高中数学讲义微专题17函数的极值

1、- 1 - / 8 微专题 17 函数的极值 一、基础知识： 1、函数极值的概念： （1）极大值：一般地，设函数( )f x在点0 x及其附近有定义，如果对0 x附近的所有的点都有( )()0fxfx，就说()0fx是函数( )fx的一个极大值，记作()0yf x=极大值，其中0 x是极大值点 （2）极小值：一般地，设函数( )fx在点0 x及其附近有定义，如果对0 x附近的所有的点都有( )()0fxfx，就说()0fx是函数( )fx的一个极小值，记作()0yfx=极小值，其中0 x是极小值点 极大值与极小值统称为极值 2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函

2、数值。请注意以下几点： （1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值 （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 3、极值点的作用： （1）极值点为单调区间的分界点 - 2 - / 8 （2）极值点是函数最值点的候选点 4、费马引理：( )fx在0 xx=处可导，那么0 xx=为( )fx的一个极值点()00fx= 说明：前提条

3、件：( )f x在0 xx=处可导 单向箭头：在可导的前提下，极值点导数0=，但是导数0=不能推出0 xx=为( )f x的一个极值点，例如：3yx=在()0,0处导数值为 0，但0 x =不是极值点 费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：yx=在()0,0处不可导，但是0 x =为函数的极小值点） 5、求极值点的步骤： （1）筛选： 令( )0fx =求出( )fx的零点（此时求出的点有可能是极值点） （2）精选：判断函数通过( )fx的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点 （3）定性： 通过函数单调性判断出是极

4、大值点还是极小值点：先增后减极大值点，先减后增极小值点 6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。 7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题。但要注意检验零点能否成为极值点。 8、极值点与函数奇偶性的联系： （1）若( )fx为奇函数，则当0 xx=是( )fx的极大（极小）值点时，0 xx= 为( )fx的极小（极大）值点 （2）若( )fx为偶函

5、数，则当0 xx=是( )fx的极大（极小）值点时，0 xx= 为( )fx的极大（极小）值点 二、典型例题： 例 1：求函数( )xf xxe=的极值. 解：( )()1xxxfxexex e= - 3 - / 8 令( )0fx 解得：1x ( )fx的单调区间为： x (),1 1 ()1,+ ( )fx + 0 ( )fx 极大值 ( )fx的极大值为( )11fe=，无极小值 小炼有话说：（1）求极值时由于要判定是否为极值点以及极大值或极小值，所以可考虑求函数的单调区间，进而在表格中加入一列极值点，根据单调性即可进行判断 （2）在格式上有两点要求：第一推荐用表格的形式将单调区间与极值

6、点清晰地表示出来，第二在求极值点时如果只有一个极大（或极小）值点，则需说明另一类极值点不存在 例 2：求函数1) 1()(32+= xxf的极值。 解：( )()22312fxxx=，令( )0fx 解得：0 x ( )fx的单调区间为： x (),0 0 ()0,+ ( )fx 0 + ( )fx 极小值 ( )fx的极小值为( )00f=，无极大值 小炼有话说：本题若使用( )0fx =解极值点，则1x = 也满足( )0fx =，但由于函数通过这两个点时单调性没有发生变化，故1x = 均不是极值点。对比两个方法可以体会到求极值点归根结底还是要分析函数的单调区间 例 3：求函数( )()2

7、234f xx=在r上的极值 思路：利用( )fx求出( )fx的单调区间，进而判断极值情况 解：( )()()23344=32234xxfxxxx=+ 令( )0fx 解得：()()2,02,x + ( )fx的单调区间为： x (), 2 ()2,0 ()0,2 ()2,+ - 4 - / 8 ( )fx + + ( )fx ( )fx的极小值为()( )220ff=，极大值为( )330162 2f= 小炼有话说：在本题中如果仅令( )0fx =，则仅能解得0 x =这一个极值点，进而丢解。对于2x = 与2x =，实质上( )fx在这两点处没有导数，所以在( )0fx =中才无法体现出

8、来，由此我们可以得到以下几点经验 （1）利用( )0fx =来筛选极值点的方法在有些特殊函数中会丢解，此类点往往是不存在导函数的点。例如：24yx=中的2,2xx= =，是极值点却不存在导数 （2）在寻找极值点时，若能求出( )fx的单调区间，则利用单调区间求极值点是可靠的 例 4：已知函数bxaxxxf23)(23+=，在点1=x处有极小值1，试确定ba,的值，并求出)(xf的单调区间。 思路：( )2362fxxaxb=+，由极值点()1, 1条件可得：( )( )1110ff= =，两个条件可解出, a b，进而求出单调区间 解：( )2362fxxaxb=+ 在点1=x取得极小值72

9、( )( )11113 +21336201102afababfb= = += ( )()()2321311fxxxxx= =+，令( )0fx ，解得13x 或1x ( )fx的单调区间为： x 1,3 1,13 ()1,+ ( )fx + + ( )fx 小炼有话说：关注“在点1=x处有极小值1”，一句话表达了两个条件，作为极值点导数- 5 - / 8 等于零，作为曲线上的点，函数值为 1，进而一句话两用，得到关于, a b的两个方程。 例 5：若函数( )322fxxaxbxa=+在1x =时有极值10，则ab+=_ 思路：( )232fxxaxb=+，依题意可得：( )( )211101

10、320fabafab= +=+=，可解得：411ab= 或33ab= =，但是当33ab= =时，( )()2236331fxxxx=+= 所以尽管( )10f=但1x =不是极值点，所以舍去。经检验：411ab= 符合，7ab+= 答案：7ab+= 小炼有话说：对于使用极值点条件求参数值时，求得结果一定要代回导函数进行检验，看导数值为 0 的点是否是极值点 例 6：2)()(cxxxf=在1=x处有极小值，则实数c为 . 思路：( )2234fxxcxc=+,1x =为极小值点，( )21340fcc=+=，解得：1c =或3c =，考虑代入结果进行检验：1c =时，( )()()23413

11、11fxxxxx=+ =，可得( )fx在()1,1,3+单调递增，在1,13单 调 递 减 。 进 而1x =为 极 小 值 点 符 合 题 意 ， 而 当3c =时 ，( )()()23129313fxxxxx=+=，可得( )fx在()(),13,+单调递增，在()1,3单调递减。进而1x =为极大值点，故不符合题意舍去 1c= 答案：1c = 小炼有话说：在已知极值点求参数范围时，考虑利用极值点导数值等于零的条件，但在解完参数的值后要进行检验，主要检验两个地方： 已知极值点是否仍为函数的极值点 参数的值能否保证极大值或极小值点满足题意。 例 7： （1）已知函数( )3234f xxa

12、xx=+有两个极值点，则a的取值范围是_ （2）已知函数( )3234f xxaxx=+存在极值点，则a的取值范围是_ - 6 - / 8 （1）思路：( )2323fxxax=+，若( )fx有两个极值点，则方程23230 xax+=有两个不等实根，从而只需0 ，即243603aa = 或3a 答案：3a 或3a （2）思路：( )fx存在极值点即( )23230fxxax=+=有实数根，0 ，但是当0 =即3a = 时, ( )()22363310fxxxx=+=，不存在极值点，所以方程依然要有两个不等实数根，a的范围为3a 或3a 答案：3a 或3a 小炼有话说：本题有以下几个亮点 （1

13、）在考虑存在极值点和极值点个数时，可通过导数转化成为方程的根的问题，使得解决方法多样化，可与函数零点和两图象的交点找到关系 （2）方程( )0fx =根的个数并不一定等于极值点的个数，所以要判断函数在通过该点时单调性是否发生了变化 （3）本题两问结果相同，是由导函数方程为二次方程，其0 =时，其根不能作为极值点所致。 例 8：设函数xbxxfln) 1()(2+=，其中b为常数若函数( )f x的有极值点，求b的取值范围及( )f x的极值点； 思路：( )()22221bxxbfxxxx+=+=，定义域为()0,+，若函数( )f x的有极值点，则( )0fx =有正根且无重根，进而转化为二

14、次方程根分布问题，通过韦达定理刻画根的符号，进而确定b的范围 解：（1）( )()22221bxxbfxxxx+=+=，令( )0fx =即2220 xxb+= ( )fx有极值点 2220 xxb+=有正的实数根，设方程的根为12,x x 有两个极值点，即12,0 x x ,1212480110202bxxbbx x =+= - 7 - / 8 有一个极值点，即12=002bx xb 综上所述：1,2b （2）思路：利用第（1）问的结论根据极值点的个数进行分类讨论 方程2220 xxb+=的两根为：2481122bxb= 当102b时，12112 ,112xb xb= = + ( )fx的单

15、调区间为： x ()0,112b ()112 ,112bb+ ()112 ,b+ ( )fx + + ( )fx ( )fx的极大值点为112xb= ，极小值点为112xb= + 当0b 时，121120,112xbxb= = + ( )fx的单调区间为： x ()0,112b+ ()112 ,b+ ( )fx + ( )fx ( )fx的极小值点为112xb= +，无极大值点 综上所述： 当102b时，( )fx的极大值点为112xb= ，极小值点为112xb= + 当0b 时，( )fx的极小值点为112xb= +，无极大值点 小炼有话说： （1）导函数含有参数时，其极值点的个数与参数的取

16、值有关，一方面体现在参数的取值能否保证导函数等于 0 时存在方程的解，另一方面体现在当方程的解与参数有关时，参数会影响到解是否在定义域内。只有符合这两个条件的解才有可能成为极值点。这两点也是含参函- 8 - / 8 数中对参数分类讨论的入手点 （2）对于二次方程而言，可利用韦达定理或者实根分布来处理极值存在问题。韦达定理主要应用于判定极值点的符号，而根分布的用途更为广泛，能够将实根分布区间与二次函数的判别式，对称轴，端点值符号联系起来。在本题中由于只需要判定根是否为正，从而使用韦达定理即可 例 9：若函数( )21ln12f xxx=+在其定义域内的一个子区间()1,1kk+内不是单调函数，则实数k的取值范围_ 思路：( )122fxxx=,令( )102fxx=.函数( )fx在()1,1kk+内不是单调函数 ， 所 以()11,12kk+， 又 因 为()1,1kk+是 定 义 域()0,+的 子 区 间 ， 所 以10k ，综上可得：1