高中数学选修一椭圆的简单几何性质 (3)

1、- 1 - / 8 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 （4545 分钟分钟 100100 分）分） 一、选择题一、选择题( (每小题每小题 6 6 分分, ,共共 3030 分分) ) 1.(2013安阳高二检测)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) a. b. c. d. 2.(2013汝阳高二检测)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18,一个焦点的坐标是(3,0),则椭圆的标准方程为( ) a.+=1 b.+=1 c.+=1 d.+=1 3.若焦点在 x 轴上的椭圆+=1 的离心率为 ,则 m 等于( ) a. b. c. d. 4.

2、(2013新课标全国卷)设椭圆 c:+=1(ab0)的左、右焦点分别为f1,f2,p 是 c 上的点,pf2f1f2,pf1f2=30,则 c 的离心率为( ) a. b. c. d. 5.设椭圆+=1(ab0)的离心率 e= ,右焦点 f(c,0),方程 ax2+bx-c=0 的两个根分别为 x1,x2,则点 p(x1,x2)在( ) a.圆 x2+y2=2 上 - 2 - / 8 b.圆 x2+y2=2 内 c.圆 x2+y2=2 外 d.以上三种情况都有可能 二、填空题二、填空题( (每小题每小题 8 8 分分, ,共共 2424 分分) ) 6.椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴

3、上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为 . 7.(2013沧州高二检测)椭圆的焦点在 y 轴上,一个焦点到长轴的两端点的距离之比是 14,短轴长为 8,则椭圆的标准方程为 . 8.若点 o 和点 f 分别为椭圆+=1 的中心和左焦点,点 p 为椭圆上的任意一点,则的最大值为 . 三、解答题三、解答题(9(9 题题,10,10 题题 1414 分分,11,11 题题 1818 分分) ) 9.已知椭圆 x2+(m+3)y2=m(m0)的离心率 e=,求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标. 10.已知椭圆+=1(ab0),若椭圆的离心率 e 满足e,且+=2,求椭圆长轴长的取值

4、范围. 11.(能力挑战题)已知 f1,f2是椭圆的两个焦点,p 为椭圆上一点,f1pf2=60. (1)求椭圆离心率的范围. (2)求证:f1pf2的面积只与椭圆的短轴长有关. - 3 - / 8 答案解析答案解析 1.【解析】选 b.由条件知 2a+2c=22b, a+c=2b,从而(a+c)2=4b2=4(a2-c2), 解得 e= = . 2.【解析】选 b.由条件知,椭圆的焦点在 x 轴上,且解得 a=5,b=4,方程为+=1. 【变式备选】(2013北京高二检测)离心率为,且过点(4,0)的椭圆的标准方程是( ) a.+=1 b.+=1 或+=1 c.x2+4y2=1 d.+=1

5、或+=1 【解析】选 d.由条件知,(4,0)为椭圆的一个顶点. 若 a=4 且 =,则 b2=4,方程为+=1. 若 b=4 且 =,则 a2=64,方程为+=1. 3.【解析】选 b.椭圆的焦点在 x 轴上,且 e= , = ,解得 m= . - 4 - / 8 【举一反三】若把题中“焦点在 x 轴上”去掉,结果会怎样? 【解析】当椭圆焦点在 x 轴上时,由= 得 m= . 当椭圆焦点在 y 轴上时,由= 得 m= . m 的值是 或 . 4.【解题指南】利用已知条件解直角三角形,将 pf1,pf2用半焦距 c 表示出来,然后借助椭圆的定义,可得 a,c 的关系,从而得离心率. 【解析】选

6、 d.因为 pf2f1f2,pf1f2=30, 所以 pf2=2ctan 30=c,pf1=c. 又 pf1+pf2=2c=2a,所以ca=, 即椭圆的离心率为. 5.【解题指南】判断点 p(x1,x2)与圆的位置关系,就是判断点 p 与圆心(0,0)的距离与半径的大小关系,利用根与系数的关系表示成关于离心率的关系式,再判断位置关系. 【解析】选 b.由题意 e= = , +=(x1+x2)2-2x1x2=+ - 5 - / 8 =+1=2-= 0,方程可化为 x2+=1. 椭圆的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍, 2=221, 解得 m= . 答案: 7.【解析】由条件知,= 且 2b

7、=8, 解得 a2=25,b2=16. 又椭圆的焦点在 y 轴上, 所求的椭圆的标准方程为+=1. 答案:+=1 8.【解题指南】设 p(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出. 【解析】由题意,f(-1,0),设点 p(x0,y0),则有+=1,解得=3(1-),因为=(x0+1,y0),=(x0,y0), - 6 - / 8 所以=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+3(1-)=+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0=-2,因为-2x02,所以当 x0=2 时,取得最大值+2+3=6. 答案:6 【误区警示】解题中容易不考虑 x0的取值范围,而直接求出二次函数

8、的最值,而导致错误. 9.【解题指南】解决本题的关键是确定 m 的值,应先将椭圆方程化为标准形式,根据分母的大小确定焦点的位置.用 m 表示 a,b,c,再由 e=求出 m 的值. 【解析】椭圆方程可化为+=1, m-=0, m,即 a2=m,b2=,c=. 由 e=得=,m=1. 椭圆的标准方程为 x2+=1. a=1,b= ,c=. 椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1;两焦点坐标分别为(-,0),(,0); - 7 - / 8 四个顶点坐标分别为(-1,0),(1,0),(0,- ), (0, ). 10.【解题指南】由+=2 把 b2用 a2表示,代入关于离心率的不等式组中,求出2a 的范围. 【解析】由+=2 得 b2= , e2=1-, 又e, 1- , 结合b2=可得 , a2 ,a,即2a, 故长轴长的取值范围是,. 11.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(ab0), |pf1|=m,|pf2|=n,则 m+n=2a. 在pf1f2中,由余弦定理可知, 4c2=m2+n2-2mncos60=(m+n)2-3mn =4a2-3mn4a2-3()2 - 8 -