高中数学选修一曲线与方程

1、- 1 - / 6 曲线与方程曲线与方程 （4545 分钟分钟 100100 分）分） 一、选择题一、选择题( (每小题每小题 6 6 分分, ,共共 3030 分分) ) 1.如图,方程 x+|y-1|=0 表示的曲线是( ) 2.已知命题“曲线 c 上的点的坐标是方程 f(x,y)=0 的解”是正确的,则下列命题中正确的是( ) a.满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 c 上 b.方程 f(x,y)=0 是曲线 c 的方程 c.方程 f(x,y)=0 所表示的曲线不一定是 c d.以上说法都正确 3.已知曲线 c 的方程为 x2-xy+y-5=0,则下列各点中,在曲线 c 上的点是(

2、 ) a.(-1,2) b.(1,-2) c.(2,-3) d.(3,6) 4.方程 xy2+x2y=1 所表示的曲线( ) a.关于 x 轴对称 b.关于 y 轴对称 c.关于原点对称 d.关于直线 y=x 对称 5.(2013安阳高二检测)曲线 y=和 y=-x+公共点的个数为( ) a.3 b.2 c.1 d.0 二、填空题二、填空题( (每小题每小题 8 8 分分, ,共共 2424 分分) ) - 2 - / 6 6.(2013沧州高二检测)已知方程 x2+y2+2x-4=0 的曲线经过点 p(m,1),那么 m的值为 . 7.曲线 y=|x|-1 与 x 轴围成的图形的面积是 .

3、8.(2013重庆高二检测)如果直线 l:x+y-b=0 与曲线 c:y=有公共点,那么 b 的取值范围是 . 三、解答题三、解答题(9(9 题题,10,10 题题 1414 分分,11,11 题题 1818 分分) ) 9.求方程(x+y-1)=0 所表示的曲线. 10.分析下列曲线上的点与方程的关系: (1)求第一、三象限两轴夹角平分线上点的坐标满足的关系. (2)作出函数 y=x2的图象,指出图象上的点与方程 y=x2的关系. (3)说明过点 a(2,0)平行于 y 轴的直线 l与方程|x|=2 之间的关系. 11.(能力挑战题)已知点 p(x0,y0)是曲线 f(x,y)=0 和曲线

4、g(x,y)=0 的交点,求证:点 p 在曲线 f(x,y)+g(x,y)=0(r)上. 答案解析答案解析 1.【解析】选 b.由 x+|y-1|=0 可知 x0,用排除法可知应选 b.也可去绝对值符号,将方程化为或再找出符合条件的图象. - 3 - / 6 【变式备选】下列方程与图形对应的是( ) 【解析】选 c.选项 a 中不对应,应该是个整圆;选项 b 中应该还有一条直线 y=-x;选项 d 中需要 x0,y0. 2.【解析】选 c.因为“曲线 c 上的点的坐标是方程 f(x,y)=0 的解”,所以可以认为曲线 c 可能是方程 f(x,y)=0 所表示的曲线上的某一小段,因此只有 c 正

5、确. 3.【解题指南】若点 m(x0,y0)满足 f(x,y)=0,则点 m 在曲线上,否则点 m 不在曲线上,因此采用验证法. 【解析】选 a.把(-1,2),(1,-2),(2,-3),(3,6)分别代入 x2-xy+y-5=0 验证,只有(-1,2)适合. 【举一反三】题中方程不变,求曲线与 x 轴的交点坐标. 【解析】由 y=0 得 x2-5=0, x=,故曲线与 x 轴的交点坐标为(,0). 4.【解题指南】解答本题只需设出曲线上任意一点的坐标,并求出该点关于给定的直线(或点)的对称点的坐标,然后把对称点的坐标代入方程中,检验坐标是否满足方程即可. 【解析】选 d.设 p(x0,y0

6、)是曲线 xy2+x2y=1 上的任意一点,则 x0+y0=1.点 p关于直线 y=x 的对称点为 p(y0,x0),由 y0+x0=x0+y0=1, 点 p在曲线 xy2+x2y=1 上,故该曲线关于直线 y=x 对称. - 4 - / 6 5.【解析】选 c.由得-x+=, 两边平方并整理得(x-1)2=0,x=,这时 y=,故公共点只有一个(,). 【误区警示】解题中,易把 y=看成 x2+y2=1,从而解出两组解而导致出错. 6.【解析】把(m,1)代入方程得 m2+12+2m-4=0,即 m2+2m-3=0,解得 m=-3 或 1. 答案:-3 或 1 7.【解析】在 y=|x|-1

7、 中,令 x=0 得 y=-1,令 y=0 得 x=1,所以曲线 y=|x|-1与 x 轴围成的图形的面积为 21=1. 答案:1 8.【解题指南】本题考查曲线的交点问题,可以先作出曲线 y=的图象,利用数形结合解题. 【解析】曲线 c:y=表示以原点为圆心,以 1 为半径的单位圆的上半部分(包括(1,0),如图,当 l 与 l1重合时,b=-1,当 l 与 l2重合时,b=, 直线 l 与曲线 c 有公共点时,-1b. 答案:-1, 【误区警示】解题时,易把 y=看成单位圆 x2+y2=1,从而得出错误答案-,. - 5 - / 6 9.【解题指南】将方程进行同解变形,转化为熟悉的方程的形式

8、,从而判断出原方程表示的曲线. 【解析】依题意可得或 x-1=0, 即 x+y-1=0(x1)或 x=1. 综上可知,原方程所表示的曲线是射线 x+y-1=0(x1)和直线 x=1. 【拓展提升】方程变形的常用方法 判断方程表示什么曲线,需对方程进行同解变形,常用的方法有:配方法,因式分解法、平方法或者是化为常见的熟悉形式,然后根据方程的特征进行判断. 10.【解析】(1)第一、三象限两轴夹角平分线 l 上点的横坐标 x 与纵坐标 y 相等,即 y=x.可以看到: l 上点的坐标都是方程 x-y=0 的解; 以方程 x-y=0 的解为坐标的点都在 l上. (2)函数 y=x2的图象如图所示是一

9、条抛物线,这条抛物线上的点的坐标都满足方程 y=x2,即方程 y=x2对应的曲线是如图所示的抛物线,抛物线的方程是 y=x2. (3)如图所示,直线 l 上点的坐标都是方程|x|=2 的解,然而坐标满足方程|x|=2的点不一定在直线 l上,因此|x|=2 不是直线 l 的方程. - 6 - / 6 11.【证明】p 是曲线 f(x,y)=0 和曲线 g(x,y)=0 的交点, p 在曲线 f(x,y)=0 上,即 f(x0,y0)=0, p 在曲线 g(x,y)=0 上,即 g(x0,y0)=0, f(x0,y0)+g(x0,y0)=0+0=0, 故点 p 在曲线 f(x,y)+g(x,y)=0(r)上. 【拓展提升】证明曲线与方程关系的技巧 解答本类问题的关键是正确理解并运用曲线的方程与方程的曲线的概念,明