高中数学讲义微专题32解三角形中的不等问题

1、- 1 - / 16 微专题 32 解三角形中的不等问题 一、基础知识： 1、正弦定理：2sinsinsinabcrabc=，其中r为abc外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如：（1）222222sinsinsinsinsinababcababc+=+= （2）coscossincossincossinbccbabccba+=+=（恒等式） （3）22sinsinsinbcbcaa= 2、余弦定理：2222cosabcbca=+ 变式：()()2221cosabcbca

2、=+ 此公式在已知, a a的情况下，配合均值不等式可得到bc+和bc的最值 3、三角形面积公式： （1）12sa h= （a为三角形的底，h为对应的高） （2）111sinsinsin222sabcbcaacb= （3）211sin2 sin2 sinsin2sinsinsin22sabcrarbcrabc=（其中r为外接圆半径） 4、三角形内角和：abc+=，从而可得到： （1）正余弦关系式：()()sinsinsinabcbc=+=+ ()()coscoscosabcbc=+= + （2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的 5、两角和差的正余弦公式： ()sin

3、sincossincosababba= ()coscoscossinsinababab= 6、辅助角公式：()22sincossinaabbaba+=+，其中tanba= 7、三角形中的不等关系 （1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： sinsincoscosabababab 其中由coscosabab利用的是余弦函数单调性，而sinsinabab仅在一- 2 - / 16 个三角形内有效。 8、解三角形中处理不等关系的几种方法 （1）转

4、变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域 （2）利用均值不等式求得最值 二、例题精析： 例 1：abc各角的对应边分别为cba,，满足 1bcacab+，则角a的范围是 a(0,3 b(0,6 c, )3 d, )6 思路：从所给条件入手，进行不等式化简：1bcacab+ ()()()()222b abc acacabbcabc+，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示cos a：222bcabc+2221cos22bcaabc+=，可解得：0,3a 答案：a 例 2：在abc中，角, ,a b c所对的边分别为, ,a b c，

5、已知sin3cosacca= （1）求a的大小 （2）若）若6a =，求，求bc+的取值范围的取值范围 解：（1）由条件sin3cosacca=可考虑使用正弦定理，将分子进行“边化角” sinsin1sinsin3cos3cosacacccaa= tan3a= 3a= （2）思路：考虑在abc中，已经已知,a a，从而可求出外接圆半径r，进而,b c与, b c也可进行边角互化。若从边的角度考虑，则能够使用的不等关系只有“两边之和大于第三边”，但不易利用60a = 这个条件，考虑利用角来解决 解：4 3sinsinsinbcabca= - 3 - / 16 4 3sin,bb= 4 3sinc

6、c= 3a= 2233bccb+= ()24 3 sinsin4 3 sinsin3bcbcbb +=+=+ 31314 3 sincossin12sincos12sin22226bbbbbb=+=+=+ 203b 51,sin,166662bb+ (6,12bc + 例 3：在锐角abc中，角, ,a b c所对的边分别为, ,a b c，且2 cos2bcac= （1）求角b （2）求）求sinsinac的取值范围的取值范围 解：（1）方法一：使用余弦定理2222 cos2222abcbcacbacab+= 222222bcaacbacac= =+ 由余弦定理得：2222cosbacacb

7、=+ 1cos23bb= 方法二：观察等式, ,a b c齐次，考虑使用正弦定理 2 cos22sincosc2sina sincbcacb= ()2sincos2sinsinsin2sincosbcbccccb=+= 1cos23bb= （2）2233acca+= 223131sinsinsincossinsincossin32222aaaaaaaa=+=+ 31cos211sin2sin 244264aaa=+=+ abc为锐角三角形 , ,0,2a b c 02262032aaa 52,666a 1sin 2,162a 1 3sinsin,2 4ac - 4 - / 16 小炼有话说：要

8、注意对锐角三角形条件的运用：三个角均为锐角，而c用a代换，所以c满足锐角的条件也由a来承担，这也是在利用等式消元时所要注意的一点：若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。 例4 ： 在abc中 ， 角, ,a b c所 对 的 边 分 别 为, ,a b c， 已 知()sinsinsinacpb pr+=，且214acb= （1）当5,14pb=时，求, a c的值 （2）若角b为锐角，求p的取值范围 解：（1）555sinsinsin444acbacb+=+= 14ac = 5141144aaccac=+=或141ac= （2）思路：以“角b为锐角”为突破口，联想到余弦定理，而21,4

9、acpb acb+=也刚好得到p与cosb的关系式，再由0cos1b可解得p的范围 解：考虑余弦定理()()22222cos21cosbacacbacacb=+=+ ()222211cos2bp bbb=+ 231cos22pb=+ b为锐角，0cos1b 23,22p 0acpbp+= 6, 22p 例 5：若abc的内角满足sin2sin2sinabc+=，则cosc的最小值是 思路：所求cosc的最值可想到余弦定理用边进行表示，222cos2abccab+=，考虑sin2sin2sinabc+=角化边得到：22abc+=，进而消去c计算表达式的最值即可 解：222cos2abccab+=

10、 由sin2sin2sinabc+=可得：22abc+= 22abc+ = - 5 - / 16 2222222223122312422cos222844abababababcabcabababba+=+ 362844abba= 答案：64 例 6：在锐角abc中2,ab= b、c的对边长分别是b、c,则+bb c的取值范围是( ) a1 1( , )4 3 b1 1( , )3 2 c 1 2( , )2 3 d2 3( , )3 4 思 路 ： 本 题 所 给 条 件 为 角 的 关 系 ， 不 易 从 边 入 手 ， 所 以 将 所 求 进 行 边 化 角 ：sin1sin+sinsin

11、1sinbbcb cbcb=+，只需求出sinsincb的范围即可。条件所给的是,a b关系，从 而sinsincossincossinsincabbabb+=， 利 用2,ab= 减 少 角 的 个 数 ：2sinsin22sincos ,coscos22cos1abbbabb=，代入可得：2sin4cos1sincbb=，根据锐角三角形求出b的范围即可。 解：sin1sin+sinsin1sinbbcb cbcb=+ ()sinsinsincossincossinsinsinabcabbabbb+= 由22sinsin22sincos ,coscos22cos1ababbbabb= = 2

12、22sin2sincossincos22coscos24cos1sinsincbbbbbbbbb+=+= 因为abc为锐角三角形 02022032babcb= 解得：64b - 6 - / 16 23cos,22b ()2sin4cos11,2sincbb= 11 1,sin+3 21sinbcb cb=+ 答案：b 小炼有话说：本题的关键点有两个，一个是解题系统的确定，由于题目中没有涉及到边的关系，只是给了角的条件，所以优先选择角的系统，从而进行角化边的处理，并进行了一个分式的常见变形，将变量集中在分母上。另一个就是主元的确定：本题的主元是b，所以在求表达式范围时将,a c均用b来进行表示，

13、以便于求得值域。 例 7：已知abc的角, ,a b c所对的边分别是, ,a b c，且22223abcab+=+，若abc的外接圆半径为3 22，则abc面积的最大值为_ 思路：由22223abcab+=+可联想到余弦定理求cosc，所以2221cos23abccab+=，从而2 2sin3c =，所求面积可表示为1sin2abcsabc=，则只需解出ab的最大值即可。由外接圆半径3 22r =及sinc可得：2 sin4crc=，所以222163abab+=+，而222abab+，所以有2162123ababab+，所以12 2124 223abcs= 答案：4 2 小炼有话说：本题的入

14、手点来自于条件中对余弦定理的暗示，从而解出c，在计算面积时有三组边角可供选择：111sinsinsin222sabcbcaacb=，通常是“依角而选”，从而把目标转向求ab的最值。要注意到余弦定理本身含有平方和与乘积项，再配上均值不等式往往可以找到最值。 例 8：设abc的内角, ,a b c所对的边为, ,a b c，若, ,a b c成等比数列，则sinsinba的取值范围是_ 思路：由, ,a b c成等比数列可得：2bac=，也可视为2sinsinsinbac= ，所求表达式sinsinba也可视为ba。如果从角入手，则()22sinsinsinsinsinsinbacbaab=+无法

15、- 7 - / 16 与sinsinba联系。所以考虑从边入手。由2bac=可得：2bca=，在abc中，若abc ，则cab+， 所 以2baba+， 即2151012bbbaaa+ ， 同 理 ， 若cba，则2babcaba+，解得：5112ba。综上sin5151,sin22bbaa+= 答案：5151,22+ 例 9：已知abc 中，角 a,b,c 所对的边分别为, ,a b c，且 bc 边上的高为a，则bccb+的取值范围为_ 思路：一方面由所求bccb+出发，可用均值不等式得到22bcb ccbc b+=，验证bc=时存在这样的三角形，得到最小值；再从另一个角度入手22bcbc

16、cbbc+=可联想到余弦定理2222cosabcbca=+，而由题目中的底和高可得2211sinsin22abcsabcaabca=，所以有： 22cossin2cossin2cosbcabcabcabcaaacbbcbc+=+，只需求得sin2cosaa+的 范 围 即 可 ， 考 虑()12sin2cos5sincos5sin55aaaaa+=+=+，tan2=，所以sin2cos5aa+，综上：2, 5bccb+ 答案：2, 5 小炼有话说： （1）在解三角形中，能够从所给式子中发现定理的影子，可帮助你迅速确定解题方向，本题没有选择边化角，而是抓住余弦定理的影子为突破口，然后再去寻找条件

17、能否把多余的元消去（比如本题中的2a），从而整理出一个可操作的表达式 （2）最后运用辅角公式时，辅助角并不是特殊角。这种情况下可用代替俯角，并用的- 8 - / 16 一个三角函数值刻画其大小。本题可通过作图大致观察到a的范围，从而确定a+的范围能经过2，所以5能够取到 例10：（2014，重庆）已知abc的内角, ,a b c满足()1sin2sin()sin2aabccab+=+，面积s满足12s，记, ,a b c分别是, ,a b c所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） a. ()8bc bc+ b. ()16 2ab ab+ c. 612abc d. 1224abc 思 路 ：

18、本 题 需 判 断 的 式 子 比 较 多 ， 先 从 条 件 出 发 向 所 求 靠 拢 。 化 简 已 知 条 件()1sin2sin()sin2aabccab+=+可得14sinsinsin2abc =，即1sinsinsin8abc =， 联 想 到 面 积 公 式22sinsinsinsrabc=及12s可 得 ：211222 24rr， 从 而abc可 用r进 行 表 示 求 出 范 围 ， 另 一 方 面 可 由()bcabc bcabc+，利用不等式的传递性即可求出()bc bc+的范围 解：()1sin2sin()sin2aabccab+=+ ()()1sin2sin2sin

19、 22abc+= 1sin2sin2sin22abc+= ()1sin2sin2sin 222abab+= 1sin2sin2sin2 cos2sin2 cos22ababba+= ()()1sin21cos2sin21cos22abba+= 2212sin2 sin2sin2 sin2abba+= 2214sincossin4sincossin2aabbba+= ()1sinsinsincossincos8ababba+= ()1sinsinsin8abab+=即1sinsinsin8abc = 由正弦定理可得：2 sin ,2 sin ,2 sinara brb crc= 22111sin

20、2 sin2 sinsin2sinsinsin224abcsabcrarbcrabcr= 所以由12s可得：211222 24rr - 9 - / 16 338sinsinsin8,16 2abcrabcr=，所以,c d均不正确 bca+ ()8bc bcabc+ a正确 同理abc+ ()8ab ababc+，b不正确 三、近年好题精选 1、（2016，上海十校联考）设锐角abc的三内角, ,a b c所对边的边长分别为, ,a b c，且1,2aba=，则b的取值范围为（ ） a. ()2, 3 b. ()1, 3 c. ()2,2 d. ()0,2 2、（2016 江苏高三第一次联考）

21、在abc中，3,4,abacn=是ab的中点，边ac（含端点）上存在点m，使得bmcn，则cos a的取值范围是_ 3、（2015，新课标 i）在平行四边形abcd中，75abc=，2bc =，则ab的取值范围是_ 4、（2016，哈尔滨六中上学期期末考试）在abc中，内角, ,a b c的对边分别为, ,a b c，且2,2cba=，则abc的面积最大值为_ 5、（2014，新课标全国卷 i）已知, ,a b c分别为abc三个内角, ,a b c的对边，2a =且()()()2sinsinsinbabcbc+=，则abc面积的最大值为_ 6、（2016，洛阳 12 月月考）在abc的内角,

22、 ,a b c所对的边分别为, ,a b c，则下列命题正确的是_ 若2sinsin2sinabc=，则04c 若2abc+，则03c 若444abc+=，则abc为锐角三角形 若()2ab cab+，则2c 7、（2014，陕西）abc的内角, ,a b c的对边分别为, ,a b c （1）若, ,a b c成等差数列，证明：()sinsin2sinacac+=+ （2）若, ,a b c成等比数列，求cosb的最小值 - 10 - / 16 8、设abc的内角cba,所对的边分别为,cba且bcca=+21cos. （1）求角a的大小； （2）若1=a，求abc的周长l的取值范围. 9、

23、已知abc和111abc满足：111sincos,sincos,sincos,aabbcc= （1）求证：abc是钝角三角形，并求最大角的度数 （2）求222sinsinsinabc+的最小值 10、（2016，安徽六校联考）已知函数( )2cos 2cos213f xxx=+. （1）求( )f x的对称中心 （2）若锐角abc中角, ,a b c所对的边分别为, ,a b c，且( )0fa =，求bc的取值范围 习题答案：习题答案： 1、答案：a 解析：2sinsin2baba= sin2sincosbaa= 2 cos2cosbaaa= 由 锐 角abc可 知 ：()02202032b

24、aacaba=+=， 解 得64a， 所 以23cos,22a，从而()2cos2, 3ba= 2、答案：3,18 解析： 方法一：若ac存在点m，使得bmcn，则bnc为锐角或直角 在bnc中 2220bncnbc+ 2222222cos2coscnanacan acabcabacab aca=+=+ () ()222222cos2cos0bnanacan acaabacab aca+ - 11 - / 16 代入3,3,42bnanabac=，可得： ()991612cos91624cos044aa+ 912cos2a 3cos8a 3cos,18a 方法二（向量法） 以a为原点，直线ab

25、为x轴建系，则()33,0 ,02bn，设()4cos ,4sincaa，()04amtt= ()cos , sinm ta ta ()3cos3, sin,4cos , 4sin2bmtata cnaa= ()()3cos34cossin4sin02bm cnbmtaataa=+= 155cos838at=+ 由0,4t和()cos1,1a 可得3cos,18a 3、答案：()62, 62+ 解析：延长,ba cd交于点e，则在ade中，105 ,45 ,30daeadee= 设adx=，则由正弦定理sinsinsinadaedeeadeead=可得622 ,2aex dex+=设cdm=，

26、则由正弦定理：sinsincebcbe=可得：6222sin75sin30mx+=，整理后可得：62622mx+=+，所以622abbeaeceaex=+ ，由62622mx+=+可知()0,2x，所以()62, 62ab+ 4、答案：2 2 - 12 - / 16 解 析 ： 由 余 弦 定 理 可 得 ：2222coscababc=+， 代 入2,2cba=可 得 ：222422 2cosaaac=+，即2234cos2 2aca=，所以有： 4222242412224161sin1cos241622284abcaasabcacaaaa+=+ ()221121284a=+ 所以当12a =

27、时，abcs有最大值为2 2 5、答案：3 解析：由正弦定理可得： ()()()()()()2sinsinsin2babcbcbabcb c+=+= 2222abbabcbc+= 222244bcbcbcbc +=+= 22242cosabcbca=+ 1cos23aa= 13sin24abcsbcabc= 224bcbc+=且222bcbc+ 24bcbc即4bc 3abcs 6、答案： 解析： 由正弦定理可知：22abc=，由余弦定理可得2222cos2abcababc=+，整理可得：22111322cos1224442abababcabba+=+ =，所以04c 222222223233

28、14cos22884abababcaabbabcabababba+=+ 从而31311cos284842aba bcbab a+=，从而0,3c - 13 - / 16 ()( )224442222220abcabca b+=+=，所以()( )()()222222222220abcabcabc+=+，即2220abc+，则222cos02abccab+=，所以abc最大角为锐角。即abc是锐角三角形 取2,1abc=满足()2ab cab+，则32c，不符题意 7、解析：（1）, ,a b c成等差数列 2bac=+ ，由正弦定理可得： 2sinsinsinbac=+ ()bac=+ ()()sinsin2sin2sinacacac+=+=+ （2）, ,a b c成等比数列 2bac= 由余弦定理可得： 22222111cos12122222acbacacaca cbacaccac a+=+= 等号成立当且仅当ac= cosb的最小值为12 8、解析：（1）11cossincossinsin22accbaccb+=+= ()1sincossinsi