污染指数 t 30 60 100 110 130 140 10 / 14 概率

21、 p 110 16 13 730 215 130 其中污染指数 t50 时，空气质量为优；50t100 时，空气质量为良；100t150 时，空气质量为轻微污染，该城市 2018 年空气质量达到良或优的概率为_. 答案 35 解析 由于空气质量达到良或优包含污染指数 t100，由互斥事件概率的加法公式，得该城市 2018 年空气质量达到良或优的概率为110161335. 7.事件 a，b互斥，它们都不发生的概率为25，且 p(a)2p(b)，则 p(a)_. 答案 25 解析 因为事件 a，b 互斥，它们都不发生的概率为25，所以 p(a)p(b)12535.又因为p(a)2p(b)， 所以

22、p(a)12p(a)35， 所以 p(a)25. 8.某袋中有编号为 1,2,3,4,5,6 的 6 个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是_. 答案 56 解析 设 a，b 分别为甲、乙摸出球的编号.由题意知，摸球试验共有 36 种不同的结果，满足 ab的基本事件共有 6种.所以摸出编号不同的概率 p163656. 9.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共 5杯，其颜色完全相同，并且其中 3 杯为 a 饮料，另外 2 杯为 b 饮料，公司要求此员工一一品尝

23、后，从 5 杯饮料中选出 3 杯 a 饮料.若该员工 3 杯都选对，则评为优秀；若 3 杯选对 2 杯，11 / 14 则评为良好；否则评为不合格.假设此人对 a 和 b两种饮料没有鉴别能力. (1)求此人被评为优秀的概率； (2)求此人被评为良好及以上的概率. 解 将 5 杯饮料编号为 1,2,3,4,5，编号 1,2,3 表示 a饮料，编号 4,5表示 b饮料，则从 5杯饮料中选出 3 杯的所有可能情况为(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有 10 种. 令 d 表示此人被评为优秀的事件，e 表示此人被评

24、为良好的事件，f 表示此人被评为良好及以上的事件，则 (1)p(d)110. (2)p(e)35，p(f)p(d)p(e)710. 10.袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共 12 个，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512. (1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率； (2)从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率. 解 (1)从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为 a，b，c，d， 则 p(a)13，p(bc)p(b)p(c)512，p(cd)p(c)p(d)512，p(bc

25、d)p(b)p(c)p(d)1p(a)11323. 联立 p(b)p(c)512，p(c)p(d)512，p(b)p(c)p(d)23， 解得 p(b)14，p(c)16，p(d)14， 12 / 14 故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为14，16，14. (2)事件“得到红球或绿球”可表示为事件 ad，由(1)及互斥事件的概率加法公式得p(ad)p(a)p(d)1314712， 故得到的不是红球也不是绿球的概率 p1p(ad)1712512. 11.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都为16.事件 a 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件b 表示“小于 5 的点数出现”，则一次试验中

26、，事件 a b ( b 表示事件 b 的对立事件)发生的概率为( ) a.13 b.12 c.23 d.56 答案 c 解析 由题意知， b 表示“大于或等于 5的点数出现”， 事件 a与事件 b 互斥，由互斥事件的概率加法公式， 可得 p(a b )p(a)p( b )26264623. 12.在 5 件产品中，有 3 件一级品和 2 件二级品，从中任取 2 件，下列事件中概率为710的是( ) a.都是一级品 b.都是二级品 c.一级品和二级品各 1 件 d.至少有 1件二级品 答案 d 13 / 14 解析 样本点总数为 10,2 件都是一级品包含的样本点有 3 个，其概率为310，其对

27、立事件是至少有 1件二级品，故“至少有 1件二级品”的概率为710. 13.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多 12 人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有_人. 答案 120 解析 可设参加联欢会的教师共有 n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为 19201120. 再由题意，知1120n920n12，解得 n120. 14.袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球.从中一次随机摸出 2只球，则这 2 只球颜色不同的概率为_. 答案 56 解析 由题意